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Gap5：方嚮導數、偏導數、梯度、全微分

09-17

Gap5：方嚮導數、偏導數、梯度、全微分

來自專欄數學物理私塾課3 人贊了文章

前面研究了最簡單的函數 $f: mathbb{R} o mathbb{R}$ ，得到了微分和積分的基本知識：

善人之資：Gap1：導數的概念?

zhuanlan.zhihu.com善人之資：Gap2：重要的導數?

zhuanlan.zhihu.com善人之資：Gap3：積分?

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我們通過上一講，又對線性代數有了基本了解。線性代數是圍繞著多維線性空間，特別是 $mathbb{R}^n$ 來研究的：

善人之資：Gap4：線性代數基本慨念?

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現在，藉助我們所了解的線性代數知識，把前面學到的微積分的概念推廣到定義域為 $mathbb{R}^n$ 的多元映射上。

場

在學習微積分之前我們已經在中學物理中大量接觸了場的概念。定義域為 $mathbb{R}^n$ 的多元實值函數

$mathbb{R}^n o mathbb{R}$

$x mapsto f(x)$

它具有清晰的幾何直觀。

地形圖中，高度是平面坐標的函數

我們也將多元實值函數稱為標量場(scalar field)。

定義域為 $mathbb{R}^n$ 的多元實 $n$ 維向量函數

$mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$

$x mapsto f(x)$

也是常見的，如電場、磁場、力場等

磁場對每一點給出了一個向量

將多元實 $n$ 維向量函數稱為向量場(vector field)。

方嚮導數

現在開始研究 $mathbb{R}^n$ 上的微積分，也就是場的微積分。以山區公路規劃為例，假設我們是公路勘測設計人員，現在需要讓公路通向山頂。我們可以選擇公路從當前點 $xinmathbb{R}^2$ 沿各種可能的方向上山。這個方向相當於向量場 $mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$ 上的一個向量 $v_x = v(x) in mathbb{R}^n$ 。當前點的高度相當於標量場 $mathbb{R}^n o mathbb{R}$ 上的一個標量 $f_x = f(x) in mathbb{R}$ 。現在我們在當前點上同時有了一個高度標量 $f_x$ 和一個方向向量 $v_x$ ，下面看一下這兩者在一起有什麼意義。

如果我們從當前點 $x$ 沿著不同的方向步行、騎車或開車，所需要的功率輸出是不同的，因為不同的方向，高度 $f(x)$ 的變化率不同。研究這種變化率是非常有實際意義的，如果在規劃公路的時候，這種變化率高於車輛可以承受的功率範圍，那麼車就無法上坡了。一般來說，改變山區高度 $f(x)$ 的成本比較高，所以在設計公路的時候，需要逐點設計公路的方向 $v(x)$ ，使得變化率在車輛功率允許的範圍內。

在固定點 $xinmathbb{R}^2$ 上，高度的變化率取決於高度標量 $f_x$ 和方向向量 $v_x$ 在點附近的分布。定義方嚮導數（directional derivative）為如下極限

$D_vf(x)=lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{f(x+Delta x) - f(x)}{vert Delta x vert}}$

其中 $n$ 維向量 $Delta x o 0$ 沿著向量 $v_x$ 的方向。方嚮導數 $D_vf$ 是數量函數 $f$ 以向量 $v$ 作為方向求導所得到的導數，它也是一個數量函數。

偏導數

現在我們需要用到坐標系，在 $mathbb{R}^n$ 中表示點的坐標一般用

$x=(x_1 dots x_n)$

表示，它本質上是自然基的自然坐標表示。

這裡闡明一下，過去我們所熟悉的矢量分析中，二維矢量可以表達為：
$xi + yj$

這裡 ${i,j}$ 是自然基， $(x,y)$ 是坐標表示；
三維矢量可以表達為：
$xi + yj + zk$
這裡 ${i,j,k}$ 是自然基， $(x,y,z)$ 是坐標表示。

我們前面談過方嚮導數 $D_vf$ 是數量函數 $f$ 以向量 $v$ 作為方向求導所得到的導數。在所有可能的方向中，我們對沿著坐標軸的方向特別感興趣。以山區公路的例子而言，在美國的城市中，特別明顯可以看到棋盤式的格局：

舊金山市中心

舊金山特色：直路陡坡

這種直路陡坡，可以理解為公路一直沿著縱橫坐標的方向建造。這種情況，方嚮導數是沿著坐標軸方向計算的。偏導數(partial derivative)就是 $f$ 沿自然基向量 $x_i$ 方向（也就是坐標 $x_i$ 方向）求得的方嚮導數，記為

$partial_i f= frac{partial f}{partial x_i}$

偏導數求導符號為 $partial_i= frac{partial}{partial x_i}$ 。

梯度

沿著哪個方向上山，高度上升的速度最快？這是由高度函數 $f$ 決定的。除非在山頂、山腳、鞍點這類所謂的奇點，在任何一點上都由高度函數在點附近的分布，決定了這樣一個高度上升速度最快的方向。整體上，構成一個向量場。

梯度場

把函數在點上沿各個坐標 ${x_i}$ 方向的偏導數（標量）合成一個 $n$ 維向量，稱為梯度(gradient)：

$abla f = egin{bmatrix} partial_1 f & dots & partial_n f end{bmatrix}$

若給定方向向量 $v=(v_1 dots v_n)$ ，其坐標就是它在各個坐標上的投影。在 $v$ 的方向給一個無窮小的變化，則這個變化投影在各坐標上的比例和 $v$ 本身在各坐標的投影比例相等。函數在這個方向上求方嚮導數：

$D_vf = v^ifrac{partial f}{partial x_i}=v^i (partial_if)$

實際上可以寫為內積形式：

$D_vf = v cdot abla f =egin{bmatrix} v^1 dots v^n end{bmatrix} cdot egin{bmatrix} partial_1 \ vdots \ partial _n end{bmatrix} f$

$f$ 在某點上沿所有方向求導時，在梯度 $abla f$ 的方向達到最大方嚮導數，其大小就是梯度的長度。

全微分

結合過去我們在線性代數中的理解，方嚮導數：

$D_vf = v^ifrac{partial f}{partial x_i}=v^i (partial_if)$

可以看作 $v$ 在不同坐標投影上造成的函數變化率的線性組合。那麼，如果坐標 $x$ 發生了任意變化，變化量按分量表示

$Delta x = (Delta x^1 dots Delta x^n)$

那麼，函數的變化是由這些分量決定的

$Delta f = Delta f(Delta x) = Delta f (Delta x_1 dots Delta x_n)$

類似一元求導數的過程，我們求極限使得：

$lim_{Delta x ightarrow 0}{ Delta x } = dx$

即

$lim_{Delta x ightarrow 0}{ (Delta x^1 dots Delta x^n) } = (dx^1 dots dx^n)$

便可以得到全微分的表達式

$df = (partial_if)dx^i$

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