雙生子佯謬的分析全過程

來自專欄長尾說相對論5 人贊了文章

由於公眾號無法貼公式和下標，下標全都變成了下劃線，因此t_A=t_B=t_S=0實際上是

，給大家造成閱讀體驗的下滑深表歉意。大家如果想要排版良好的原文，可以來社群，我會把文章的Word原文件放在群里~

上面兩篇文章講了一些雙生子佯謬的基礎知識，假定大家已經看過了。那麼在這篇里出現就不會再詳說了，不太清楚的可以去翻上兩篇文章看。文章地址：《徹底搞懂雙生子佯謬之前需要了解的東西（上）》，《徹底搞懂雙生子佯謬之前需要了解的東西（下）》。

問題提出

這篇文章我們分析一個具體的雙生子問題。

題設：現在假設地球上有一對雙胞胎（雙胞胎就表示年齡一樣，先出來的稱為哥哥），距離地球30光年的地方有一個相對地球靜止的星球S，哥哥駕著飛船以0.995c的速度從地球飛向星球S，然後再以同樣的速度返回地球，我們的問題就是要分析哥哥回到地球並著陸之後跟弟弟比一比年齡，到底誰大？大多少？

為了便於更好的理解這個問題，我們假設在星球S上也有一個跟這對雙胞胎一樣大的人（假設是以前某個探索者的後代吧）。然後假設哥哥的飛船在瞬間加速到0.995c，我們不考慮加速的這個時間（當然，加速帶來的影響肯定是要重點分析的，這樣假設只不過把一個速度漸變的過程弄成了跳變），因為這個時間的長短相對於勻速飛行的時間可以忽略不計。

此外，飛船的速度為0.995c，此時我們可以計算尺縮和鐘慢的係數都為0.1。也就是說地球上過去了10年，飛船上才過去一年；同樣，地球上觀擦有30光年長度的距離，在飛船上看起來就只有3光年了。具體計算參考上篇文章，這裡就不詳述了。

過程分析

（1）、起飛前

因為地球和星球S相對靜止，所以地球和星球S處在同一個慣性系，我們設這個慣性係為K，飛船勻速飛行是的慣性系設為K。

起飛前，弟弟哥哥還有探索者都處在同一個慣性系K中，我們假設他們每人都隨身攜帶了一個時鐘，弟弟的時鐘為t_A，哥哥的時鐘為t_B，探索者的時鐘為t_S。出發前他們都處於同一個慣性系，因此可以很方便的對鍾，我們記此時t_A=t_B=t_S=0。

（2）、飛船啟動

哥哥在地球啟動飛船，因為不考慮加速過程，所以我們假設哥哥的飛船立即從0加速到0.995c，然後哥哥進入了飛船慣性系K。因為不考慮加速時間，所以哥哥是瞬間進入飛船慣性系K，那麼此時飛船慣性系的時間t=t_B=0，然後哥哥的時鐘指示慣性系K的時間。

與此同時，根據尺縮效應，地球到星球的距離在K系中是30光年，在0.995c的飛船K系裡就縮為3光年，也就是說哥哥眼裡星球S突然距離自己只有3光年了。

這些都好理解，關鍵是下面這一點：因為同時是相對的，在一個參考系裡是同時發生的兩個事件，在另一個參考系裡完全就可以是不同時發生的。所以，在地球參考系K里，地球和星球S的時間是一致的，弟弟的時鐘過了一年，星球S上的探索者肯定也是過了一年。但是，在飛船參考系K里就不是這樣的了。

那麼，在飛船系K里，也就是在哥哥的眼裡，地球和星球S的時間是怎樣的呢？這裡就要用到洛倫茲變換的逆變換來計算了。

大家仔細看一下，這個時間的逆變換就是在參考系K里觀察參考系K，我們可以明顯的看到這飛船參考系K里，K系裡不同地點的時間肯定不一樣，因為這個公式很明顯跟坐標x有關。

那麼，地球和星球在K的時間到底是多少呢？因為這裡涉及到了兩個參數t和x，不管是地球還是星球S，這個t的時間都是一樣的，t==0。但是這個x就不一樣了，飛船加速到0.995c的那一瞬間，K系地球的坐標，但是星球S的坐標x_S=3（我們以地球所在的地方為原點，星球S由於尺縮效應在K里縮短為3光年）。

也就是說，對於地球，t_A=0，x_A=0，把這兩個數字代入上面的洛倫茲逆變換公式里去就有：

對於星球S，t_S=0，x_S=3光年，那麼：

這是什麼意思呢？這就是說從飛船參考系K來看，也就是哥哥的視角，飛船在啟動到0.995c的瞬間，也就是哥哥從慣性系K切換到K的瞬間，他眼裡留在地球的弟弟的年齡沒有變，但是在星球S的探索者的年齡卻一下子增加了29.85歲。

理解這一點非常的關鍵。

為了讓大家更加精確的理解這一點，我上面的分析過程全都使用洛倫茲逆變換做精準的定量分析。使用的公式也不難，比較難以理解的地方我也都做了詳細的解釋說明，只要大家順著這個思路慢慢看，不懂的就倒過去看，或者來公眾號或者社群問我。理解這個不僅能很好的理解雙生子佯謬，而且也能對洛倫茲變換有一個更加深刻的理解。

