千年質數之謎藏在准晶體結構中？研究發現原子排列與質數驚人重合

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古希臘數學家歐幾里得於公元前 300 年前後證明有無限多個素數存在以來，至今科學家仍未發現可以完全區別素數與合數的公式。此外，還有許多有關素數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想。但素數已廣泛應用在我們的生活中，例如公鑰加密就利用了難以將大數分解成其素因數的性質。目前，確定一個數是否為素數只能進行測試，而難以通過規律準確預測。

而最近，在普林斯頓大學的一項研究中，科學家發現隱藏在素數分布背後的規律。通過 X 射線研究准晶體材料內部原子排列模式，研究人員發現所得到的結果與數軸上的素數序列之間有著驚人的相似之處。這一結果或將極大提高素數預測的精度。

微軟研究中心的首席研究員 Henry Cohn 雖沒有參與這項研究，但他說：「這篇論文的有趣之處在於，它為我們提供了一個關於質數的不同視角：我們可以將它們視為粒子，還能嘗試通過X射線衍射繪製出它們的結構。這項研究提供了一個優美的新視角，建立了材料科學與晶體散射理論的新聯繫。」

圖 | 普林斯頓大學的研究人員發現質數與某些准晶體材料中的原子位置有相似的排列模式。（來源：Kyle McKernan, Office of Communications）

質數（Prime number），又稱素數，指在大於 1 的自然數中，除了 1 和該數自身外，無法被其他自然數整除的數（也可定義為只有 1 與該數本身兩個因數的數）。其中，大質數是許多密碼系統的基本構造單元。雖然數學家已經研究了素數的一些順序規律，但總的看來質數似乎是隨機地分布在數軸上的。最小的幾個素數是 2、3、5、7 和 11，隨著數軸的延伸，較大的素數的分布則變得更加零散。

在最近發表於 Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 的研究表明，質數並不像先前所想的那樣毫無規律的隨機分布。研究人員發現質數在數軸上的序列與 X 射線在材料衍射出的內部原子排列具有驚人的相似性。普林斯頓材料科學與技術研究所的 Salvatore Torquato 教授和他的同事發現，當考慮大範圍時，質數比之前認為的更加有規律，這一模式即「超齊構體」模式。這項分析或將對數學和材料學領域的研究者提供幫助。

圖 | Salvatore Torquato。（來源：C. Todd Reichart, Department of Chemistry）

「質數的分布遠比我們以前認為的要有規律的多」，普林斯頓大學自然科學教授 Lewis Bernard 和 Torquato 教授說，「我們發現質數的分布表現的就像晶體材料一樣，更準確地說，是一種稱為『准晶體』的類似晶體的材料。」

Torquato 及其同事發現，當從數軸上很長一段來看時，質數的分布要比之前所認為的更有規律，屬於所謂的「超齊構體」（hyperuniformity）模式。「超齊構體」材料（hyperuniform materials）具有特殊的長程有序性，包括晶體、准晶以及某些特殊無序系統。目前，科學家在鳥類眼睛中視錐細胞的排列中、某些罕見的隕石中以及宇宙大尺度結構中發現了這種「超齊構體」。

研究者表示，他們在質數中發現的排列模式，跟 X 射線與某些物質相互作用時所得到的模式是一致的。作為化學家的 Torquato 教授非常熟悉 X 射線晶體學，這是一門利用 X 射線來研究晶體中原子排列的學科。比如鑽石或其他晶體，在與 X 射線相互作用的過程會產生可預測的亮點或峰值模式，稱為「布拉格峰」（Bragg peaks）。

相比於典型的晶體材料，准晶材料的布拉格峰排布則更為複雜。典型晶體的布拉格峰會形成規律的有空隙間隔的排布，但在准晶中，任意兩個布拉格峰之間，還可以找到一個新的布拉格峰。

Torquato 及其同事在質數中發現的模式類似於准晶體中原子的排布模式以及一個稱為「有限周期序」（limit-periodic order）系統，但卻稍有不同，所以研究者稱其為「有效有限周期」（effectively limit-periodic）。素數出現在一些具有「自相似性」的數組中，也就是說在某些較高的數值「峰」之間，有許多組較小的「峰」。

圖 | 將素數看作「原子」，紅點表示非素數，黑點表示素數。研究者發現某些素數與某些類晶體結構中的原子排布有相似的模式。（來源：Salvatore Torquato 等）

研究者首先利用計算機模擬研究了將質數作為一串原子與 X 射線相互作用後會發生什麼，然後才發現了這個明顯的排列模式。在今年 2 月曾發表在《物理學雜誌 A》上的研究中，研究報道了所發現的一個令人驚訝的類似於布拉格峰的圖樣，這表明素數的排列模式其實是高度有序的。

在近日的研究中，研究者利用數論方法為前期的模擬實驗提供了有力的理論基礎。研究者發現，儘管質數在數軸上較短的間隔里是隨機出現的，但在數軸上足夠長的範圍里，從這些看似混亂的數字中也能找到一定的規律。

「當到達那個明顯的界限時，」Torquato 教授說著，打了個響指，「砰！有序的結構就出現了。」

De Courcy-Ireland 說，一種稱為「圓方法」（circle method）的方法曾描述過類似的數字模式，那是在近一個世紀前發明的用於尋找質數模式的方法。

「對我來說，有趣的是這些結果追溯可以到 1922 年，然後用某種方式重新闡述它們，得到一個非常有趣的系統，一個有可能指明從哪裡能找到更多質數的系統。」De Courcy-Ireland 說。

這一發現或將有助於數學和材料科學方面的研究。「素數具有漂亮的結構性質，包括不可預期的次序、超齊構體性以及有效有限周期性（effectively limit-periodic）」，Torquato 說，「素數給我們指出了一種全新的物質狀態。」