數學分析初學者的筆記——由Stolz定理想到的

10-09

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前言

數學分析對於很多剛入大學的新生來說是一個非常基礎也很重要的課程。不過，對不少人來說這門課程是具有一定難度的（對我來說也是>_<），所以我決定不定期地更新一些在數學分析的學習中會遇到的問題，並把它記錄在筆記上。

這個筆記中會摘錄教科書上的定理證明，但證明會按照我自己的理解重新寫一遍，並對於一些我認為有必要敘述的細節我會展開來說。從這個角度上看，本篇筆記適合那些剛剛接觸大學數學課程，對極限的定義與數列極限有所了解的同學觀看。

O Stolz定理

定理1.1 設 $left{ y_{n} ight}$ 是嚴格單調增加的正無窮大量，且 $lim_{n ightarrow infty}{frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}=a$ （a可以為有限量、無限量、 $+infty$ 或 $-infty$ ，但不能是 $infty$ ），則 $lim_{n ightarrow infty}{frac{x_{n}}{y_{n}}}=a$

在我們證明定理之前，我們可以先看一下Stolz定理的內容本身：它對 $left{ y_{n} ight}$ 有所要求而對 $left{ x_{n} ight}$ 沒有要求。而且它並不像LHospital Rule那樣要求函數（n階）可導，它甚至不需要你去算函數的導數，因此某種程度上說它有著比LHospital更廣的適用範圍。

證明

當a=0時，由 $lim_{n ightarrow infty}{frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}=0$ 可知， $forallvarepsilon>0, exists N_{1}, forall n>N_{1}, s.t. left| frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}} ight|<varepsilon$

其中由於 $y_{n}$ 嚴格單增，即 $y_{n}-y_{n-1}>0$ 恆成立，因而上式可以寫成 $left| x_{n} - x_{n-1} ight|<varepsilonleft( y_{n}-y_{n-1} ight)$

那麼，對這個固定的 $N_{1}in N$ ，運用三角不等式我們可以得到如下不等式，其中不等式符號不改變是因為 $y_{n}$ 是一個正無窮大量： $left| x_{n} - x_{N_{1}} ight| leq left| x_{n} - x_{n-1} ight|+left| x_{n-1} - x_{n-2} ight|+...+left| x_{N_{1}+1} - x_{N_{1}} ight|<varepsilonleft( y_{n}-y_{n-1} ight)+left( y_{n-1}-y_{n-2}+...+left( y_{N_{1}+1}-y_{N_{1}} ight) ight)$

即 $left| x_{n} - x_{N_{1}} ight| leq left| x_{n} - x_{n-1} ight|+left| x_{n-1} - x_{n-2} ight|+...+left| x_{N_{1}+1} - x_{N_{1}} ight|<varepsilonleft( y_{n}-y_{N_{1}} ight)$

兩邊同時除以 $y_{n}$ ，並再次使用三角不等式，可得 $left| frac{x_{n}}{y_{n}}-frac{x_{N_{1}}}{y_{n}} ight|leq left| frac{x_{n}}{y_{n}} ight|+left|frac{x_{N_{1}}}{y_{n}} ight|leqvarepsilonleft( 1- frac{y_{N_{1}}}{y_{n}} ight)$

又因為這裡 $n>N_{1}$ ,且 $y_{n}$ 是嚴格單增的正無窮大量，因而不等式最右邊的 $left( 1- frac{y_{N_{1}}}{y_{n}} ight)$ 的值是小於1大於0的，因而對這個不等式我們又可以整理得到 $left| frac{x_{n}}{y_{n}}-frac{x_{N_{1}}}{y_{n}} ight|leq left| frac{x_{n}}{y_{n}} ight|+left|frac{x_{N_{1}}}{y_{n}} ight|<varepsilon$

接下來，對於固定的 $N_{1}, exists N, s.t. forall N>N_{1},: left| frac{x_{N_{1}}}{y_{n}} ight|<varepsilon$

結合以上兩個不等式我們可以得到 $left| frac{x_{n}}{y_{n}} ight|<2varepsilon$ ，因而我們證明了在 $a=0$ 時命題為真。

