【思維模型】查理·芒格113個思維模型之19-24

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19.用算術等式分析問題Algebraic Equivalence

Algebraic Equivalence的意思是「代數等價」，這是一個代數術語，代表代數等價關係。但是根據原文，代數等價應該不是Parrish想要表述的真實含義，他想要表述的，是要學會用算術等式來分析我們的問題。

記得小學剛開始學算術時，感覺最難的題都是應用題，因為其他題目都列好了等式，唯有應用題，需要先翻譯，把現實生活中的問題翻譯成算術等式。

我們去分析一家企業或一個業務，也要重新拾起小學就掌握的應用題方法，把它的商業模式翻譯成一個或多個算術等式。

比如小米的業務很多，至少有三大塊——智能手機、IoT與生活消費產品、互聯網服務營收，這3塊業務的核心公式分別是什麼？賣貨品的算術公式和賣廣告的公式有啥不同？

同樣是賣廣告的，也有兩種不同公式，公眾號《筆下求生》作者朱時雨老師說：

互聯網常見廣告公式有兩種：

1.Ad revenue =DAU*人均PV*廣告展現率*CPM

2.Ad revenue = DAU*人均feed*Ad load*CPM

第一個收入公式應用在傳統展示類廣告上，對展示類廣告來說，空間是第一維度，也就是按照不同的版面設計出不同的廣告位，其實是報紙/雜誌廣告的一個延續。

第二個公式應用到基於Feed流形式的社交廣告，這種基於信息流的native ad，除了空間維度外，還多了一個時間維度（timeline）,page views的概念被弱化，信息流的刷新成為更重要的指標，這樣一來，廣告庫存的空間被大大的打開，只要用戶有持續刷新和Feed的閱讀，理論上就創造上更多的潛在的廣告庫存。

把問題算術等式化，需要兩步，第一部是去掉無關的屬性，如果要計算有幾個蘋果，就不要關注蘋果的顏色、大小和品種，只需要抽象出相關屬性——數量。其次是轉換，轉換後才能建立數學模型，算術等式是最簡單的數學模型。

問問自己，你負責的手頭工作，有哪幾個最重要的算術等式？

20.流失Churn

許多人小學生都做過進水管和出水管同時工作的數學題，網上常常看到被人吐槽。

可是，進水和出水同時進行不就是生活的常態嗎？誰能像貔貅一樣只吃不拉呢？企業要持續獲得收入就需要不斷付出成本，而客戶和員工也總是在不斷流失的，即便他再忠誠。

《愛麗絲夢遊仙境》里紅皇后對愛麗絲說：

你必須儘力地不停地跑，才能使你保持在原地。

紅皇后的話，對於商業有兩層含義：

• 一層是你的競爭對手也在跟著你一起奔跑，如果你不夠努力，他們會把你拋在後面；
• 另一層含義則是，用戶離你而去是天經地義的事情，如果你不能夠因時而變，不斷把新的用戶抓在手裡，那麼就會「不進則退」

不同企業對於客戶流失重視程度不同，客戶交易次數有限，甚至只有一次的企業，對於流失通常不重視。國內許多風景區的餐館旅店，為什麼時常發生客服投訴，因為旅遊回頭客較少，「宰一個是一個」。中國消費人群基數極其龐大，客戶流失一直不是企業關注的重點。

無論是傳統的AIDA模型，還是適合互聯網時代的AISAS模型，或者互聯網產品常用的AARRR模型，本質上都是用戶層層流失的漏斗模型，每個環節上發生的客戶流失都是衡量該環節工作質量的關鍵指標。

流失既然不可避免，但是如果流失的都是低ARPU的客戶，而增加的都是高ARPU客戶，未嘗不是一件好事。

如果轉180度，把Churn想像成貨品的買入賣出，採買來的貨品以合理的利潤率快速售賣出倉，變現成資金後再繼續採買新品，實現資金的快速周轉，那麼這種Churn豈不是越快越多越好？

21.大數定律

大數定律是概率學的核心定律之一，可以簡單地理解：樣本數量越多，其平均值越趨近期望值。

在重複試驗中，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率趨於一個穩定值。比如，我們向上拋一枚硬幣，硬幣落下後哪一面朝上是偶然的，但當我們上拋硬幣的次數足夠多後，我們會發現，概率越來越接近50%。

許多人都聽過賭徒謬誤：

賭徒謬誤（The Gamblers Fallacy）亦稱蒙地卡羅謬誤（The Monte Carlo Fallacy），認為由於某事發生了很多次，因此接下來不太可能發生；或者由於某事很久沒發生，因此接下來很可能會發生。

