[導讀] 隨機矩陣理論 (一): 起源及物理應用

09-25

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譯者注

該文翻譯自Alwyn Scott編著的Encyclopedia of Nonlinear Science(2004)一書中由Bruno Eckhardt編寫的詞條RANDOM MATRIX THEORY I: ORIGINS AND PHYSICAL APPLICATIONS (只用於學術交流，嚴禁任何形式的商業轉載)

量子系統的標準範例通常有一套完整的量子數。對於弱磁場中的類氫原子，徑向、角以及磁量子數，可能與自旋態一起，唯一決定了原子的能級。核物理學家最先遇到了一種上述性質不可能存在的情況。質子和中子從核中散射這一事件揭示了大量不再被量子數完全標記的共振。鑒於這一事實以及中子間複雜相互作用的不確定性，Eugene Wigner發展了一種統計方法來觀測能譜：他提出尋找該分布及其強度的統計描述，而非試圖去單獨表徵每個共振(關於早期發展，見Wigner (1967))。然後，通常感興趣的量就是共振的平均密度，其間距的概率，兩點或多點關聯函數(correlation function)以及遷移強度的分布。哈密頓量(Hamiltonian)被建模為一個隨機矩陣，並且通過精妙的數學技巧，我們可以實現某些隨機矩陣系綜譜性質的完整刻畫。Wigner的John von Neumann講座(Wigner, 1967)，以及Mehta (1991)和Porter (1965)的書概述了許多結果和方法。這些來源還包含隨機矩陣在物理學中廣泛使用之前在數學中工作的參考文獻。

最重要的系綜就是高斯系綜。考慮具有統計獨立的實或復 $N imes N$ 矩陣系綜H，其分布函數為

$P_N(H_{11}, H_{12}, dots, H_{NN}) = prod_{i, j} p_{ij} (H_{ij})$ . (1)

在基變換下分布不變性的要求是很自然的，因為它們無法被先天挑選出來。如果變換是正交的(orthogonal)、酉的(unitary)或辛的(symplectic)，則分別得到高斯正交系綜(GOE)，高斯酉系綜(GUE)或高斯辛系綜(GSE)。該分布函數為

$P_{N, eta} = left( frac{eta}{2pi} ight)^{N/2} left( frac{eta}{pi} ight)^{eta N(N-1)/2} exp left( -frac{eta}{2} mathrm{tr} H^2 ight)$ (2)

其中，GOE的參數 $eta = 1$ , GUE的參數 $eta = 2$ , 以及GSE的參數 $eta = 4$ 。

存在很多量可以研究，並且對於這些量來說很多情況下也能獲得精確結果，這裡我們只列出兩個：能級間距(level spacing)分布和方差 (圖1)。對於其它量，見Brody等 (1981), Guhr等 (1998), Haake (2001), Mehta (1967), 以及 St?ckmann (1999)。

能級間距分布是(用平均能級間距表示)找到兩個相鄰能級間距 $s$ 的概率密度。來自隨機矩陣系綜的表達式有點複雜，但Wigner給出了一個非常好的近似：

$P_{mathrm{GOE}} = frac{pi}{2} s mathrm{e}^{-(pi/4)s^2}$ , (3)

$P_{mathrm{GUE}} = frac{32}{pi^2} s^2 mathrm{e}^{-(4/pi)s^2}$ , (4)

$P_{mathrm{GSE}} = frac{2^{18}}{3^6 pi^3} s^4 mathrm{e}^{-(64/9pi)s^2}$ . (5)

這些表達式的特徵是，對於比較小的 $s$ ，分布像 $s^eta$ 一樣增長，從而抑制了小間距。

圖1. 不同系綜的能級間距分布以及方差.

方差度量的是某個區間內真實特徵值與期望特徵值間的偏差。用平均間隔表示，期望等於區間長度 $L$ ，用 $N(L)$ 表示真值，則方差為

$Sigma^2(L) = left<(N(L) - L)^2 ight> = left< (N(L))^2 ight> - L^2$ . (6)

在一個不相關能級的泊松過程中，方差將線性增加， $Sigma^2(L) = L$ 。在隨機矩陣系綜中，增長則較慢，

$Sigma^2(L) sim frac{2}{eta pi^2} ln L + c_eta$ (7)

其中 $c_eta$ 為常數(關於完整表達式，可以見Brody等 (1981))。緩慢的對數增長反映了能級間的相互作用。

在大約1975年到上世紀80年代中旬期間，Michael Berry，Oriol Bohigas以及其他人將這些統計方法應用於具有混沌經典極限的系統，並觀察到能級分布以及相關因子與隨機矩陣理論完全一致。他們推測，混沌系統將表現出與哈密頓量的全局實對稱(symmetric)、復厄米(Hermitian)或辛(symplectic)對稱性相一致的隨機矩陣行為。可積系統(integrable systems)的特徵值分布，正如Berry和Tabor更早時候所展示的那樣，應該展現出泊松統計(Haake, 2001; St?ckmann, 1999)。這兩種情況的爭論大致如下：如果經典系統是可積的，則量子本徵態(eigenstates)處於圓環(tori)上，且能量可以用適當作用的玻爾-索末菲量子化(Bohr–Sommerfeld quantization)來近似。不同圓環給出了獨立的量子特徵值序列，使得這一系列的特徵值反映了特徵值的隨機出現，它們並無相關性。結果，平均能級間距分布變成了指數分布。在混沌系統中，本徵態分散於連通混沌分量上。因此它們有相同的支撐集(support)，但因為它們必須是正交的，所以它們必須相互作用。然後，這種相互作用導致了能級排斥以及在 $P(s)$ 中觀察到的小間距抑制。這一猜想由兩點關聯函數(Berry, 1985)，核、原子和分子的實驗數據，以及來自各種系統的數值數據(St?ckmann, 1999)的一大堆經驗證據等半經典論據支撐。少數例外(例如，在負曲率表面上的算術撞球(billiards)(Bogomolny等, 1997))導致了必備要求的說明。但到目前為止，對於可積系統和混沌系統都還沒有證明出來。

