Gap3：積分

09-17

Gap3：積分

來自專欄數學物理私塾課6 人贊了文章善人之資：Gap1：導數的概念?

zhuanlan.zhihu.com善人之資：Gap2：重要的導數?

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經過前面的講解，相信對導數有了相當的理解。現在我們需要考慮求導運算元的逆映射問題。生活中常見的比如：

如果我們在高鐵上將要啟動，已知的包含加速、巡航、減速過程的速度函數為

$dot{x}(t) = frac{dx}{dt}$

那麼通過推算里程函數 $x(t)$ ，是可以推斷出在到達下一站前任意時刻火車運行的里程的。

積分本質上是導數的逆，它是解決類似這個例子的主要工具。我們在這一講中體會積分的意義。

函數在區間上的性質：區間邊界和區間劃分

考慮函數 $f(x)$ 在區間 $x in [x_0,x_m]$ 上的總體變化量

$Delta_{x_0}^{x_m}f = f(x_m) - f(x_0)$

總體變化量是經過整個區間 $[x_0,x_m]$ 的完整過程產生的，卻可以用函數在邊界也就是區間兩端的值 $f(x_0),f(x_m)$ 來表示。這句平談無奇的話蘊含著許多數學思想，在Gap系列中它體現為微積分中最基本的Newton-Leibniz公式，在更高階的課程中成為Stokes公式，以及代數拓撲的核心研究內容。

如果我們想研究函數總體變化量產生的完整過程，自然要把這個完整過程分解成小的過程。最直接的就是把區間進行劃分，令有 $x_0 < x_1 < x_2 < dots < x_{m-1} < x_m$ 那麼

$sum_{k=1}^{m} Delta_{x_{k-1}}^{x_k}f =Delta_{x_0}^{x_1}f + Delta_{x_1}^{x_2}f + dots + Delta_{x_{m-1}}^{x_m}f$

$= ig[f(x_1) - f(x_0)ig] + ig[f(x_2) - f(x_1)ig] + dots + ig[f(x_m) - f(x_{m-1})ig]$

$=ig[f(x_m) - f(x_0)ig] =Delta_{x_0}^{x_m}f$

於是我們知道，函數的總變化量為每個劃分的小區間上的變化量之和。

函數的微分和導數的關係

取一個小區間研究：

$Delta_{x_k}^{x_{k+1}}f = f(x_{k+1}) - f(x_k)$

我們發現，這個變化量是和小區間的長度有關的。回顧前面我們在導數的概念中的研究方法，我們來分析函數變化量和區間長度的關係：

$frac{Delta_{x_k}^{x_{k+1}}f}{Delta x_i} = frac{f(x_{k+1}) - f(x_k)}{x_{k+1}-Delta x_k}$

如果 $f(x)$ 是連續函數（確切講是分段連續，參考數學分析教材）那麼下列極限存在

$lim_{Delta x_i ightarrow 0} {frac{Delta_{x_k}^{x_{k+1}}f}{Delta x_i} } = frac{df}{dx} =f^prime$

原來，當區間趨向無窮小時，函數對區間長度的變化率就是導數，這符合我們前面在導數中的理解。從另一方面看，當區間趨向無窮小時：

$lim_{Delta x_i ightarrow 0} {Delta x_i } = dx$

那麼函數的無窮小變化量成為

$df =f^prime dx = frac{df}{dx}dx$
定積分：無限細化區間的求和、Newton-Leibniz公式

剛才我們研究了函數變化的細節過程，現在過渡到整體意義上的函數總變化量。如果我們對區間 $[x_0,x_m]$ 進行等分

$Delta_{x_0}^{x_m}f = sum_{k=1}^{m} Delta_{x_{k-1}}^{x_k}f$

對區間劃分數求 $m o +infty$ 的極限，相當於對每個等分的小區間求無窮小極限，將這個極限表示為定積分：

$lim_{m ightarrow +infty}{sum_{k=1}^{m} Delta_{x_{k-1}}^{x_k}f } =int_{x_0}^{x_m} f^prime dx$

其意義是：對區間劃分數求 $m o +infty$ 的極限，則每個等分的小區間的長度也成為無窮小極限

$Delta x = frac{x_m - x_0}{m} o dx$

於是函數的變化量成為函數的微分

$df =f^prime dx = frac{df}{dx}dx$

無限細分的區間上產生的函數變化量要累積為整體，由於極限 $m o +infty$ 的作用，求和符號變成了積分符號：

$lim_{m ightarrow +infty}{sum_{k=1}^{m} Delta_{x_{k-1}}^{x_k}f } =int_{x_0}^{x_m} f^prime dx$

