一條狗的電動力學筆記——第一章電磁現象的普遍規律

09-25

來自專欄一條狗的物理學習筆記2 人贊了文章

本學期學校開設電動力學和熱力學統計物理的課程。根據課程進度和安排，我會像之前一樣將相關的重要知識點按章節整理於此，主要以公式和概念為主，幫助自己平時和考試之前的複習工作。

【才發現知乎的TeX環境好像打不出帶圈的二重或者三重積分......網上找了很久，要麼說沒有，要麼說要調用宏包......如果有哪位大佬知道怎樣輸入的話請不吝賜教。因此下面所有封閉曲面的積分暫時用二重積分符號 $iint$ 代替（手邊的這本郭碩鴻的《電動力學（第三版）》上面積分符號全部都寫成單重積分的形式，雖然看起來比較簡潔，但是有的時候個人覺得看起來不是特別清晰，比如 $oint$ 同時代表封閉曲線和曲面的積分就很彆扭，雖然可以從積分變數看出來......）。

0、常用的矢量場論的公式

(1) Остроградский公式： $iint_S {vec A}cdot { m d}{vec S}=iiint_Omega ( ablacdot {vec A}){ m d}V$

(2) Stokes公式： $oint_l {vec A}cdot { m d}{vec l}=iint ( abla imes{vec A})cdot { m d}vec S$

(3) 三矢量的混合積： $vec a cdot (vec b imesvec c)=vec b cdot (vec c imes vec a)=vec c cdot (vec a imes vec b)$

(4) 三矢量的叉積： $(vec a imes vec b) imes vec c = (vec c cdot vec a)vec b-(vec ccdot vec b)vec a$

(5) 柱坐標系下的 $abla$ ：

$ablapsi=frac{partial psi}{partial r}vec e_r+frac{1}{r}frac{partial psi}{partial phi}vec e_phi+frac{partial psi}{partial z}vec e_z$
$abla cdot vec f=frac{1}{r}frac{partial}{partial r}(rf_r)+frac{1}{r}frac{partial f_phi}{partial phi}+frac{partial f_z}{partial z}$
$abla imes vec f =left(frac{1}{r}frac{partial f_z}{partial phi}-frac{partial f_phi}{partial z} ight)vec e_r+left(frac{partial f_r}{partial z}-frac{partial f_z}{partial r} ight)vec e_phi+left[frac{1}{r}frac{partial}{partial r}(rf_phi)-frac{1}{r}frac{partial f_r}{partial phi} ight]vec e_z$
$abla ^2 psi=frac{1}{r}frac{partial}{partial r}left(rfrac{partial psi}{partial r} ight)+frac{1}{r^2}frac{partial^2psi}{partialphi^2}+frac{partial^2psi}{partial z^2}$

(6) 球坐標系下的 $abla$ ：

$abla psi=frac{partial psi}{partial r}vec e_r+frac{1}{r}frac{partial psi}{partial heta}vec e_ heta+frac{1}{rsin heta}frac{partialpsi}{partial phi}vec e_phi$
$abla cdot vec f=frac{1}{r^2}frac{partial}{partial r}(r^2 f_r)+frac{1}{rsin heta }frac{partial }{partial heta}(sin heta f_ heta)+frac{1}{rsin heta}frac{partial f_phi}{partial phi}$
$abla imes vec f=frac{1}{rsin heta}left[frac{partial}{partial heta}(sin heta f_phi)-frac{partial f_ heta}{partial phi} ight]vec e_r+frac{1}{r}left[frac{1}{sin heta}frac{partial f_r}{partial phi}-frac{partial }{partial r}(rf_phi) ight]vec e_ heta+frac{1}{r}left[frac{partial}{partial r}(rf_ heta)-frac{partial f_r}{partial heta} ight]vec e_phi$
$abla ^2psi=frac{1}{r^2}frac{partial}{partial r}left(r^2frac{partialpsi}{partial r} ight)+frac{1}{r^2sin heta}frac{partial }{partial heta}left(sin hetafrac{partial psi}{partial heta} ight)+frac{1}{r^2sin^2 heta}frac{partial ^2psi}{partialphi^2}$

(7) 任意標量場梯度的旋度為〇： $abla imes abla f=0$

(8) 任意矢量場旋度的散度為〇： $abla cdot left( abla imes vec f ight)=0$

(9) $abla ^2 vec A= abla left( ablacdot vec A ight)- abla imes left( abla imes vec A ight)$

1、Coulomb定律（其中 $vec x$ 表示場點的位置； $vec x$ 表示電荷的位置； $vec r$ 表示 $vec x-vec x$ ，由電荷指向場點）

