總結2018.9.20

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最近學了數分總結一下（先寫個梗概）：

1.實數系：實數的構造（0

核心性質連續性

幾種等價表述：

連續性：1.戴特金分割 2.確界原理 3.單調有界列有極限

緊緻性：4.閉區間套引理 5.波爾察諾維爾斯特拉斯極限點引理 6.海涅波維爾有限覆蓋引理

完備性：7.柯西收斂原理

上述7個全部等價

tips:

1-1 Q不具有連續性而R具有 Q對R稠密 實數可用有理列逼近

1-2 集合的勢 與N等勢的集為可數集 可數集的可數並是可數集（推論：Q 代數數集是可數集） R不可數（單位區間造康托集）

1-3 有限覆蓋刻畫緊緻性->緊集（在有開集定義的空間中） 有拓撲背景 有限覆蓋另一個表述（Lebesgue數）

1-4 Q對極限運算不封閉（例：e） R封閉（完備）

2.極限理論：epsilon-delta語言給出

2-1數列極限：

審斂：Cauchy列，所有子列收斂

極限收斂性質：最終有界（夾迫、保序、保號），子列

極限運算：+-*/ （/引出無窮小分析：等價無窮小代換（本質Taylor），oO符號及運算，各量級：多項式<指數<階乘）

極限計算的結論：Teplitz定理，stolz定理，Cauchy定理（算數平均、幾何平均）

重要極限：

e（兩種方式：定義式夾迫、展開e（誤差估計））：關於e的極限、階乘處理（stiring)

(歐拉常數）：處理調和級數；黎曼函數實數部審斂；

手法：構造關聯列（子列、差分列（stolz、cauchy））、夾迫、引無窮小（引入、代換、taylor展開）、引多重極限（反覆利用保號性）

上極限和下極限的引入：極限點集 的上下確界，重要性質：上下極限必在E中，一個引理，兩種定義形式的等價性

點列極限->函數極限的定理：溝通離散與連續的橋樑

trivial性質同2-1 Cauchy審斂、上下極限

3.連續函數

3-1函數的連續性

定義（極限趨於該點函數值、等價表述），各類間斷點（一類點可數性）

連續性不變：+ - * / 反函數 ->初等函數連續；

一致連續性：注意其否定表達（構造子列

3-2閉區間上連續函數的性質（本質上是依賴於函數定義域（R閉區間）上的緊緻性）

（這裡取子列很好用，因為閉區間上子列有界則必定可以取出收斂子列

1康托爾定理：有限閉區間上的連續函數必定一致連續（反證法、列緊性原理）

2維爾斯特拉斯最值原理：有限閉區間上的連續函數必定有最大值和最小值（反證法、取子列

3介值定理（用閉區間套定理）