伊藤引理 --- 淺述

09-15

伊藤引理 --- 淺述

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伊藤引理可以簡單理解為全微分公式在變數為隨機過程時的推廣

首先這裡介紹下大名鼎鼎的布朗運動，非常著名的一個隨機過程：

$Delta X=a Delta t+b varepsilonsqrt {Delta t},~~varepsilon sim Nleft( 0,1 ight)$

本文中使用離散形式可以文章更通俗易懂

布朗運動本身就是一個大概念，因此這裡不打算對其進行展開，簡單來講我們可以用布朗運動來模擬隨機波動，其中從公式上可以看出當 $Delta t$ 很小時，波動性 $left( b varepsilon sqrt {Delta t} ight)$ 佔主導；當 $Delta t$ 大時，確定性 $left( a Delta t ight)$ 佔主導

伊藤引理：當 $X$ 服從布朗運動，求函數 $Gleft( X,t ight)$ 的全微分

我們都知道：如果變數 $X$ 不是隨機過程，函數 $Gleft( X,t ight)$ 的全微分如下：

$Delta G=dfrac {partial G}{partial t}Delta t+dfrac {partial G}{partial X}Delta X$

後面的項因為都小於 $Delta X,~Delta t$ 所以忽略

當變數 $X$ 是隨機過程時，高階項仍可能與 $Delta X,~Delta t$ 為同一個數量級從而不能忽略，因此這裡使用泰勒展開進行逐項分析：

$Delta G=dfrac {2G}{partial X}Delta X+dfrac {partial G}{partial t}Delta t+dfrac {1}{2}dfrac {partial ^{2}G}{partial X^{2}}left( Delta X ight) ^{2}+dfrac {partial ^{2}G}{partial Xpartial t}Delta X Delta t+dfrac {partial ^{2}G}{partial t^{2}}left( Delta t ight) ^{2}+ldots$

其中：

$dfrac {partial ^{2}G}{partial t^{2}}left( Delta t ight) ^{2} propto left( Delta t ight) ^{2}$ 比 $Delta t$ 小，可以忽略

$dfrac {partial ^{2}G}{partial Xpartial t}Delta X Delta t propto left( Delta t ight) ^{frac {3}{2}}$ 比 $Delta t$ 小，可以忽略

關鍵就是看這項 $dfrac {1}{2}dfrac {partial ^{2}G}{partial X^{2}}left( Delta X ight) ^{2}$ 是否可以忽略，我們將 $left( Delta X ight) ^{2}$ 展開：

$egin{aligned}left( Delta X ight) ^{2}&=left( aDelta t+bvarepsilon sqrt {Delta t} ight) ^{2}\ &=a^{2}left( Delta t ight) ^{2}+2abvarepsilon Delta t sqrt {Delta t}+b^{2}varepsilon ^{2}Delta tend{aligned}$

其中：

$a^{2}left( Delta t ight) ^{2},~2abvarepsilon Delta t sqrt {Delta t}$ 比 $Delta t$ 小，可以忽略

所以：

$left( Delta X ight) ^{2}=b^{2}varepsilon ^{2}Delta t$ ，這個等式可以進步挖掘：

$ecause varepsilon sim Nleft( 0,1 ight) herefore Eleft( varepsilon ^{2} ight) =1~~Rightarrow ~~Eleft( varepsilon ^{2}Delta t ight) =Delta t$

$& ~~~Varleft( varepsilon ^{2}Delta t ight) =left( Delta t ight) ^{2}Varleft( varepsilon ^{2} ight)$

上面將 $varepsilon ^{2}Delta t$ 看成變數，可以發現該變數的期望為 $Delta t$ ，而其方差為 $left( Delta t ight) ^{2} cdot C propto left( Delta t ight) ^{2}$

說明該變數的波動非常小，小到可以忽略，所以這裡將該變數近似看成定值，其值等於其期望 $Delta t$ ，所以：

$left( Delta X ight) ^{2}=b^{2} Delta t$

所以 $Gleft( X,t ight)$ 的全微分為：

$Delta G=dfrac {partial G}{partial t}Delta t+dfrac {partial G}{partial X}cdot Delta X+dfrac {partial ^{2}G}{partial X^{2}}b^{2}Delta t$

將 $Delta X=a Delta t+b varepsilonsqrt {Delta t}$ 帶入上式可以得：

$egin{aligned}Delta G&=dfrac {partial G}{partial t}Delta t+dfrac {partial G}{partial X}left( aDelta t+bvarepsilon sqrt {Delta t} ight) +dfrac {partial ^{2}G}{partial X^{2}}b^{2}Delta t\ &=left( dfrac {dG}{dX}a+dfrac {partial G}{partial t}+dfrac {partial ^{2}G}{partial X^{2}}b^{2} ight) Delta t+dfrac {partial G}{partial X}bcdot varepsilon sqrt {Delta t}end{aligned}$

在連續模式下：

$dX_{t}=adt+bdW_{t},~~~ left( dW_{t} ight)^{2} = dt$

$dGleft( X_{t},t ight) =left( dfrac {partial G}{partial X}a+dfrac {partial G}{partial t}+dfrac {partial ^{2}G}{partial X^{2}}b^{2} ight) dt+dfrac {partial G}{partial X}bdW_{t}$

附：

伊藤過程 --- 就是更一般化的布朗運動

$Delta X=aleft( X,t ight) cdot Delta t+bleft( X,t ight) cdot varepsilon cdot sqrt {Delta t}$

$a,~b$ 都是布朗運動 $X$ ，變數 $t$ 的函數

只要將伊藤引理中的 $a,~b$ 進行相應的替換就好了