靜止的點電荷 $Q$ ： $vec E =frac{Qvec r}{4pi varepsilon_0 r^3}$

帶電體（電荷密度為 $ho (vec x)$ ）： $vec E(x)=iiint _V frac{ ho(vec x)vec r}{4pi varepsilon_0r^3}dV$

2、電場強度通量的Gauss定理和靜電場的旋度

(1) Gauss定理的積分形式： $iint_S vec Ecdot { m d} vec S=frac{Q}{varepsilon_0}=iiint_V frac{ ho}{varepsilon_0}{ m d}V$

(2) Gauss定理的微分形式： $abla cdot vec E =frac{ ho}{varepsilon_0}$ ；空間某點鄰域上電場的散度只和該點上的電荷密度有關。

(3) 靜電場是保守場，沿其中任意封閉路徑積分都為〇： $oint _L vec Ecdot { m d}vec l=0$

微分形式表達為： $abla imes vec E=0$ ；i.e. 靜電場是無旋場。

3、電荷守恆定律

$I =iint_S {vec J}cdot { m d}{vec S}$ ，其中的 $vec J$ 定義為電流密度矢量。

(1) 電荷守恆定律的積分形式： $iint _S {vec J}cdot { m d}{vec S}=-iiint _Vfrac{partial ho}{partial t}{ m d}V$

(2) 電荷守恆定律的微分形式（電流連續性方程）： $abla cdot {vec J}+frac{partial ho}{partial t}=0$

對於恆定電流而言： $abla cdot {vec J}=0$

(3) Ohm定律的微分形式： $vec J=sigmavec E$ ，其中 $sigma$ 是電導率，單位是Siemens。

4、Bio-Savart定律

(1) 細導線周圍的磁場： $vec B(vec x)=frac{mu_0}{4pi}oint_Lfrac{I{ m d}vec l imes vec r}{r^3}$

(2) 電流體周圍的磁場： $vec B(vec x)=frac{mu _0}{4pi}int _Vfrac{vec J(vec x) imesvec r}{r^3}{ m d}V$

5、靜磁場的散度和旋度（Bio-Savart定律的推論）

(1) 靜磁場的散度（磁場的Gauss定理）： $abla cdot {vec B}=0$ ；恆定磁場總是無源的（假定磁荷不存在）。

(2) 靜磁場的旋度： $abla imes vec B=mu_0vec J$

6、Faraday電磁感應定律和位移電流（對於穩恆電磁場方程在考慮運動情況下的修正）

(1) Faraday電磁感應定律： $mathscr{E}=-frac{{ m d}Phi_m}{{ m d}t}=-frac{ m d}{{ m d}t}iint_Svec Bcdot { m d}vec S$

推論： $abla imes {vec E}=-frac{partial {vec B}}{partial t}$

(2) 位移電流： $vec J_d=varepsilon_0frac{partial vec E}{partial t}$

在只考慮直流電時： $abla cdot vec J=0$

對於交流電的情況： $abla cdot vec J=-frac{partial ho}{partial t}$

再考慮到電場的Gauss定理，就有推論： $abla imes vec B=mu_0vec J_f+mu_0varepsilon_0frac{partial vec E}{partial t}$

7、真空中的Maxwell方程組

$egin{equation} left{ egin{aligned} & abla cdot vec E=frac{ ho}{varepsilon_0}\ & abla imes vec E=-frac{partial vec B}{partial t}\ & abla cdot vec B=0\ & abla imes vec B=mu_0vec J+mu_0varepsilon_0frac{partial vec E}{partial t} end{aligned} ight. end{equation}$

8、電位移矢量和極化強度

(1) 極化強度： $vec P=chi_evarepsilon_0vec E$

在電介質內部，極化電荷密度和極化強度的關係： $ho_p=- abla cdot vec P$

(2) 電位移矢量： $vec D=varepsilon_0vec E+vec P=varepsilon vec E$

可以將真空中的Gauss定理（微分形式）改寫成： $abla cdot vec D= ho_f$

9、磁場強度和磁化強度

(1) 磁化強度： $vec M=chi_mvec H$

單位長度的磁化電流（ $J_m=frac{I_m}{l}$ ）和磁化強度的關係： ${vec J}_m= abla imes{vec M}$

(2) 磁場強度： $vec H=frac{vec B}{mu_0}-vec M=frac{vec B}{mu}$

可以將真空中的磁場的旋度定理改寫成： $abla imes vec H=vec J_f +vec J_d =vec J_f +frac{partial vec D}{partial t}$