積分符號本身就是一個拉長的S代表Sum。於是我們得到了微積分基本公式Newton-Leibniz公式：

$int_{x_0}^{x_m} f^prime dx =Delta_{x_0}^{x_m}f = f(x_m) - f(x_0)$

從初學者角度看：它聯繫了導數和定積分的關係。

進一步：它聯繫了局部變化和全局變化的關係。

函數空間與求導運算元

定積分給出了區間 $[a,b]$ 上函數的導數和函數邊界值的關係：

$int_{a}^{b} f^prime dx = f(a) - f(b)$

我們過去學習過導數的計算，對此也很容易理解。然而，現實中，往往我們知道導數的表現形式，希望根據導數計算出積分來。已知 $f^prime(x)$ ，只需要把 $f(x)$ 代入邊界即可計算積分。問題在於，計算過程 $f^prime(x) o f(x)$ 並非那麼容易。

還記得，導數本身是一個函數。如果我們把感興趣的函數集合記為 $mathscr{C}(mathbb{R})$ ，這裡不糾結於可導性的細節，請參考數學分析教科書。於是求導映射可以視作一個運算元：

$D:mathscr{C}(mathbb{R}) o mathscr{C}(mathbb{R})$

$f=f(t) mapsto Df = frac{df}{dt} = f^prime(t)$

那麼，我們感興趣的求導的逆映射問題，就歸結為：

$D^{-1}:mathscr{C}(mathbb{R}) o mathscr{C}(mathbb{R})$

$f mapsto (F vert F^prime=f)$

然而，求導運算元並不能直接給我們一個函數表達式解決以上的逆問題。因為，函數空間之間的求導映射 $D:mathscr{C}(mathbb{R}) o mathscr{C}(mathbb{R})$ 並不存在逆映射：

$frac{d}{dt}sin t = frac{dx}{dt}(sin t + 1)=cos t$

顯然存在兩個函數 $f,gin mathscr{C}(mathbb{R}), forall t in mathbb{R}: f^prime(t)=g^prime(t)$ 這樣的情況。我們不能直接處理求導的逆問題。

用同導數關係構建可逆映射

若兩個函數 $f,gin mathscr{C}(mathbb{R}), forall t in mathbb{R}: f^prime(t)=g^prime(t)$ ，這種這種導數相同的關係是一種等價關係，記為：

$f sim g$

根據等價關係可以得到商集

$mathscr{C}(mathbb{R})/sim$

於是我們可以等效表達：

函數空間 $mathscr{C}(mathbb{R})$ 中的等價： $f sim g$

相同的等價類： $[f]=[g] in mathscr{C}(mathbb{R})/sim$

一個函數 $f in mathscr{C}(mathbb{R})$ 決定了一個等價類 $[f] in mathscr{C}(mathbb{R})/sim$ ，那麼自然可以根據函數的導數來決定等價類的導數：

$[f]^prime = f^prime$

於是，我們可以把求導運算元變為如下映射關係：

$D:mathscr{C}(mathbb{R})/sim o mathscr{C}(mathbb{R})$

$[f] mapsto D[f] = [f]^prime = f^prime$

那麼，我們感興趣的求導的逆映射問題，也響應變為：

$D^{-1}:mathscr{C}(mathbb{R}) o mathscr{C}(mathbb{R})/sim$

$f mapsto ([F] vert [F]^prime=f)$

這樣的逆映射，解決了前面的矛盾。通過 $D^{-1}$ 得到的不是一個而是一類函數。這類函數具有不定積分的形式：

$[F]=int f(x)dx + C$

不定積分

$int f(x)dx + C$

中出現的大部分符號與定積分有相同的意義。下面解釋下區別之處。

不定積分沒有積分區間的信息。作為導數運算的逆運算，得到的是一個等價函數類，它對整個函數的定義域都成立，所以不需要積分區間的信息。

$C$ 是任意常數。由於不定積分是一個等價函數類，其中的函數都相差一個常數，那麼這裡的 $C$ 就表示它代表了一切可能的這一類函數。更重要的是，定積分體現為函數在邊界上的差：

$int_{a}^{b} f^prime dx = f(a) - f(b)$

無論 $C$ 取什麼值，當進行定積分的時候，這個 $C$ 一定會被消去。因此，我們不必多研究 $C$ ，每當我們看到不定積分習題中大量出現的 $C$ 時，那無非是在提醒我們，不定積分不是一個函數，而是一個等價函數類。