Functional Analysis Week 4

10-05

來自專欄從分析到概率到幾何4 人贊了文章

本周第一次課把最主要的 Closed Graph Theorem講完了，順帶提到了一些推論。

我們先用Open Mapping Theorem證明 Inverse Operator Theorem, 再來證明 Closed Graph Theorem.

(Inverse Operator Theorem) 令 $X,Y$ 為Banach空間， $Ain L(X,Y)$ 是雙射，那麼 $A^{-1}in L(Y,X)$ .

證明：由於 $A$ 是雙射，那麼 $A$ 是滿射，根據 Open Mapping Theorem, $A$ 是開的，即有對任意開集 $Oin X$ , $A(O)$ 是開集，即有 $(A^{-1})^{-1}(O)$ 是開集，那麼 $A^{-1}$ 是連續的，即證。

推論：令 $X$ 為Banach空間， $W,Ysubset X$ 為閉子空間使得 $X=Yoplus W$ , 那麼 $exists c>0$ 使得 $forall x_1in Y,x_2in W$ , 都有 $|x_1|+|x_2|le c|x_1+x_2|$

證明：由條件 $W,Y$ 都是Banach的，定義 $A：Y imes W o X:(x_1,x_2) o x_1+x_2$ , 則由於 $X=Yoplus W$ , 這是個雙射，明顯 $A$ 是連續的，那麼根據上面定理 $A^{-1}$ 是連續的，即 $exists c>0$ 使得 $|A^{-1}(x_1+x_2)|le c|x_1+x_2|$ , 即證。

定義：令 $X,Y$ 為Banach空間， $dom(A)subset X$ , 令 $A:dom(A) o Y$ 為一個線性運算元， $A$ 稱為閉的如果 $Gamma_A:={(x,y)in Dom(A) imes Y| A(x)=y}$ 是 $X imes Y$ 的閉線性子空間。

定義： $dom(A)$ 上的graph norm $|cdot|_{Gamma}$ 定義為 $|X|_{Gamma}=|x|_X+|Ax|_Y$ .

根據定義我們可以看出如果 $Gamma_A$ 是閉的，那麼由於 $X imes Y$ 是Banach的， $Gamma_A$ 也會是Banach的，那麼就會有一個線性的雙射 $A:dom(A) o Gamma_{A}$ . 實際上我們可以根據 $Gamma_A$ 是閉集得到 $A$ 的連續性

(Closed Graph Theorem) 令 $X,Y$ 為Banach空間， $A:X o Y$ 是線性的，那麼 $A$ 有界當且僅當 $Gamma_A$ 是閉的

證明：必要性比較簡單，令 ${(x_n,y_n)}_{n=1}^infty$ 為 $Gamma_A$ 中的柯西列，那麼明顯有 $x_n o x_0,y_n o y_0$ , 我們需要 $y_0=Ax_0$ , 這直接可以通過定義 $y_n=A x_n$ 以及 $A$ 的連續性得到。

充分性：假設 $Gamma_A$ 是閉的，那麼 $Gamma_A$ 是Banach的。令 $pi_1,pi_2$ 分別為投影 $pi_1(x,y)=x,pi_2(x,y)=y$ , 那麼 $pi_1$ 是 $Gamma_A$ 到 $X$ 的有界雙射，根據Inverse Operator Theorem $pi_1^{-1}in L(X,Gamma_A)$ . 那麼 $exists c>0$ 使得 $|pi_1^{-1}(x)|_{X imes Y}le c|x|_X$ , 即有 $|(x,Ax)|_{X imes Y}=|x|_X+|Ax|_Xle c|x|_X$ , 於是 $A$ 有界。

下面一個推論說明了全空間定義的對稱運算元一定是有界運算元，我剛開始把這個理解錯了，多謝幾位朋友在評論區指正了。因為我對這裡面微妙的關係理解得還不夠所以暫時先用GTM上267的原文表述好了：If $A$ is a linear operator defined on all of $H$ and having the property that $<phi,Apsi>=<Apsi,phi>$ for all $psi,phiin H$ , then $A$ is automatically bounded. To put this fact in the other way around, an unbounded self-adjoint operator cannot be defined on the entire Hilbert space. Thus, to deal with the unbounded operators of quantum mechanics, we must deal with operators that are defined only on a subspace of the relevant Hilbert space, called the domain of the operator.