10、介質中的Maxwell方程組

微分形式：

$egin{equation} left{ egin{aligned} & abla cdot vec D= ho_f\ & abla imes vec E=-frac{partial vec B}{partial t}\ & abla cdot vec B=0\ & abla imes vec H=vec J+frac{partial vec D}{partial t} end{aligned} ight. end{equation}$

積分形式：

$egin{equation} left{ egin{aligned} &iint_Svec Dcdot{ m d}vec S =Q_f\ &oint_Lvec Ecdot { m d}vec l=-iint_Sfrac{partial vec B}{partial t}cdot{ m d}vec S\ &iint _Svec Bcdot { m d}vec S=0 \ &oint_Lvec H cdot { m d}vec l = I_f+iint_Sfrac{partial vec D}{partial t}cdot { m d}vec S\ end{aligned} ight. end{equation}$

（其中第1和第3式等號左邊的二重積分都表示對閉合曲面的積分）

11、電磁場的邊值關係

$egin{equation} left{ egin{aligned} &vec e_n imes(vec E_2-vec E_1)=0\ &vec e_n imes (vec H_2-vec H_1)=vec alpha\ &vec e_ncdot (vec D_2-vec D_1)=sigma\ &vec e_ncdot (vec B_2-vec B_1)=0 end{aligned} ight. end{equation}$

其中， $vec alpha$ 為電流線密度，大小等於垂直通過單位橫截線上的電流。

12、電磁場的能量和能流

(1) 能流密度矢量： $vec S=vec E imesvec H$

(2) 如果記 ${vec f}$ 為場對電荷作用力密度， $w$ 為場的能量密度，根據能量守恆定律，對於一個封閉的曲面，單位時間通過界面 $S$ 流入 $V$ 內的能量等於場對其內電荷作功的功率與其內電磁場能量增加率之和：

$-iint_S {vec S}cdot{ m d}{vec S}=iiint_V{vec f}cdot {vec v}{ m d}V+iiint_V frac{partial w}{partial t}{ m d}V$

微分形式寫作： $abla cdot vec S+frac{partial w}{partial t}=-vec fcdot vec v$

考慮到Lorentz力的公式， $vec fcdot vec v=( ho vec E+ hovec v imesvec B)cdot vec v= ho vec vcdot vec E=vec Jcdot vec E$

再利用Maxwell方程組和矢量分析公式，能夠得到

$vec Jcdot vec E=- ablacdot (vec E imes vec H)-vec Ecdot frac{partial vec D}{partial t}-vec Hcdot frac{partial {vec B}}{partial t}$

從而能量密度的變化率可以表示為

$frac{partial w}{partial t}=vec Ecdot frac{partial vec D}{partial t}+vec Hcdotfrac{partial vec B}{partial t}$

這樣，上面的能量守恆所得到的式子就可以改寫成

$-iiint _Vfrac{partial w}{partial t}{ m d}V=iint_Svec Scdot { m d}vec S+iiint_V vec Jcdot vec E{ m d}V$

在真空中，電磁場的能量密度可以寫成： $w=frac{1}{2}left(varepsilon_0E^2+frac{1}{mu_0}B^2 ight)$

在線性介質中，電磁場的能量密度可以寫成： $w=frac{1}{2}(vec Ecdot vec D+vec Hcdot vec B)$

對於一般介質，可以將其中能量的改變數表示出來： $delta w=vec Ecdot deltavec D+vec Hcdot deltavec B$

13、載流導體電磁能量的流動圖像

圖片來自《電動力學（第三版）》郭碩鴻著，高等教育出版社出版，第32頁的圖1-17

在電路的載流導線中，電流（電場）方向和其產生的磁場方向相互垂直，其叉積之後得到的能流方向與電流的方向垂直，並且指嚮導線的截面中心。因此，電子運動的能量並不是供給負載上消耗的能量。在負載上以及在導線上消耗的功率完全是在場中傳輸的。導線上的電流和周圍空間或介質內的電磁場相互制約，使電磁能量在導線附近的電磁場中沿一定方向傳輸。

參考文獻：

[1] 電動力學（第三版），郭碩鴻著，高等教育出版社

[2] 電磁學（第三版），趙凱華陳熙謀，高等教育出版社

[3] Introduction to Electrodynamics (Third Edition), David J. Griffiths, Pearson Education, Inc.

一條狗的電動力學筆記——第一章 電磁現象的普遍規律

一條狗的電動力學筆記——第一章電磁現象的普遍規律