數字信號時頻域變換基礎複習

來自專欄走進人工智慧

對連續信號採樣，得到離散信號，表示關係如下所示：

對連續時間的信號進行採樣，利用單位衝擊響應，得到的離散時間信號可以表示為：

將數字信號經過一個線性系統T，如果滿足

則T被稱為線性時不變系統。用差分方程表示線性時不變系統，可以表示為

兩個信號的卷積輸出可以表示為將其中一個信號反轉時移，並與另外一個信號相乘並累加求和得到，如下所示：

Z變換及性質如下所示：

離散時間傅里葉變換及其性質：

離散傅里葉變換：

短時離散時間傅里葉變換：

相比於傅里葉變換，短時傅里葉變換加入了時間維度信息，從而能夠獲取到信號在特定時間的頻域信息。將窗函數移動n個採樣點之後與信號相乘，然後進行傅里葉變換得到短時傅里葉變換。過程如下圖所示：

短時傅里葉變換：

短時傅里葉變換可以有兩種解釋，分別是：

和

短時傅里葉變換加入了時域維度的信息，其在時域上也需要滿足奈奎斯特採樣定律。根據上式可以看出，採樣頻率至少時窗函數帶寬的2倍。在時間域上，對特定的頻率，要求採樣周期最大是L/4，L是窗函數的點數。因此，窗函數在時域上的重疊率最小是3L/4。