第一章基礎概念 6-7

09-23

第一章基礎概念 6-7

來自專欄量子輸運理論預習筆記4 人贊了文章

6 Transverse modes

在這一節我們將會介紹transverse橫向 mode和subband的概念。

考慮一個長方形的導體，在 $x$ 軸方向均勻，在 $y$ 軸有transverse confining potential $U(y)$

此時運動方程為：

$[??_?? + frac{(??? abla +????)^2}{2??}+ U(y)]Ψ(??,??) = E Ψ(??,??)$

假設在 $z$ 方向有恆定磁場 $B$ ，可以把vector potential寫為：

$old{A} = hat{x}???? ? ??_?? = ?????$ 和 $A_y=0$ ,代入上面的方程得到：

$[??_?? + (??_??+??????)^2/2?? + ??_??^2/2?? + U(y)]Ψ(??,??) = E Ψ(??,??)$

因為我們選擇gauge的原因，導致 $x$ 方向上的解是平面波，但是不管怎麼選擇gauge，物理應該是相同的。

方程的解滿足形式 $Ψ(??,??) = frac{1}{sqrt{k} } exp[ikx]??(??)$

Transverse function $??(??)$ 滿足方程

$[??_?? + (???+??????)^2/2?? + ??_??^2/2?? + U(y)]??(??) = E??(??)$

我們感興趣在不同的 $U$ , 和不同的 $B$ 時候方程的解。通常來說，對於任意的 $U(y)$ 不存在解析解，但是對於二次方勢， $U(??) = frac{1}{2} m??_0^2 ??^2$ 存在解析解，我們在第四章中將會討論在高磁場下任意勢的近似解法。

6.1 Confined electrons (U ≠ 0) in zero magnetic field (B = 0)

此時方程為： $[??_?? + (?^2 ??^2)/2?? + ??_??^2/2?? + frac{1}{2}m??_0^2 ??^2 ]??(??) = E??(??)$

本徵能量為： $E(n, k) = ??_?? + (?^2 ??^2)/2?? + (n+1/2)??? qquad n = 0,1,2,3,…$

波函數為： $??_{??,??}(??) = ??_??(q)$ , $q = sqrt{frac{m??_0}{?}}y$ ， $??_??(q) = exp[???^2∕2]??_?? (??)$

$H_n (q)$ being the nth Hermite polynomial.

根據dispersion curve的斜率可以得到速度：

$??(??, ??) =frac{1}{?} frac{????(??, ??)}{????}=frac{?k}{m}$

不同的 $n$ 值可以被稱作在不同的subband，類似1.2節中存在的在 $z$ 軸的限制一樣。兩個subbands之間的spacing是 $?omega_0$ 。 $omega_0$ 是勢能的係數，係數越大，間隔越大。

通常情況下， $z$ 軸的confinement很大，subbands的spacing就很大，大約100meV，只有一個或者連個subbands通常被佔據。（這可能就是2維的含義？）

但是 $y$ 方向的限制通常沒有這麼強，很多個subbands會被佔據。

這些subbands通常被稱作transverse modes。

這也叫electric subbands。

6.2 Unconfined electrons (U = 0) in non-zero magnetic field (B ≠ 0)

此時方程為： $[??_?? + ??_??^2/2?? + (???+??????)^2/2?? ]??(??) = E??(??)$

可以寫為： $[??_?? + ??_??^2/2?? + frac{1}{2}m??_??^2 (??+??_??)^2 ]??(??) = E??(??)$

$??_??≡ ???/????$ ， $??_?? ≡|??|??/??$ ， $k=k_x$

這其實就是上一節中的landau level的公式。這個公式還是一個諧振子方程，只不過中心在 $-y_k$ 的諧振子方程。

波函數為： $??_{??,??} (??) = ??_??(q+??_??)$ ， $q = sqrt{frac{????}{?}}y$ ， $q_k = sqrt{frac{????_c}{?}}y_k$

