女生宿舍六個人，最多能建幾個小團體？

女生宿舍向來是烽煙四起的地方，不久前「

一寢室6個人5個微信群

」的新聞就曾經刷過屏。

圖片來源：中國青年報微博

雖然這個段子只是調侃，真實生活中我們的宿舍生活也沒有宮斗劇那麼精彩，但

是萬事就怕認真二字，下面我們就來深入研究下這個問題。

假如你所在的

6人宿舍

人際關係很複雜，彼此看對方都

是這樣的：

第一視角宿舍關係Venn圖

除了平時一對一私聊吐槽其他每個人之外，

你們還會拉各種排他的微信群，成立各種

三人群、四人群、五人群

(當然還有一個6人大群)

，方便說不在群里的人的壞話。那麼問題來了：

你們宿舍最多能建多少個不同的群？又有多少個群在背地說你壞話？

敲黑板了同學們，這不是送命題，這是關於

「集合的子集個數」

的送分題啊！

要解決這個問題，你首先得知道，

一個n元集合的子集個數是2

?

。

實在想知道證明過程的看這裡

比如

｛1，2，3，……，n｝這個集合，我們可以按照元素的個數把它的子集分成n+1類。

含有0個元素：?

含有1個元素：｛1｝，｛2｝……等n個

含有2個元素：｛1，2｝，｛1，3｝……等C(2,n)個

……

含有n個元素：｛1，2，3，……，n｝

寫出來就是

這是二項式定理的推論，楊輝三角形也蘊含這個結論

現在你可以輕易得出，一個6元集合（也就是你宿舍）的子集個數是

2⁶

=64個。

不過這不是最終答案，你得減去?（一個人也沒有的群）1個、一個元素的集合（難不成要自說自話么）6個、兩個元素的集合（直接私聊就行了幹嘛建群）15個，最後得到的答案是...42個。

看到這裡你肯定很好奇了，

那不包括我的群又有多少個呢

？

我們不妨先思考這樣一個問題，{1,2,3...，n}

這個集合里含有元素「1」的子集有多少個呢？

你

可以把子集分為含有元素「1」的子集和不含有「1」的子集。不含有「1」的子集可以理解為｛2，3，……，n｝的某個子集，共有2^(n-1)個，這每一個子集都可以並上｛1｝成為一個對應的子集，於是含有「1」的子集和不含有「1」的一一對應了，

各占子集數的一半

。

你可以照這個思路算一算，

不包括你的群可是有16個啊

！每天可是有16個群在說你壞話啊！

令人髮指啊！

面對這種情況，你怎麼還坐得住呢？趕緊把下面的知識點也學起來，徹底甩舍友一個身位，實現絕地反擊。

你可以用剛才的結論求集合｛1，2，3，……，n｝

所有子集中所有元素的和

。所有子集裡面，1出現了

2^(n-1)

2^(n-1)

2^(n-1)

這個結論還可以解決奇子集和偶子集的個數問題：

想知道答案嗎？後台回復「集合」！

剛剛含「1」和不含「1」的分類還形成了一個對應，我們可以發現每一對中，子集元素的和一定一奇一偶，因為加上1一定會改變原來和的奇偶性，所以

奇偶子集各佔一半

也好理解了。這裡把「1」換成其他奇數也是一樣的。答案是不是就很容易算出來了呢？

上面涉及到的知識點，就叫

集合的劃分

，並且是很特殊的一個情況。集合還有很多其他的劃分方式，本文僅對這種我們常見的做一些解釋，希望大家有所收穫。關於宿舍建群的問題也只是調侃，希望大家跟舍友和平共處，共同學習進步，新的學期我們一起沖鴨！

知識點

集合

編輯：大琳砸

果殼少年

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