舉個例子，拋一枚公平的硬幣，連續出現10次正面後，下一次出現反面的概率會發生什麼變化？

老賭徒會陷入「賭徒謬誤」，認為該押反面；而新賭徒通常會迷信「熱手效應」，認為該繼續押正面。

事實上因為硬幣沒有任何記憶，因此下一次出現反面的概率仍然是50%，硬幣此前的表現與下一次無關。

可是，根據大數定律，正反出現的概率應該各是50%，現在連續出現了10次正面，那麼如果下一次反面出現的概率不增加，如何確保反面趕上來，確保一半一半的概率分布呢？

大數定律的核心是「大」，大數定律只有在數據量足夠大時，才會顯現它的作用，它不會對已經發生的情況進行平衡調整，千萬別以為在連續出現10次正面後，大數定律會讓反面出現得多一點。真實的情況是：只有隨著時間的流逝，它的作用才顯現出來。所以說，獨立或者短期去看，都是偶然，長期看全是必然。

錢鍾書先生說過一句很值得琢磨玩味的話：

天下就沒有偶然，那不過是化了妝的、戴了面具的必然。

大數定律給我最大的啟示是：找到一個能穩定優勢的策略以後，想方設法把優勢策略重複發揮到極致。

比如你手裡有1000元錢，你願意選擇下面哪種方式來參加投硬幣的賭局呢？

方案A：1000元一次性全部押正面。

方案B：每次用1元押正面，一共參與1000次。

計算會發現，兩種方案的期望收益都是一樣的，可是第一種的標準差卻是第二種的1000倍，而標準差常被用來描述風險。收益相同，可是風險卻相差了1000倍，你選哪個？

來源：投資中的大數定律

大步跳躍要比小步穩健快跑更容易扯著蛋，三年前網紅電商火了後，不少做投資的都奔著網紅團隊去了，而有人則堅持不斷買進阿里股票，因為他堅信大數理論。

同樣的道理，在美國西部淘金時代，有人一夜暴富，有人巨虧破產，然而那些賣鏟子和牛仔褲卻穩賺不賠，前幾年比特幣火的時候，賣挖礦機和顯卡的一樣發了財。

提升獲勝概率有時難度很大，那麼提升嘗試微弱概率優勢策略的次數就成為一個好選擇，不做賭徒，那就開賭場吧，讓大數定律為自己服務。

村上春樹說：

「若要在堅硬的高牆與擊石的雞蛋之間作選擇，我會永遠選擇站在雞蛋那一邊。

概率信徒應選擇跟時間站在一起，因為沒有人能夠打敗時間。

22.鐘形曲線/正態分布

正態分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是很常見的連續概率分布，身高、壽命、血壓、考試成績、測量誤差等的概率密度函數，都屬於正態分布。正態分布的曲線因為像鐘形，因此也被叫做「Bell Curve」。

正態分布的公式中包含了宇宙間中最神奇的兩個數學常量π和e，我能想起另外一個同時包含這兩個神奇常量的公式就是號稱最完美的數學公式——歐拉公式（e^πi+1=0）。

正態分布為什麼常見？

因為中心極限定理（central limit theorem）。

根據中心極限定理，如果一個指標受到若干獨立因素共同影響，且每個因素不能產生支配性的影響(Lindeberg 條件)，不管每個因素本身是什麼分布，它們疊加後影響的這個指標平均值就是正態分布。

比如影響男性或者女性的身高的有基因這樣的先天因素，也有營養、鍛煉等後天因素。而每一種因素對身高的影響都是獨立的，那麼這些因素累加以後的身高平均值的概率密度就符合正態分布，所以，正態分布適合各種獨立因素累加的情況。學生的成績也受諸如狀態、能力、心情等因素影響，最終成績是諸多因素影響的加總，所以成績也是正態分布的。

投資人常說：「不要把所有雞蛋放在一個籃子里」，其實用正態分布就很容易理解。

如果我們做的是成熟市場的投資，當多個投資相互獨立時，投資項目越多，收益越逼近正態分布。

在《隨機漫步的傻瓜》有一個類似的案例：

有一位非常擅長投資的牙醫，他的投資組合的年化期望收益是15%，而標準差是10%。

為簡化起見，假設收益服從正態分布。這意味著一年下來，這位牙醫有68%的可能性獲得5%到25%的回報（1倍標準差以內），而有95%的可能性獲得-5%到35%的回報（2倍標準差以內），有93%的可能性獲得正回報。

但如果影響的因素不是彼此獨立的，而是相互影響，那麼就不是正態分布了。

比如影響一個人收入的因素有很多，包括人脈、教育水平、溝通能力等，而這些因素並不相互獨立，會彼此加強，更像乘法的關係。那麼最終結果就不是正態分布，而是對數正態分布（log normal distribution）。

絕大多數人（97-99%——參考： Log-normal distribution）的收入服從對數正態分布，也就是說，如果平均收入是10,000元，那麼1000元～10,000元之間的人（比平均值低一個數量級，寬度為9000）與10,000元~100,000元之間的人（比平均值高一個數量級，寬度為90,000）人數一樣多。因此，收入曲線左側的範圍比較窄，右側出現長尾。