能量為： $E(n, k) = ??_?? + (n+1/2)???_?? qquad n = 0,1,2,3,…$

非常厲害的一點是 $??(??, ??) =frac{1}{?} frac{????(??, ??)}{????}=0$ ！！！！！！

儘管 $x$ 方向的波函數長成波的形式 $exp[ikx]$ ，但是這些波沒有group velocity，因為 $E$ 和 $k$ 無關。這個經典時候的電子在磁場中轉圈圈一樣，電子沒有往特定方向移動的趨勢。

波函數在 $y$ 方向空間延展的尺度近似為：（因為這是 $y$ 方向波函數前面的係數）

$sqrt{frac{?}{????_??}}=frac{sqrt{frac{???_??}{m}}}{??_??} →frac{v}{??_?? } qquad ??_?? ≡ |??|??/??$ （出現 $v$ 的原因：推導中出現一個動能項，剛好是能量為 $???_??∕2$ 電子的動能）

這個值剛好等於經典情況下一個有能量 $???_??∕2$ 電子的半徑。

這種case和前面的最大區別在於，這種case的波函數當我們在 $x$ 方向，也就是longitudinal縱向改變wavevector $k$ 時，波函數會和transverse坐標 $y$ 一起shift，因為 $??_??≡ ???/????$ 。

因為這個 $y$ 方向的諧振子的中心和 $k_x$ 有關。

在上一節中，我們通過能量間隔乘以二維電子氣密度得到了每一個landau level可以裝多少電子。 $N = ????/(???^2 )×???_?? = |??|????/???$

此時我們可以更嚴謹的得到同樣的結果。

注意到允許的 $k$ 值的間隔為 $2 pi /L$ ,所以 $y$ 方向波函數的間隔為： $???_?? = ????/|??|?? = 2???/|??|????$

所以態的總數為： $N = 2(for spin)×??/(???_?? ) = ??????/???=frac{S}{pi l^2_B}$

此處 $l_B=sqrt{frac{h}{e|B|}} approx 25.6nm / sqrt{|B|}$ ，此處磁場單位是特斯拉。

這也叫magnetic subbands。

6.3 Confined electrons (U ≠ 0) in non-zero magnetic field (B ≠ 0)

方程 $[??_?? + ??_??^2/2?? + (???+??????)^2/2?? + frac{1}{2}m??_0^2 ??^2 ]??(??) = E??(??)$

可以寫為 $[??_?? + ??_??^2/2?? +frac{1}{2}mfrac{??_0^2 ??_??^2}{??_{??0}^2} ??_??^2 +frac{1}{2}m ??_{??0}^2(??+frac{??_??^2}{??_{??0}^2} ??_??)^2 ]??(??) = E??(??)$

$??_{??0}^2 = ??_??^2+??_0^2$ ， $??_?? ≡ |??|??/??$ ，

還是一個一維的諧振子方程

eigenfunction： $??_{??,??} (??) = ??_??(q+frac{??_0^2}{??_{??0}^2} ??_??)$ , $q = sqrt{frac{????_{??0}}{?}} ??$ ，

eigenvalues:

$E(n, k) = ??_?? + (n+1/2) hbar ??_{??0} + frac{?^2 ??^2}{2m}frac{ ??_0^2}{??_{??0}^2 }$

$E(n, k) = ??_?? + (n+1/2) hbar ??_{??0} + frac{1}{2}mfrac{??_0^2??_c^2}{??_{??0}^2}y_k^2$

velocity: $??(??, ??) =frac{1}{?} frac{????(??, ??)}{????}=frac{???}{m} frac{??_0^2}{??_{??0}^2 }$

從這張圖可以看出來，磁場的效果類似改變了質量，取決於confinement parameter $omega_0$ 和cyclotron frequency $omega_c$ ，也即

$m → m[1+??_??^2/??_0^2 ]$

沒有磁場時候，cyclotron frequency $omega_c$ 是0，會recover到之前的結果。增加磁場相當於增加了電子的質量。

我們來看一眼本徵態在空間位置與 $k$ 的關係。

態 $（n,k）$ 對應波函數的中心為： $y=-y_k$

$??_?? =frac{???}{eB} ? ??_?? = ??(??,??)frac{??_0^2+??_??^2}{??_0^2 ??_??^2}$

所以，波函數的transverse location正比於它的速度。磁場增加時，沿著 $+x$ 方向運動的電流會shift到樣品一端， $-x$ 方向的電流shift到另一端。這其實和經典情況很類似，洛倫茲力的存在會使兩個方向移動的電子分離。這個效應會非常spectacular，我們將會在第四章中看到。