推論(Hellinger Toeplitz)：令 $H$ 為一個Hilbert空間，令 $A:H o H$ 為一個對稱線性運算元，即 $forall x,yin H,<Ax,y>=<x,Ay>$ , 那麼 $A$ 是有界的.

證明：令 $x_n o x_0,Ax_n o y_0$ , 那麼有 $<y_0,z>=lim_{n oinfty}<Ax_n,z>=lim_{n oinfty}<x_n,Az>=<x_0,Az>=<Ax_0,z>$ 對 $forall zin H$ 成立，那麼我們有 $y_0=Ax_0$ ,說明 $Gamma_A$ 是閉的，根據Closed Graph Theorem得到結論

推論(Douglas Factorization) 令 $X,Y$ 為Banach空間， $Ain L(X,Y)$ 為單射， $Bin L(Z,Y)$ . 那麼下面陳述等價：

(i) $Im(B)subset Im(A)$

(ii) $exists Tin L(Z,X)$ 使得 $Acirc T=B$

證明：(ii)到(i)明顯成立，反過來，設 $Im(B)subset Im(A)$ , 令 $T=A^{-1}circ B$ , 明顯 $T$ 是線性的，且有 $Acirc T=B$ , 我們需要證明 $T$ 有界。為此令 ${z_n}_{n=1}^inftysubset Z$ 為一柯西列且 ${{Tz_n}}_{n=1}^infty$ 也是柯西的，設 $z_n o z$ , $Tz_n o x$ , 那麼 $A(Tz_n) o Ax$ , 即有 $Bz_n o Ax$ , 由於 $Bin L(Z,Y)$ 有 $Bz=Ax$ , 又由於 $A$ 是單射得到 $x=Tz$ , 因此 $T$ 是閉的，根據Closed Graph Theorem得到結論

接下來討論怎麼把一個運算元 $A$ 變成閉的

定義：令 $X,Y$ 為Banach空間， $dom(A)subset X$ , $A:dom(A) o Y$ 是線性的， $A$ 成為可閉的如果 $exists dom(A)subset X$ 使得 $dom(A)subset dom(A)$ 並且有一個閉運算元 $A:dom(A) o Y$ 使得 $A|_{dom(A)}=A$ 成立

引理：令 $X,Y$ 為Banach空間， $dom(A)subset X$ , $A:dom(A) o Y$ 是線性的，下面各個敘述等價：

(i) $A$ 是可閉的

(ii) $pi_1:overline{Gamma_A} o X$ 是單的

(iii) ${x_n}_{n=1}^inftysubset dom(A)$ 使得 $x_n o0$ 且 $Ax_n o yin Y$ , 那麼 $y=0$

證明：(i)到(iii), 設 $A$ 是可閉的，那麼 $overline{Gamma_A}subset Gamma_{A}$ ，假設 $(0,y)in overline{Gamma_A}$ , 那麼 $(0,y)in Gamma_{A}$ ，說明 $y=0$

(iii)到(ii), 假設 $(x,y_1),(x,y_2)in overline{Gamma_A}$ , 那麼 $exists a_n o x,Aa_n o x_1,b_n o y,Ab_n o y_2$ , 即有 $(a_n-b_n) o 0,A(a_n-b_n) o y_1-y_2$ , 那麼 $(0,y_1-y_2)in overline{Gamma_A}$ , 根據條件 $y_1=y_2$ ，則 $pi_1:overline{Gamma_A} o X$ 是單的

(ii)到(i), 設 $pi_1:overline{Gamma_A} o X$ 是單的，定義 $dom(A)=Im(pi_1(overline{Gamma_A}))$ , 那麼 $pi_1:overline{Gamma_A} o dom(A)$ 是雙射，那麼其逆 $pi_1^{-1}in L(dom(A),overline{Gamma})$ , 定義 $A=pi_2circpi_1^{-1}$ , 那麼 $A$ 是 $A$ 的閉擴張。