隨機矩陣與潛在波動的混沌行為之間的聯繫表明了為什麼隨機矩陣統計也可能出現在許多非量子情形中。事實上，當波陣面的短波動力學混沌時，在不規則形狀容器中的聲共振，空腔(cavities)中的電磁諧振，以及板塊和其它固體塊的機械振動，都顯示出與隨機矩陣理論期望完全一致的統計性質(St?ckmann, 1999)。

在隨機矩陣理論中形成的統計測量也已傳播到其它領域，最顯著的就是黎曼 $zeta$ 函數理論。黎曼 $zeta$ 函數定義如下

$zeta_{mathrm{R}}(s) = sum_{n=1}^infty n^{-s},$ (8)

它可以解析延拓到複平面。

然後，它在 $s = 1$ 處有一個極點(pole)，在 $s = -2, -4, dots$ 處存在所謂的平凡零點。Bernhard Riemann存在已久的猜想是說其它所有零點沿著線 $s = frac{1}{2} + i t$ 。希爾伯特(David Hilbert)提議將此看作一個以這些零點為特徵值的特徵值問題。雖然該系統仍難以理解，但統計分析表明，它屬於高斯酉系綜(Gaussian unitary ensemble)的普適(universality)類(為了說明隨機矩陣理論、素數以及黎曼零點間如此迷人的關係，見Berry & Keating (2000))。

雖然之前所有的例子處理的都是具有固定哈密頓量的單獨系統，但也可以考慮這樣的無序系統，作為額外的統計要素，引入了某些哈密頓量變體。例如，在固體中，雜質的平均密度可以通過實驗控制，但具體位置以及它們對特定實驗的影響難以確定。然後可以再次建立隨機矩陣模型，並推出普適的可測量，因為它們只依賴於系統的全局對稱性，見Beenakker (1997)， Guhr等 (1998)以及Efetov (1997)。

來自場論(field theory)，Grassmann代數以及超對稱(supersymmetry)中的技術通過與無序系統間的聯繫進入了隨機矩陣理論(Zirnbauer, 1996)。這些工具使得許多物理量能夠在極端的量子極限以及半經典極限下都能進行解析求解。更重要的是，它們指出了與群論(group theory)以及齊性空間(homogeneous spaces)之間的聯繫。上面三個普適類(GOE, GUE, 以及GSE)的分法必須擴展成10種情況。其他情況的實現需要額外的對稱性。通過將三個經典系綜擴展到具有粒子-空穴對稱性(particle-hole symmetry)的Dirac哈密頓量，可以找到其中三種情況。其餘四種情況可以在某些標準超導系統中找到。

正如Guhr等 (1998)所言，隨機矩陣領域開闢了一類新的隨機系統(stochastic systems)，它在物理學以及其它領域有著廣泛的應用，且具有迷人的數學聯繫。整體特徵是隨機性結合廣義對稱性產生了不依賴於動力學原理的普遍規律(universal laws)。跡象表明，它也可以在金融數據分析，無線通信，或神經信號相關性提取(例如，見Forrester等, 2003)等方面發揮作用。

Further Reading

Beenakker, C.W.J. 1997. Random-matrix theory of quantum transport. Reviews of Modern Physics, 69: 713–808

Berry, M.V. 1985. Semiclassical theory of spectral rigidity. Proceedings Royal Society of London A, 400: 229–251

Berry, M.V. & Keating, J.P. 2000. The Riemann zeroes and eigenvalue asymptotics. SIAM Review, 41: 236–266

Bogomolny, E.B., Georgeot, B., Giannoni, M.J. & Schmit, C. 1997. Arithmetical chaos. Physics Reports, 291: 219–324

Brody, T.A., Floris, T., French, J.B., Mello, P.A., Pandey, A. & Wong, S.S.M. 1981. Random-matrix physics: spectrum and strength fluctuations. Reviews of Modern Physics, 53: 385–479

Efetov, K.B. 1997. Supersymmetry in Disorder and Chaos, Cambridge and New York: Cambridge University Press

Forrester, P.J., Snaith, N.C. & Verbaarschot, J.J.M. (editors). 2003. Special issue: random matrix theory. Journal of Physics A, 36: R1–R10 and 2859–3645

Guhr, T., Müller-Groeling, A. & Weidenmüller, H.A. 1998. Random-matrix theories in quantum physics: common concepts. Physics Reports, 299: 190–425

Haake, F. 2001. Quantum Signatures of Chaos, 2nd edition, Berlin and New York: Springer

Mehta, M.L. 1967. Random Matrices and the Statistical Theory of Energy Levels, New York: Academic Press

Porter, C.E. (editor). 1965. Statistical Theory of Spectra, New York: Academic Press

St?ckmann, H.J. 1999. Quantum Chaos: An Introduction, Cambridge and New York: Cambridge University Press

Wigner, E.P. 1967. Random matrices in physics. SIAM Review, 9: 1–23

Zirnbauer, M.R. 1996. Riemannian symmetric superspaces and their origin in random-matrix theory. Journal of Mathematical Physics, 37: 4986–5018