7 Drift velocity or Fermi velocity

在均勻導體中的電流密度 $old{J}$ 通常寫為 $old{J} = e??_?? ??_??$

這會給人一種所有電子都參與導電的印象。但是在低溫下，這是不對的。實驗發現，只在quasi-Fermi energy $F_n$ 附近幾個 $k_BT$ 的電子才會參與導電。

這一節存在的目的就是想說服你，只有費米面附近的電子才會貢獻輸運性質，而不是所有的電子。

我們假設分布函數 $f(old{k})$ 告訴我們態 $old{k}$ 被佔據的概率。平衡時，在圈圈內的 $f(old{k})=1$

電場的存在使得大家有了一個drift velocity，使得整體平移了 $old{k}_d$ ,所以有

$[??( old{??} )]_{??≠0} = [??(?????_??)]_{??=0}$

$(???_??)/?? = ??_?? = (??????_??)/?? ? ??_?? = (??????_??)/?$

只要 $old{k}_d$ 與 $k_f$ 相比小的話，deep inside the Fermi sea $(k < ??_??)$ nothing much happens

電流密度公式重新寫為： $J = e[n_s frac{v_d}{v_f}]v_f$

也就是只有總電子數目 $??_?? frac{??_??}{??_?? }$ 部分的電子才導電，電子移動速度是fermi速度。

7.1 Quasi-Fermi level separation

我們可以通過定義兩個Quasi-Fermi level $F^+$ 和 $F^-$ 來描述分布函數 $f(old{k})$ 的shift。 $F^+$ 來自 $eE$ 方向的移動， $F^-$ 則來自相反方向。

$??^+ approx frac{?^2 (k_f+k_d)^2}{2m}$ 定義在動量空間，單位是能量。

$??^- approx frac{?^2 (k_f-k_d)^2}{2m}$ 定義在動量空間，單位是能量。

$??^+ ? ??^? = frac{2?^2 ??_?? ??_??}{m}=frac{2?^2 frac{v_f m}{hbar} frac{eE au_m}{hbar}}{m} = 2eE??_?? ??_?? = 2eE??_??$

這個結果非常合理，因為separation正比於電子在一次mean free path中獲得的能量。

7.2 Einstein relation

這一部分中，我們假設溫度是0.

考慮一個長方向的導體，長度是 $L$ 寬度是 $W$ 。兩端有兩個大的pad。在兩端之間施加偏壓 $V$ ，所以在導體中會有一個電場 $E =hat{x}??∕??$ 。下面的圖顯示了在這個電場下時候的能帶圖。 $E_s$ 是能帶底端（隨著靜電勢能的改變而改變）， $F_n$ 是quasi-fermi energy.

能帶的斜率正比於電場： $E = abla ??_??∕|??|$ ，單位確實是電場單位，電場單位 $frac{N}{C}=frac{NL}{CL}=frac{J}{CL}$ ,L=LENGTH C=Coulomb

我們用 $F_n$ 表示在 $+k$ 到 $-k$ 之間的電子的平均quasi-Fermi level。定義在實空間。

對於均勻的導體，電子密度在每一點都是均勻的。然而電子密度又是 $(F_n-E_s)$ 的函數， $E_s$ 是能帶的最低端。

在0K時候，只有能量範圍在 $mu_1$ 和 $mu_2$ 之間的電子貢獻導電。（別的態都完全佔據，所以不能跳，所以不導電？）

在這個能量範圍內，我們有電子密度 $??_??(??_1???_2)$ ， $??_?? ≡ ??∕???^2$ is the 2-D density of states

根據diffusion equation有 $J = ?eD abla ?? = ??^2 ????_?? frac{??_1???_2}{|??|??} hat{x}→ ??^2 ????_??E$

因為 $J = ????$ ，所以電導 $?? = ??^2 ????_??$

This is the Einstein relation for degenerate conductors.