第二次課主要講了Hahn Banach Theorem和一些推論了，這個定理還是非常厲害的（在我了解了Banach空間裡面找補不是一件trivial的事情之後）

問題來源：令 $X$ 為一個賦范線性空間， $Y$ 為一個閉子空間，令 $phi in Y^*$ . 我們能否將 $phi$ 擴張到 $X$ 上？直觀上說我們只需要找到 $Y$ 的補 $Z$ 使得 $X=Zoplus Y$ 再定義 $ilde{phi}(y+z)=phi(y)$ 就行了，但是這裡的問題在於我們處理的不是Hilbert空間，想要找到這樣的補不是一件容易的事情，為此我們引入定義complemented. （此外prof提到了如果一個Banach空間滿足啥條件來著就可以和Hilbert空間拓撲等價，不知道後面會不會講到）

定義：令 $X$ 為一個賦范線性空間， $Y$ 為一個閉子空間，如果存在閉子空間 $Z$ 使得 $X=Zoplus Y$ ，我們稱 $Y$ 為complemented

給一個例子說明這個問題的不平凡性：定義 $c_0subset l_infty$ 為 $l_infty$ 中序列通項趨向於零的子空間，它沒有complement.

（但是實際上我們這裡證明不需要直接用到這個定義...大概prof提到這個只是想說明這個問題的重要性，實際上這裡有一篇很好的文章：http://m.mathnet.or.kr/mathnet/kms_tex/986009.pdf）

回到我們的定理，先引入一下需要用到的定義：

定義：令 $X$ 為 $mathbb{R}$ 上線性空間，函數 $p:X omathbb{R}$ 稱為sublinear的如果 $p(x+y)le p(x)+p(y),p(lambda x)=lambda p(x), forall x,yinmathbb{R} ,lambdage 0$ . 一個次線性函數稱為semi-norm如果 $p(lambda x)=|lambda|p(x),foralllambda$ .

容易看出semi-norm滿足齊次性和三角不等式，雖然沒有直接提到非負性，但是實際上上面的定義已經可以保證 $p(x)ge0:2p(x)=p(x)+p(-x)ge p(x-x)=p(0)=0$ ，於是semi-norm和一般的norm相比好像就是等於0的條件鬆了一點

(Hahn Banach Theorem) 令 $X$ 為一個有次線性泛函 $p$ 的線性空間， $Ysubset X$ 為一個線性子空間，令 $phi:Y omathbb{R}$ 為一個線性泛函使得 $phi(x)le p(x),forall xin Y$ , 那麼存在一個線性泛函 $Phi:X omathbb{R}$ 使得 $Phi|_Y=phi,Phi(x)le p(x),forall x in X$ .

引理：各個條件同上，令 $x_0in X-Y$ , $ilde{Y}=Yoplus <x_0>$ , 則存在線性泛函 $ilde{phi}: ilde{Y} o mathbb{R}$ 使得 $ilde{phi}|_Y=phi,phi(x)le p(x),forall xin ilde{Y}$ .

證明：我們需要 $ilde{phi}(y+lambda x_0)le p(y+lambda x_0), ilde{phi}(y-lambda x_0)le p(y-lambda x_0),forall y,lambdage 0$ .

那麼我們用 $ilde{phi}$ 的線性性展開得到 $ilde{phi}(y)+lambda ilde{phi}( x_0)le p(y+lambda x_0), ilde{phi}(y)-lambda ilde{phi}( x_0)le p(y-lambda x_0),forall y,lambdage 0$ ，我們的目的是得到 $ilde{phi}( x_0)$ 的定義方式，根據上面式子以及 $ilde{phi}|_Y=phi$ 可以得到 $phi(y)-p(y-lambda x_0)lelambda ilde{phi}(x_0)le p(y+lambda x_0)-phi(y)$ ,我們用齊次性把參數 $lambda$ 約掉並重新標記 $y$ 為 $y/lambda$ ，我們就得到等價的需要證明的形式 $phi(y)-p(y- x_0)le ilde{phi}(x_0)le p(y+ x_0)-phi(y)$ . 假設 $y_1,y_2in Y$ , 我們有 $phi(y_1)+phi(y_2)=phi(y_1+y_2)leq(y_1+y_2)=p(y_1+x_0+y_2-x_0)le p(y_1+x_0)+p(y_2-x_0)$ , 移項得到 $phi(y_2)-p(y_2-x_0)le p(y_1+x_0)-phi(y_1)$ , 由於左邊和右邊都分別只和 $y_1,y_2in Y$ 有關，那麼左邊的sup一定小於等於右邊的sup，於是我們就能在中間找到一個 $a$ 來定義 $ildephi(x_0)=a$ ，這樣我們需要證明的式子就滿足了

