可能是最水的Laplace變換簡介

來自專欄不懂數學的人的物理之路8 人贊了文章

作為一種求解pde的常用方法，Laplace變換在不僅僅是物理學的領域中均得到了非常多的應用（以下有請信息學院的同學們發言）。但是介於課時原因，關於Laplace變換的內容在本校的數學物理方法課中不常提及，所以姑且把我所了解到的關於Laplace變換的初級內容做一個簡單的介紹，以及舉出一個關於如何用matlab實現Laplace變換解pde的小例子。

註：本文將不會提及任何有關於漸近積分、Laplace積分以及Gamma函數的事情，僅僅只是一個簡單的入門，如果你們對這些有興趣，請自行翻閱卓里奇《數學分析（下）》

1.從Fourier變換到Laplace變換

我們知道Fourier變換要求被變換函數處處連續且在R區間上絕對可積，這使得它的應用範圍有所限制，於是我們引入Laplace變換使得這一問題得到優化：

設f(t)為定義在[0, ∞)的函數，引入新函數：

對上函數做Fourier變換：

令

則

同理，其逆變換為

由上式知

回代：

令F(s)=L(s)，則

為一對積分變換，即為Laplace變換及其逆變換，記為：

其中Laplace逆變換

也稱為 Riemann-Mellin 反演公式。

2.用Laplace變換解pde

在matlab中Laplace變換有專用指令laplace和ilaplace，使用格式如下：

>>L=laplace(f,t,s)

>>f=ilaplace(L,s,t)

其中L和f均為符號表達式，並且是可以輸入矩陣的。

我們在這裡不舉出更多的關於Laplace變換的性質，僅僅只做一個解答的範例，我所使用的matlab版本為16b

用Laplace變換解pde的步驟一般如下：

1.對原方程做Laplace變換

2.解出像函數

3.對像函數做Laplace逆變換得出結果

下面看一個例子：

求解半無界弦振動的混合問題（由於matlab的Laplace變換是單邊的，所以其實很適合做這類問題）：

式中f（t）光滑且一階導數為0

解：

1.做關於變數t的Laplace變換：

則

代入初始條件：

2.解出像函數：

此處用matlab解答，代碼最後附上。代入邊值條件：

3.做Laplace逆變換：

由卷積定理：

用matlab求出其中兩項卷積後有：

其中u2為廣義積分項：

用matlab計算後回代：

再將卷積寫成積分形式：

知道具體的f(t)後即可解出u來。

Laplace變換尚有許多其他的功能，是十分重要的一種積分變換，然後這裡也就不多增加篇幅了，更多的內容可以參考 《複變函數與積分變換》、《數學分析（下）》等內容。

值得一提的是，其實這道題我是先用手算了一遍，然後才用的matlab，在解B的逆變換時matlab遇到了問題，可能是因為這過程中涉及到一些複雜的積分計算= =於是我把我手解的答案代入了進去。結果上應該是沒有什麼問題的。啊果然是我太菜了QAQ

最後附上自己寫的matlab代碼，剛好明天得去參加數學建模培訓，就當是適應一下拿matlab調包的事情（有dalao願意指出為什麼這裡B解不出來那是極好的）：

syms s x a;U=dsolve(a^2*D2U-s^2*U=-F,x),U1=subs(U,x,0)clear;syms t positive,syms s x,syms a;A=ilaplace(s^-2,s,t),B=ilaplace(1-exp(-s*x/a),s,t)clear;syms s a t k x;u2=int(dirac(x/a-k)*(t-k),k,-inf,inf)clear;

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