7.3 Drift or diffusion?

根據b圖我們認為電流完全來自drift，因為所有位置的電子密度都相同。所以有 $?? = |??| ??_?? ??$ ， $mu=frac{|e| au_m}{m}$ 是遷移率。

如果看c圖，電流來自diffusion，來自那些能量高的電子。 $?? = ??^2 ????_??$

$frac{|??|??}{??} = frac{??_??}{??_??} = ??_?????_?? ? D = frac{1}{2} ??_?? ^2 ??_??$

$??_??= ??_?? (??_?????_??)$ 是載流子濃度， $??_?? ≡ ??∕???^2$ 是DOS。 $N_s=frac{m}{???^2}$ 二維Density of states（per unit area per unit energy）。

如果我們把電子密度double，電導率也會double。

c圖會認為這是因為fermi速度 $??_??=(???_??)/??$ 增大，導致擴散係數增大。

b圖認為遷移率不變，電子密度增大。

一種觀點認為電子多了，一種觀點認為電子快了。

這樣的情況對於non-degenerate conductors不會發生。

把公式 $frac{|??|??}{??} = ??_?????_??$ 的右邊改寫為 $frac{|??|??}{??} = k_BT$ ,此時diffusion coefficient is

proportional to the mobility and not to the conductivity

$sigma= e N_s k_B T mu$

7.4 Zero temperature conductance is a Fermi surface property

不是0溫時候，輸運發生在 $??_1+a few ??_?? ??>??>??_2? a few k_?? ??$

我們考慮線性相應的情況，也就是 $??_1 sim ??_2 sim ??_??$ ，此時還降低溫度的話，就是在考慮費米面。

7.5 Is conductance a Fermi surface property when a magnetic field is present?有磁場時候還不是費米面行為呢？

我們回憶之前提到過，有磁場時候，態會分列在導體的兩邊（上和下）。所以即使平衡時候，the local current density in a conductor is not zero，但是橫截面AA』沒有電流。

如果根據電導率張量定義的電阻，這樣做就不對。

$???? = σ??E$

where $δJ$ is the change in the local current density in response to an electric field $δE$ 。加了電場之後，所有的電子，即使是在導帶下面的電子，也會有自己的變化。如果我們只考慮費米面附近的話，就會失去這些變化。但是在輸運實驗中我們不必擔心這一點，因為輸運實驗研究的是截面cross-section，對於這些電子cross-section是0.

所以有磁場時候是不是費米面的性質要根據情況確定，如果是上面公式定義的，就不是費米面性質，如果是在兩個contact之間量出來的，就是費米面性質。

本章總結

這一章介紹了幾個基礎概念。大部分介觀尺度導體都和二維電子氣差不多。因為二維電子氣的平均自由程很長，在10K時候，可以有幾十微米。大部分實驗導電的電子來自導帶（而不是價帶的空空穴）。實驗通常在低溫下進行，此時費米函數強烈的簡併。介觀行為會被觀測到如果樣品的尺度比德布羅意波長，平均自由程，相位弛豫長度和screening length小時。

低磁場時候的輸運行為可以用傳統觀點描述，但是高磁場時候必須要考慮波函數的本質。對於比較窄的導體，輸運性質來自electric subbands（來自靜電的限制），有磁場時候來自magnetic subband（也就是landau level）。這些subbands也叫做transverse modes。

對於degenerate導體，輸運性質主要來自費米面附近，我們不用怎麼關心整個電子海。

Content created：2018年6月19日 SZ

Last updated：2018年6月25日 TJ

第一章 基礎概念 6-7

6 Transverse modes

6.1 Confined electrons (U ≠ 0) in zero magnetic field (B = 0)

6.2 Unconfined electrons (U = 0) in non-zero magnetic field (B ≠ 0)

6.3 Confined electrons (U ≠ 0) in non-zero magnetic field (B ≠ 0)

7 Drift velocity or Fermi velocity

7.1 Quasi-Fermi level separation

7.2 Einstein relation

7.3 Drift or diffusion?

7.4 Zero temperature conductance is a Fermi surface property

7.5 Is conductance a Fermi surface property when a magnetic field is present?有磁場時候還不是費米面行為呢？

本章總結

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