做市場研究的人，要明白目標用戶群體常常是以正態分布的。比如既然男性或女性的身高是按照正態分布的，如果你是一個服裝品牌商，規劃服裝尺碼時，是不是可以分析一下目標客戶人群的潛在數量。

用戶對於新技術產品的接納程度，也是正態分布的，讀過《跨越鴻溝》的朋友，肯定還記得那個技術接納生命周期曲線（Diffusion of innovations），不就是一個非常漂亮的正態分布曲線嗎？

《跨越鴻溝》這本書，一直在強調在早期使用者和早期大眾之間有個鴻溝，其實何止是技術產品如此，新制度、新管理方法的出台，不都遵循這樣一條曲線嗎？作為一名管理者或者制度制定者，一方面可以估算出一條新政策被大家接受的比例最多也就15%，另一方面要認真思考如何讓15%的鴻溝儘快被跨越，被更多人所接納，而不是死在灘頭陣地上。

23.冪律分布Power Laws

19世紀的義大利經濟學家Pareto研究了個人收入的統計分布，提出了著名的80/20 法則，即20%的人口佔據了80%的社會財富。他認為個人收入概率公式是下圖所示的冥律分布。

現代統計學嚴謹的說法是，大多數人的收入服從對數正態分布，金字塔最頂尖（1-3%）的富人的收入分布，遵循冪律分布。

李開復先生曾經在他的演講中，介紹過正態分布和冪律分布的差別。

生活中常見的冪律分布有人類聚居地的大小、龍捲風危害大小等，科學家發現冪律分布常發生在自組織系統的臨界狀態，此時一個很小的干擾事件也可能引起系統發生一系列變化，比如緩慢給沙堆添加沙粒直至崩潰，沙崩的大小與其出現的頻率呈冪律關係。

平常做投資的時候，我們腦子裡想的是這條虛線，...我們老是心裡想我們有一大堆投資，有些賺很多，有些賺一點，有些賠一點，有些賠的比較多，是一個正態分布。但事實上不是這樣的，真實的任何一個做早期或者是任何二級市場之前的投資，最後畫出來的圖都是冪定律，是這個橘顏色。

生活中許多事物，如果我們投入很多的資源和精力，即便是最好的情況，我們只能獲得非常有限的價值。所以我們應該不要花費過多精力與時間在這些無法實現高價值的事物上，而應該更專註於那些可能產生巨大價值的事物和目標上。

據說在一次家庭聚會上，

蓋茨的父親問巴菲特和蓋茨一個問題，人一生中最重要的是什麼? 巴菲特和蓋茨同時在紙上給出了一樣的答案：「專註！」

專註的人把注意力全力集中能實現自己目標的事物上，他不被其它無關的外物所吸引，不會無端被焦慮困擾。當你真正專註時，你才會對所做的事情上心，才能做出跟別人真正的不同。

但是專註有個前提：把精力聚焦到投入產出比最高的地方去。這就是冪律告訴我們的真諦：「把事情做對，遠不如做對的事」

有人會舉出長尾效應來反駁在互聯網時代，冪律分布不再正確了，長尾貨品產生的價值，對於商家是不容忽視的。

所以這個世界好的生意有兩種，一種是滿足80%用戶的80%需求，另一種是滿足20%用戶的80%需求。「小而美「的生意不是滿足80%用戶的20%需求，而是滿足20%用戶的80%需求。

最後，作為一名管理者，我想強調一下人的業務能力其實是符合冪律分布的。

美團創始人王興說：

找到好的人是最關鍵的，不然的話各方面會很累，效率很低。我到Facebook的時候，一個朋友對我說，一個好的工程師和一個不好的工程師差10萬倍...

喬布斯也說過類似的話，

在我所關心的領域——從前的硬體設計領域——我注意到，平均水平的人可以完成的工作和最優秀的人可以完成的工作相較，動態範圍是50或100比 1。

所以好的領導者，都致力於找到聰明人讓他們來做事。

24.隨機過程Stochastic Processes

我學生生涯中學過的所有課程中，唯二讓我丟盔卸甲、信心掃地、俯首稱臣的是《隨機過程》和《數論》。誰能想到離開校園十多年後，我竟然要談談讓我不堪回首的隨機過程。

19世紀概率論的一個重大改變，是從對隨機變數的研究提升到對隨機變數的時間序列st（s1、s2、s3...、...）的研究，隨機過程是某個或某幾個隨機變數在時間域或空間域的集合。舉一個簡單的例子：北京過去365天每天的空氣PM2.5值，就是一個典型的隨機過程。

