如何通俗理解全微分

來自專欄劉梳子數學21 人贊了文章

一元函數微分很容易理解，直觀，但是推廣到多維後，儘管教科書給出了嚴格定義，但總覺得中間有道坎，想不明白。本文用圖形幫助大家直觀理解全微分。

1. 一元可微函數：

如果一元函數可微，則利用直線代替曲線估計函數值的變化，得到，

2.那麼推廣到n元函數是否能得到形式一致的公式呢？

全微分形式：

幾何解釋：

一元函數用直線代替曲線，則n元函數用平面代替曲面，這個平面稱為切平面。

為了方便，舉例二元函數z=f(x,y)，

曲面上一點A，經過此點分別做平行於xoz和yoz的平面，與空間平面相交得到兩條空間曲線，

兩條空間曲線分別做切線，u的斜率（y不變）即偏導，v的斜率（x不變）即偏導。

斜率的具體所示，請看下面的示意圖：

經過兩條切線的平面即為切平面，

全微分的精髓就是利用切平面去代替A點附近的曲面，如此一來，

示意圖：

目前還有一個問題，切平面是通過兩條特殊的切線得到的，那麼是否經過此點的任意切線都在切平面內呢？答案是肯定的！

比如任意增加一個平行於z軸的平面，做相交曲線的切線，仍在切平面內：

從圖中看到xoy平面內的三個方向得到的三個切線（方嚮導數）在同一個平面內。

證明：

可以這樣理解，xoy平面內過(x0,y0)的任意直線經過線性變換肯定仍在一個平面內（線性變換的性質）。下面圖幫助理解：

3.結論

• 全微分是用切平面代替曲面
• 全微分要求所有方向的切線均在一個平面內，因此有函數偏導存在，但是不存在全微分的情況。

下次繼續區分偏導、方嚮導數和梯度，敬請期待。