傅里葉變換理解上的幾個難點

10-06

傅里葉變換理解上的幾個難點

來自專欄一個大學生的日常筆記21 人贊了文章

首先從周期函數的傅里葉級數講起。

任何周期函數 $f(x)=f(x+2pi)$ 都可以寫成三角函數和的形式：

$f(x)=frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}{(a_ncos nx+b_nsin nx)}qquad(1)$

也就是說任何一個周期為 $2pi$ 的函數都可以展開成周期為 $frac{2pi}{n},n=1,2,3,dots$ 的三角函數之和。

$color{red}{ ext{難點一}}$ ：利用三角函數和差化積的公式，上式公式和下面的公式是等價的:

$f(x)=sum_{n=0}^{infty}{A_nsin(nx+varphi_n)}qquad(2)$

帶相位的公式在直覺上更加直觀，特別是配上教科書中矩形波展開成三角函數的圖片。但是將相位轉換為正弦和餘弦函數的係數在計算上卻變得簡便，因為三角函數系 $1,sin x,cos x,sin2x,cos2x,dots$ 是正交的，利用這個性質，係數就可以通過求內積的方法得到（函數正交和內積的概念可以將傅里葉級數和矢量的分解聯繫起來）：

$egin{aligned} a_n&=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)cos nx{ m d}x\ b_n&=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)sin nx{ m d}x end{aligned}qquad(3)$

數學上還需要一些定理增加嚴謹性：狄利克雷收斂定理，但是大多數情況下我們只需要愉快的直接使用就可以了。對於有限區間上的函數，可以使用延拓的方法，非常好理解。

$color{red}{ ext{難點二}}$ ：但是如果這個函數在整個數軸上都是非周期的呢？其實這種情況對應頻率的連續分布。此時從傅里葉級數表示變成了傅里葉積分表示，也就是說：周期函數和有限區間上的函數是級數表示；無窮區間上的非周期函數是積分表示。

$f(x)=int_{0}^{infty}[A(lambda)cos{lambda x}+B(lambda)sin{lambda x}]dlambdaqquad(4)$

其中係數為：

$egin{aligned} A(lambda)=frac{1}{pi}int_{-infty}^{+infty}f(t)cos{lambda t}dt\ B(lambda)=frac{1}{pi}int_{-infty}^{+infty}f(t)sin{lambda t}dt\ end{aligned}qquad(5)$

上面的叫做傅里葉積分，別和傅里葉變換混淆了。（4）式的推導可以查教科書，形式上只需要將（1）式中的求和變為積分即可 $sum ightarrowint { m d}x$ 。

同樣需要一些數學上嚴謹性的保證：這邊的函數 $f$ ，要求是絕對可積的。（有時候拿到一個周期函數要求它的傅里葉係數，就想當然的帶入上面的公式，這是錯誤的。首先周期函數一般不是絕對可積的，其次周期函數使用正交的三角函數系展開。）

$color{red}{ ext{難點三}}$ ：為什麼傅里葉變換帶有虛數，且出現了負頻率？

前面都是實數的形式，相對來說在腦海中可以構建出數軸的模型，但是最終傅里葉變換中突然就引入了虛數，這就是難理解的拐點之一，也就是憑什麼要多此一舉呢？因為我們真實世界中的信號實函數就可以描述了，我們測量的所有物理量也是實數，我們對於實數有著天生的直覺，但是對於複數大多人其實懷有畏懼的心理。

其實虛數在這裡出現的原因出奇的簡單，可以用下面這個圖片說明：

你可以想像，如果數字用右邊的那一列表示，那麼進行數字的豎式運算，以及加減乘除會多麼的麻煩。強如拉馬努金，可能也很難通過右邊原始的數學符號，猜出那些神奇的等式吧。

傅里葉變換的複數形式為：

$f(x)=int_{-infty}^{+infty}F(lambda)e^{-ilambda x}dlambdaqquad(6)$

其中： $F(lambda)=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty}f(t)e^{ilambda t}dtqquad(7)$

其實公式(6)(7)和公式(4)(5)之間是通過歐拉公式聯繫起來的。

歐拉公式： $e^{ilambda x}=cos lambda x+isinlambda xqquad(8)$

由歐拉公式可得： $egin{aligned} cos lambda x=frac{e^{ilambda x}+e^{-ilambda x}}{2}\ sin lambda x=frac{e^{ilambda x}-e^{-ilambda x}}{2i}\ end{aligned}qquad(9)$