當a為非零的有限數時，令 $x_{n}^{}=x_{n}-ay_{n}$ ，則有 $lim_{n ightarrow infty}{frac{x_{n}^{}-x_{n-1}^{}}{y_{n}-y_{n-1}}}=lim_{n ightarrow infty}{frac{x_{n}-ay_{n}-x_{n-1}+ay_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}=lim_{n ightarrow infty}{frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}-a=0$ 利用以上得出的 $a=0$ 時的結論，可得 $lim_{n ightarrow infty}{frac{x_{n}^{}}{y_{n}}}=0$ 成立，進而得到 $lim_{n ightarrow infty}{frac{x_{n}^{}}{y_{n}}}=lim_{n ightarrow infty}{frac{x_{n}-ay_{n}}{y_{n}}}=0$ ，即 $lim_{n ightarrow infty}{frac{x_{n}}{y_{n}}}=a$ 成立

當 $a=+infty$ 時，對於極限 $lim_{n ightarrow infty}{frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}}=+infty$ ，其中 $y_{n}$ 是嚴格單增的正無窮大量，我們可以知道 $exists N_{2}, forall n>N_{2}, x_{n}-x_{n-1}>y_{n}-y_{n-1}>0$ ，這說明 $x_n$ 也是嚴格單增的正無窮大。將這個 $x_{n}$ 應用到 $left{ frac{y_n}{x_n} ight}$ ，得到 $lim_{n ightarrow infty}{frac{y_{n}-y_{n-1}}{x_{n}-x_{n-1}}}=lim_{n ightarrow infty}{frac{y_{n}}{x_{n}}}=0$ ，又因為 $x_{n}, y_{n}$ 都為正，則可得 $lim_{n ightarrow infty}{frac{x_{n}}{y_{n}}}=+infty$ 。當 $a=-infty$ 時同理。

證畢。

可以看出，Stolz定理的證明沒有用很高深的知識，只是一些進階的構造技巧和大小關係的分析。因而，掌握Stolz定理的證明是數學分析學習過程中的一個關鍵點。不僅以後在計算過程中該定理會被大量運用，即使在證明中我們也不能忽視與之相關的一些技巧。

比如，在 $a=0$ 情況下的證明中，我們是否能想到利用三角不等式分離分式中的變數，並通過大小關係進一步放縮不等式？對於初學者來說想到這一點有困難，但是在見到類似的證明後我們應當掌握這種方法。

一些關於它的習題

這裡僅就一些比較基礎的「結論式」的題目做出相應的分析。

例1.1 設 $lim_{n ightarrow infty}{a_{n}}=a$ ，其中 $a$ 為常數，證明 $lim_{n ightarrow infty}{frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}}=a$

證明：令 $x_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}, y_{n}=n$ ，由Stolz定理可直接得到。

例1.2 證明：若 $a_{n}>0, nin N^{*}$ ，且 $lim_{n ightarrow infty}{frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=a$ ，則 $lim_{n ightarrow infty}{sqrt[n]{a_n}}=a$

證：因為 $a_{n}>0$ ，由極限的保號性可知 $a>0$ ，則可對等式 $lim_{n ightarrow infty}{frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=a$ 兩邊取對數，得 $lim_{n ightarrow infty}{(lna_{n+1}-lna_{n})}=lna$ 。利用Stolz定理，令 $x_{n}=lna_{n}, y_{n}=n$ 可以得到 $lim_{n ightarrow infty}{frac{lna_{n}}{n}}=lna$ ，等式兩邊同時做指數變換可得 $lim_{n ightarrow infty}{sqrt[n]{a_n}}=a$ ，證畢。

課後隨想

Mathematics is brilliant! 對於剛入學的大一新生來說，數學分析這門課程的重點不是「數學」，即不要只把他當一門普通的數學課，而要側重於後者，即分析思維。

在各種習題裡面我們可以體會到 $varepsilon-N$ 語言的嚴謹與精妙之處：要刻畫一個變數「無限趨向於」另一個數，只需證明在滿足一定條件的時候，它與那個數的距離恆大於零且小於任何給定的實數。而這個條件我們是可以放得很寬的；對於 $left| a_{n} -A ight|<varepsilon$ 這個等式我們又可以用三角不等式、柯西不等式進行放縮，因而我們在學習過程中也應注重類似經驗的積累和技巧的運用。

數學分析初學者的筆記——由Stolz定理想到的

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一些關於它的習題

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