對每一天而言，北京的空氣PM2.5值是隨機的，而當天的PM2.5值理論上跟之前每天的PM2.5值都有關係。有句非常流行的雞湯話，特別適合用來解釋這個道理——今天的你，是過去的你所有選擇的結果。

人生是一種高度歷史路徑依賴的過程，古人說，「冰凍三尺，非一日之寒。水滴石穿，非一日之功」，就是這個道理。但是，明天的你是什麼樣子，最大程度上取決於今天。對於PM2.5值來講，更是如此。

於是俄羅斯數學家Markov提出了一種簡化假設，那就是st的概率分布，只跟前一個s(t-1)有關係，如果用條件概率表示就是P[st|s1,s2...s(t-1)]=P[st|s(t-1)]。

用北京PM2.5值舉例，今天北京的PM2.5值，取決於昨天的PM2.5值。Markov這個辦法，把無限複雜的隨機過程，簡化成每一步只跟上一步相關的Markov過程。

而Wiener過程是在研究無規則的布朗運動時發現的，談布朗運動先要談談酒鬼漫步。

想像在格點化的街道中有一個醉漢，每次到達交叉路口時會隨機選擇前後左右任何一個，他所經過的路徑會具有什麼樣的特點呢？這就是著名的「酒鬼漫步」，也被稱為隨機遊走（random walk）。因為酒鬼只能在二維的城市地面上遊盪，所以這是一種「二維無規行走」。

數學家波利亞研究發現，酒鬼隨機遊走在長度無限的一維街道或者二維城市平面，只要時間足夠長，他最終總能回到出發點。然而如果是三維的話，回家的概率就只有34%。角谷靜夫總結為：喝醉的酒鬼總能找到回家的路，喝醉的小鳥則可能永遠也回不了家。

酒鬼是按照空間格點一格一格的走，假設格點間距離為d，而Wiener過程則用來描述d趨於0時的布朗運動，它是一個標準的Markov過程，該過程中隨機變數的增量變化服從於正態分布。維納過程具有分形特徵，如下圖所示，截取其中一段出來，放大後與整體曲線顯得相似。

Markov等隨機過程在金融和信息處理領域，有廣泛的應用。可是，說了這麼多，這些複雜抽象的隨機過程到底跟我們的生活工作有什麼關係呢？

我們生活在一個大數據時代，被海量的數據包圍，這些海量數據中夾雜了太多的噪音，沒有被分析和過濾過的數據只是數據，不是有用的信息。隨機過程告訴我們學會從數據中過濾掉噪音、提取出有效的信息，用概率思維去應對未來。

隨機過程的個體變數無法精確預測，然而我們可以預測它的可能變化及其對應的概率，我們永遠無法精確預測明天的股票價格，然而我們可以根據隨機過程理論分析出可能的變化和概率，這使得我們可以更加坦然和平靜地面對未知的未來。

介紹完這13個數學相關的思維模型後，我想總結一下數學帶給我最有力的3種武器。

1、邏輯

邏輯的核心是因果，在紛亂的世界面前，邏輯告誡我要嚴謹地思考，搞清楚相互之間的關係。

2、函數

函數用來表明因變數和自變數之間的關係，函數告誡我要學會搞清不同數據之間的關係，咱們做業務就要把業務盈利方式分解成等式，搞清楚各個產量的關係。

3、概率

概率發源於排列組合，概率告誡我想學會用概率思考，首先要合理分類，其次學會接受隨機不定，用概率理解和分析世界。

伽利略說：「數學是上帝用來書寫宇宙的文字」。查理·芒格說「我的劍傳給能揮舞它的人」，他的智慧之劍中，數學作為全世界所有文明共同的「語言」，我相信比重是最大的。

要有耐心，你才能發現數學的美麗。

圖片來源：

https://www.livechatinc.com/blog/churn-rate/，長假出遊需謹慎，扒一扒那些宰客的景區 - 馬蜂窩，Labyrinthian: Gamblers Fallacy & Daily Fantasy DraftKings & FanDuel | FantasyLabs，http://www.sciencefocus.com/qa/why-bell-curve-so-ubiquitous，Is there any intuitive way of understanding the formula of normal distribution?，為什麼正態分布如此常見？，Modeling Incomes and Inequalities，跨越鴻溝 - StockFeel 股感知識庫，https://www.inside.com.tw/2015/08/06/lee-kai-fu-on-power-law，http://csmgeo.csm.jmu.edu/geollab/complexevolutionarysystems/SOC.htm，Sina Visitor System，https://www.mailman.columbia.edu/research/population-health-methods/markov-chain-monte-carlo，https://mp.weixin.qq.com/s/51JziTPZaY3Jp4HKzepcEg，https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%B4%E7%BA%B3%E8%BF%87%E7%A8%8B#/media/File:Wiener_process_zoom.png，「數學生物學」：未來人類醫學的秘密武器 - 致知網，Galileo Galilei Quote