這個叫做傅里葉變換的公式： $F(lambda)=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty}f(t)e^{ilambda x}dt$ ,實際上代替了傅里葉積分表示中的 $A(lambda),B(lambda)$ ，而 $e^{-ilambda x}$ 則代替了 $cos{lambda x},sin{lambda x}$ 。當然這裡如果說得明白一點就可以自然理解負頻率出現的意義了，因為在傅里葉積分中，我們對頻率的積分是從零到無窮大，但是因為我們的正交函數系是三角函數系，頻率都是正的，但是這裡我們的基函數是 $e^{-ilambda x}$ ，而由歐拉公式 $cos{x}=frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$ ,所以對三角函數在正實軸的積分其實就是對 $e^{-ilambda x}$ 在整個數軸上的積分，僅此而已。所以說實數函數的能譜一定是正負頻率對稱的。

所以虛數的引入並沒有改變傅里葉積分的意義，這裡我覺得：

形式上簡化了，處理起來簡單了，理解上困難了，這就是複數在這裡的作用。我們大多數所說的能譜(功率譜)，實際上就是不關心傅里葉變換中的相位部分，只關心某種頻率成分的比重，這時候其實對應的就是傅里葉變換F的模。而複數的幅角實際上就是不同頻率成分的相位信息。

以上就是從傅里葉級數——傅里葉積分——傅里葉變換，三者之間的聯繫。但是我們實際測量一個連續的物理信號的時候，得到的其實都是這個實際物理信號在特定時間間隔的採樣，其次計算機在進行傅里葉分析的時候，每次積分只能得到某個頻率成分的比重，計算的頻率點增多，隨之的計算量也變得很大。於是就有了快速傅里葉變換FFT，當然離散傅里葉變換DFT和FFT是兩個不同的概念，FFT是DFT的快速演算法，對採樣點有限制。這裡我們就講FFT。

原來FFT的具體實現，目前自己居然從未接觸過，只是在計算軟體中給出具體的實現函數。FFT的具體推導過程可以在「信號與系統」的參考書中找到。

最後就是廣義傅里葉變換了，這在偏微分方程教材中有，但是如何和前面的理解有機的結合在一起，形成一個系統的知識體系，這是一個問題。

難點四：在廣義傅里葉變換下，原先的一些周期函數諸如 $sin{acdot x}$ 函數也可以進行廣義傅里葉變換，變成 $delta$ 函數。

在前面已經指出，對於周期函數沒有傅里葉變換，一般可以展開成傅里葉級數，係數可以表示成一個周期內的積分。但是在廣義傅里葉變換中，傅里葉變換可以表示成頻域中的 $delta$ 函數。

廣義函數的定義：函數空間到實數（或複數）空間的映射。

一般可以寫成這樣的形式：

$<f(x),varphi(x)>=int_{Omega}^{}f(x)varphi(x)dx,forallvarphi(x)in M(Omega)$

這樣 $f(x)$ 就是一個廣義函數，典型的廣義函數就是 $delta$ 函數，將一個函數映射為在原點的取值。一些周期函數在這樣的定義下也是廣義函數，這要適當選取函數空間 $M(Omega)$ 可以保證定義中右邊的積分是收斂的。如果函數空間 $M(Omega)$ 中的函數都可以進行傅里葉變換，那麼變換後仍然可以構成一個函數空間，那麼就可以把廣義函數的傅里葉變換轉移到實驗函數的傅里葉變換，也就是說：

$<F[f(x)],varphi(x)>equiv<f(x),F[varphi(x)]>$

可以給出以下關係的不嚴格的證明：

$delta(x)Rightarrow1$

$F(lambda)=int_{-infty}^{+infty}f(t)e^{ilambda x}dt$

只需將f(t)換成delta函數，並根據delta函數的性質，就可以得到delta函數的傅里葉變換，當然這裡並沒有用到廣義函數的傅里葉變換的定義，所以這樣的證明當然是不嚴格的。這樣一個簡單的關係，配合廣義傅里葉變換的時移，頻移，伸縮，求導等性質，可以得到很多常見函數的廣義傅里葉變換。

思考：一個函數如果存在傅里葉變換，那麼它的廣義傅里葉變換和傅里葉變換是否一樣？