NodalLoop與NodalSurface共存的Ti3Al

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拓撲金屬（或半金屬）材料是當前凝聚態物理學中一個熱點研究方向。不同於傳統的金屬材料，拓撲金屬在費米能級附近具有非平庸的能帶交叉，導致能帶交叉附近的低能電子往往擁有奇特的行為。按照能帶交叉的維度，可以將其分為零維（nodal point）,一維（nodal

loop）和二維（nodal surface）三類 [關於nodal surface，可參考近期的一個工作Phys. Rev. B 97, 115125 (2018)]。尤其，對nodal loop和nodal surface的研究最近引起了人們極大的興趣，因為這些拓撲金屬態往往展現出新奇的輸運、電學、光學、磁學等方面的性質。

為了切實觀察到nodal loop和nodal

surface引起的奇異特性，以及考慮到未來的實際應用，開發出合適的候選材料尤為重要。對於較為理想的候選材料，需至少滿足以下條件：（1）與nodal loop和nodal

surface相關的能帶交叉需發生在費米能級附近，因為材料中大多數電子的特性由費米能級附近電子貢獻；（2）材料本身需穩定，且易於製備。上述條件的束縛使得當前合適的nodal loop和nodal surface實際材料比較有限。

今天小編給大家推薦一個近期的工作 [Phys. Rev. B 97, 235150 (2018)]，由河北工業大學張小明老師、北京航空航天大學勝獻雷老師和新加坡科技設計大學楊聲遠老師組合作完成。這個工作通過對稱性分析和第一性原理計算首次發現，一個性質優異的工程材料Ti3Al中具有受對稱性保護的nodal loop和nodal surface兩種拓撲能帶交叉的共存。

Ti3Al具有低密度、高強度、耐腐蝕、耐氧化、易製備等良好的材料屬性，是目前工程領域的一個明星材料。圖1（a）和（b）為Ti3Al的晶格結構。Ti3Al呈現六角晶格，空間群是194號。 Ti和Al的成鍵形成兩條四面體型的鏈狀結構，兩條鏈之間沿c軸方向錯開1/2個晶格。其晶格中具有如下得重要對稱性：空間反演P，鏡面對稱Mz，以及二度螺旋軸Sz：(x,y,z) → (?x, ?y, z + 1/2)。其中，Sz為非簡單對稱性。由於Ti3Al沒有磁性，因此體系也具有時間反演對稱性T。

圖1：（a）和（b）分別為Ti3Al 晶體結構的側視和俯視圖。（c）為其布里淵區以及高對稱點分布。

不考慮自旋軌道耦合（SOC）時，Ti3Al的電子能帶結構如圖2所示。從態密度（PDOS）圖中可以看出，Ti3Al費米能級附近的電子主要由Ti的d電子貢獻。從能帶圖上可觀察到，其費米能級附近存在兩組能帶交叉：（1）M-Γ-K路徑上的兩個交叉點P1和P2；（2）A-L-H-A路徑上的二度簡併的能帶（如圖2中箭頭所指）。下面分別對這兩組能帶交叉進行討論。

圖2：不考慮SOC時Ti3Al的能帶結構與PDOS。

首先討論能帶交叉點P1和P2。圖3（a）為兩個交叉點附近能帶的放大圖。由於體系同時具有對稱性P和T，因此P1和P2不會孤立存在。詳細計算兩個交叉點附近的能帶，發現P1和P2實際上是屬於在kz=0平面上以Γ點為中心的nodal loop上的兩個點，如圖3（b）和（c）所示。

圖3：（a）Ti3Al中Γ點附近軌道投影能帶圖；（b）Ti3Al中nodal loop的示意圖；（c）kz=0平面上的三維能帶圖。

通常來講，nodal loop上的交叉點往往不處於同一能級位置。並且，在以往的nodal loop中，能量波動一般較大（大於100 meV的量級）。與以往nodal loop材料不同，Ti3Al的nodal loop幾乎是平的。高精度的計算表明，整條loop的能量波動小於0.25 meV。這是第一次找到實際材料中近乎『平』的nodal loop的報道。

值得一提的是，Ti3Al中的nodal loop受兩種對稱機制的保護：（1）PT的聯合對稱性；（2）鏡面對稱性Mz。這兩種機制彼此獨立，保持任何一種都可以使得Ti3Al中的nodal loop穩定存在。比如，如果移動原子位置破壞對稱性P而保持Mz，則nodal loop會存在於kz=0鏡面上，如圖5（a）和（c）所示；如果移動原子位置破壞對稱性Mz而保持PT，nodal loop依然存在，只是不再位於kz=0鏡面上而分布於三維布里淵區之中，如圖5（b）和（d）所示。在這兩種獨立機制的保護下，Ti3Al中的nodal loop較以往多數拓撲金屬的nodal loop更為穩定。

圖4：（a）kz=0平面內選取的若干條穿過nodal loop的k點路徑，其中紅色圈表示nodal loop，O、P、Q、R為M-K路徑上的五等分點。（b）為（a）中各條k點路徑的能帶圖。（c）為（b）圖中各交叉點的能量位置。

圖5：（a）通過沿a軸方向移動一個Al原子破壞體系的中心反演，此時鏡面對稱Mz性依然存在；（b）通過沿c軸等距離反向移動兩個Al原子破壞體系的鏡面對稱Mz，此時中心反演P依然存在。（c）和（d）分別為（a）和（b）情況下nodal loop在三維布里淵區中的分布。

下面討論A-L-H-A路徑上的二度簡併（不考慮自旋）的能帶，圖6（a）為其放大圖。實際上，這種能帶的二度簡併是由兩條能帶在垂直於kz方向的線性交叉而形成，如圖6（b）和（c）所示。並且，這樣的能帶簡併特性不只存在於A-L-H-A路徑上，而是在整個kz=π平面上都如此。也就是說Ti3Al中，存在著一個位於kz=π平面上的nodal surface。這個nodal

surface是受非簡單對稱性Sz的保護[詳細討論見PRB 93, 085427 (2016)；PRB 97, 115125 (2018)]。

圖6：（a）Ti3Al中Γ-A路徑和kz=π平面上的軌道投影能帶圖；（b）Ti3Al中的nodal surface和布里淵區示意圖；（c）Ti3Al中E-R路徑的能帶圖。

本文小結:

文章預測了Ti3Al系列材料中具有受對稱性保護的nodal loop和nodal surface兩種拓撲能帶交叉的共存。其nodal loop和nodal surface恰好位於費米能級附近，同時Ti3Al材料具有良好的材料屬性包括抗腐蝕、高穩定、易於製備等，預期這兩種拓撲金屬性質可以很快在實驗上被觀察到。

這個工作發表於Phys. Rev. B 97, 235150 (2018)。

文章作者為：張小明，余智明，朱紫明，吳維康，王珊珊，勝獻雷，楊聲遠。

文章鏈接：https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.97.235150