MP17：幾何與物理II：現代視野下的電動力學

09-25

來自專欄數學物理私塾課20 人贊了文章

在前一個系列——幾何與物理I：微分流形上的分析力學中，我們從最基礎的拓撲開始，學習了微分流形上的切空間-餘切空間，以及建立在其上的分析力學。把這幾講讀下來，可以感受到幾何在物理學中的威力。從現在開始，我們繼續學習更多的拓撲學和微分幾何的知識，經過新的一輪學習，將能夠用更簡潔的數學概念去理解電動力學。這一講主要是漫談，以免後面一系列新概念進來後不知所云。

積分的各種形式

我們所熟知的簡單的積分，大約可以分為三種形式

不定積分：作為導數的逆

$int F^prime dx$

這類積分對應的是微分方程的解。

無符號的積分

$int_Omega f(x)dx$

這類積分關心的是測度，進一步發展為測度空間上的積分。由於是在測度空間上積分，不存在積分順序問題，不會像下面有符號的積分那樣對區域的方向敏感，所以叫無符號的。

有符號的積分：Newton-Leibniz公式

$int_a^b F^prime dx = F(b)-F(a)$

這類積分將推廣為微分形式的積分。交換積分區域的端點，積分的值也會反號，所以是有符號的。

我們注意到有符號的積分通過Newton-Leibniz公式聯繫了函數的微分在區域中的積分和函數在邊界上的差。這一關係有兩方面的含義：

區域和區域邊界的關係
區域上積分和邊界上積分的關係

微分形式的積分在拓撲和微分幾何中是相當基本的問題。要完整地理解區域和區域邊界的關係，理解區域上積分和邊界上積分的關係，以及Newton-Leibniz公式的推廣Stokes公式，需要後面一系列拓撲學和微分幾何的概念基礎。

微分形式的積分

回顧一下我們在微積分中學過的幾個定理：

Green定理： $Omega$ 為平面上的區域，邊界 $partial Omega$ 為有向閉曲線：

$iint _{Omega}left({frac {partial M}{partial x}}-{frac {partial L}{partial y}} ight),dx,dy=oint_{partial Omega} (L,dx+M,dy)$

Gauss定理：令 $F=F^xi+F^yj+F^zk$ ，那麼在空間閉區域 $Omega$ 上進行積分，對區域進行如下體積分等於對閉曲面邊界 $partialOmega$ 進行相應的面積分：

$iiint_Omega ( abla cdot F)dxdydz = iint_{partial Omega} F^xdydz + F^ydzdx + F^zdxdy$

這個公式的物理意義非常明確。如果 $F$ 為電場，那麼左邊的被積函數為散度 $abla cdot F$ ，按照面積元 $dxdydz$ 對整個區域積分，得到區域 $Sigma$ 中總的電源。右邊的被積表達式表示穿過邊界 $partialSigma$ 的電場，它和區域內的電源是相等的。

Stokes定理：對旋度的積分 ${egin{aligned}&iint _{Omega}{Bigg (}left({frac {partial R}{partial y}}-{frac {partial Q}{partial z}} ight),dy,dz+left({frac {partial P}{partial z}}-{frac {partial R}{partial x}} ight),dz,dx+left({frac {partial Q}{partial x}}-{frac {partial P}{partial y}} ight),dx,dy{Bigg )}\[4pt]={}&oint _{partial Omega }{Big (}P,dx+Q,dy+R,dz{Big )}end{aligned}}$

Newton-Leibniz定理：微積分基本定理

$int_{x_1}^{x_2} fdx = F(x_2) - F(x_1)$

這些定理都體現出微分形式的積分的特點：即聯繫了函數的微分在區域中的積分和函數在邊界上的差。

Stokes定理

以上的Newton-Leibniz、Green、Gauss、Stokes定理，在微分幾何中可以歸納為同一個Stokes定理：

$int _{partial Omega }omega =int _{Omega }domega$

下面談談這個公式的意義。

$Omega$ 為區域， $partial Omega$ 為區域的邊界。聯繫它們的關係是邊界運算元

$partial: Omega mapsto partialOmega$

若 $Omega$ 為 $(n+1)$ 維拓撲流形，則 $partialOmega$ 為 $n$ 維拓撲流形。兩次邊界運算元 $partial^2$ 的特點：

$partial^2Omega=partial(partialOmega)=0$

簡單的理解：邊界沒有邊界。

$omega$ 是一個微分形式， $domega$ 是這個微分形式的外微分運算元。兩次外微分運算元 $d^2$ 的特點：

$d^2omega = d(domega) = 0$

外微分運算元 $d$ 是過去我們學習的微分運算元在外微分形式空間上的推廣，過去我們學習的許多（帶有Nabla算符 $abla$ 或帶有Laplace算符 $Delta = abla^2$ ）矢量分析和場論的等式，其實都是靠外微分運算元聯繫的。

如果擁有良好的數學直覺，我們不難注意到邊界運算元 $partial$ 和外微分運算元 $d$ 之間的相似性。我們今後還會藉助閉形式、恰當形式可以建立起de Rham上同調。完整建立了對偶性之後，Stokes將具有內積的形式：

$langle partialOmega, omega angle = langle Omega, domega angle$

討論

以上了解了Stokes定理是如何從簡單的Newton-Leibniz定理，到多元的Green、Gauss、Stokes定理，通過拓撲與微分形式的工具，推廣為一般的微分形式的Stokes定理，進一步藉助同調-上同調成為內積形式的Stokes定理。在這一過程中，大量的數學現象得到簡化，大量的物理規律特別是電動力學規律得到了更加簡潔的理解。

接下來我們將著手推演這一過程，其中涉及到的學習內容主要包括：

代數拓撲中的同調、上同調，用代數工具研究邊界運算元 $partial$ ，同時也用範疇論的方法建立拓撲映射和代數同態的聯繫
外代數的學習，包括反對稱、外積、外代數、 $p$ -形式、 $p$ -微分形式等方面
Stokes定理的推導
藉助Stokes定理理解電動力學
探討Maxwell方程中的微分形式
重新用電磁勢簡化Maxwell方程