因為我們不考慮加速過程，所以這個過程里有跳變的情況，如果要仔細分析加速的過程，那我們也只是看到慣性系在不停的切換，星球S上的時間慢慢流逝了29.85年。慣性系切換到每一個小過程都可以這樣分析，最後給他們做一個累積（也就是積分）就能得到整個過程。

（3）、飛船從地球飛往星球S

這是個勻速直線運動的過程，因此比較簡單。在飛船參考系K里觀察，星球S以0.995c的速度朝飛船飛過來，因為在K里這個距離為3光年，所以飛船飛行的時間為3光年/0.995c≈3.015年。

所以，飛船與星球S相遇的時候哥哥攜帶的時鐘t_B=3.015年，而星球S和地球上的時鐘由於鐘慢效應走了0.3015年。

因此，在K里，留在地球上的弟弟的時鐘讀數t_A=0+0.3015=0.3015年；而在星球S上的探索者的時鐘讀數t_S=29.85+0.3015=30.1515年。

（4）、飛船在星球S降落（減速至速度0）

也許飛船沒有必要降落，但是它如果打算再返回地球，那麼就一定要先減速再反向加速，那麼就必然有個速度減到0的時間點。在這個點上，飛船相對地球速度為0，也就是重新回到了地球參考系K。

根據我們分析起飛時的經驗，在這個瞬間減速的過程中，跟飛船距離為0的星球S上的時間畢竟不會跳變，而距離遙遠的地球肯定要發生時間跳變（洛倫茲逆變換跟x坐標，或者說距離有關），有興趣的可以再去用洛倫茲變換算一下。但是，有了這種經驗，其實我們可以偷個懶。

因為星球S上的時鐘讀數t_S=30.1515年，而飛船著陸的時候這個數字是不會變的，而飛船著陸之後飛船和地球星球S都處於慣性系K裡面，而在慣性系K里，地球和星球S的時間必然是同步的。所以，根據這個我們可以推算著陸的時候地球上弟弟的時鐘讀數一定是跟星球S上探索者的讀數一樣。也就是t_A=30.1515年。

而飛船減速也是瞬間完成的，所以哥哥的時鐘讀數也沒有變，於是t_A=t_S=30.1515年，t_B=3.015年。

（5）、飛船從星球S反向加速至0.995c

飛船從星球S飛回地球，這個過程跟從地球起飛時的過程一樣，只不過地球和星球S的位置對調了一下而已。

我們回想一下飛船在地球上從靜止瞬間加速到0.995c發生的事情：地球上的弟弟和飛船上的哥哥時鐘讀數都沒變，但是星球S里的探索者一下子時鐘跳變到了29.85年。因此，現在反過來了，那麼情況就變成了開飛船的哥哥和星球S里的探索者時鐘不變，但是留在地球的弟弟的時鐘會突然飛速流逝29.85年。

那麼，當哥哥開著飛船從星球S加速到0.995c的時候，他再一次從地球慣性系K切換到了飛船慣性系K（要注意此時的飛船慣性系K跟之前從地球往星球S飛的時候的K是不同的，因為速度的方向相反了，因此是兩個不同的參考系，但是我們這裡為了方便敘述，依然稱這個慣性係為K），此時飛船上哥哥的時鐘讀數t_B=3.015年，星球S上探索者的時鐘讀數t_S=30.1515年，而地球上弟弟的時鐘讀數t_A=30.1515+29.85=60.0015。

也就是說，留在地球上的弟弟這時候變成了一個60歲的老頭了。

（6）、飛船從星球S飛往地球

這個過程很簡單，以0.995c的速度飛3光年的距離，這個過程耗時大約3.015年，但是地球和星球S由於鐘慢效應耗時0.3015年。

所以，等到飛船到達地球的時候，飛船里哥哥的時鐘讀數t_B=3.015+3.015=6.03年，地球上弟弟的時鐘讀數t_A=60.0015+0.3015=60.303年，星球S上的探索者的時鐘讀數t_S=30.1515+0.3015=30.453年。

（7）、飛船降落在地球

飛船瞬間降落到地球的過程中，由前面的經驗可知，地球上弟弟的時鐘讀數不會變，飛船上的哥哥因為是瞬間降落到地球，因此讀數也不會變。星球S上的時鐘會發生跳變，因為最終三個人都將回到地球參考系K中，所以星球S和地球上弟弟的時鐘應該最終同步，所以最後星球S和地球上弟弟的時鐘讀數t_A=t_S=60.303年，而飛船里哥哥的時鐘讀數最終定格在t_B=6.03年。

也就是說：出發的時候一樣大的雙生子，哥哥開著飛船以0.995c去30光年外的星球S浪了一圈回來之後，自己長了6.03歲，而留在地球的弟弟長了60.303歲，顯然回來之後弟弟更老了。

中間的每一個步驟都經過了嚴密的分析和計算，因此，雙生子佯謬問題就愉快的解決了。

The End！

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