定理證明：定義 $mathcal{P}={(Z,psi)|Ysubset Zsubset X,psi :Z omathbb{R}mathrm{ linear s.t. }psi|_Y=phi,psi(z)le p (z),forall zin Z}$ , 明顯 $mathcal{P}$ 上面可以定義偏序關係，而其中每一條鏈 $mathcal{C}$ 都有一個線序關係並且可以定義一個上界 $(Z_0,psi_0)$ 為 $Z_0:=igcup_{(Z,psi)inmathcal{C}}Z$ , $psi_0(x)=psi(x),forall(Z,psi)inmathcal{C},xin Z$ . 那麼根據Zorn引理 $mathcal{P}$ 中有一個極大元 $(Z,psi)$ , 我們斷定 $Z=X$ 否則根據前面的引理我們還可以進行擴張，證畢

推論：令 $X$ 為 $mathbb{R}$ 上線性空間， $Ysubset X$ 為一個線性子空間，令 $phiin Y^*$ , 則 $exists ilde{phi}in X^*$ 使得 $ilde{phi}|_Y=phi$ 且 $| ilde{phi}|_Xle|phi|_Y$

證明：在Hahn Banach定理裡面令半線性函數為範數就行了（另外我怎麼感覺那個不等號不能嚴格小於= =..）

這個推論當然有復形式但是證明上要分實部虛部討論寫起來比較麻煩...這裡就不仔細寫了

據說下面的一個定理在後面的課程會經常用到，先引入定義

定義：令 $X,Y$ 為線性空間且 $Xsubset Y$ , 則存在一個從 $X^* o Y^*$ 的線性映射，我們稱這個映射的核為 $Y$ 的annihilator, 記作 $ann(Y)$ 或者 $Y^perp$

從記號上就可以看出 $Y^perp$ 和正交性似乎有點關係，但是因為我們的不一定有內積所以無法定義正交性，應該只是因為 $Y^perp$ 作用在 $Y$ 上元素的時候在形式上有點像內積的正交性

定理：令 $X$ 為 $mathbb{R}$ 上賦范線性空間， $Ysubsetneqq X$ 為一 , 令 $x_0in X-Y$ ，則 $existsphiin X^*$ 使得 $phiin Y^perp$ 且有 $phi(x_0)=d(x_0,Y)$ , $|phi|=1$

證明：定義 $Z=Yoplus <x_0>,psi:Z omathbb{R}:psi(y+tx_0)=td(x_0,Y)$ , 那麼 $frac{|psi(y+tx_0)|}{|y+tx_0|}=frac{|t|d(x_0,Y)}{|t||x_0+y/t|}le1$ , 於是根據上面Hahn Banach定理的實推論就得知 $existsphiin X^*$ , $|phi|le1$ , 實際上 $|phi|=1$ 成立由於 $|phi|gesup_{yin Y}frac{|phi(x_0+y)|}{|x_0+y|}=sup_{yin Y}frac{|d(x_0,Y))|}{|x_0+y|}=1$ , 且由於 $phi|_Z=psi$ 有 $phi(x_0)=d(x_0,Y)$ ，明顯又有 $phi(y)=0,forall yin Y$ , 即 $phiin Y^perp$

推論：令 $X$ 為 $mathbb{R}$ 上賦范線性空間，令 $x_0in X$ . 則 $exists phi in X^*$ 使得 $|phi|=1,phi(x_0)=|x_0|$

證明：上面定理中令 $y=0$

推論：令 $X$ 為 $mathbb{R}$ 上賦范線性空間， $Ysubset X$ . 則 $overline{Y}={xin X|phi(x)=0,forallphiin Y^perp}$

證明：明顯 $overline{Y}subset{xin X|phi(x)=0,forallphiin Y^perp}$ , 反過來，給定 $xinoverline{Y}^c$ , 有 $d(x,overline{Y})>0$ , 故 $existsphiin Y^perp$ 使得 $phi(x)>0$ , 那麼 $x otin{xin X|phi(x)=0,forallphiin Y^perp}$ , 即有 ${xin X|phi(x)=0,forallphiin Y^perp}subsetoverline{Y}$ , 證畢