數學思維比數學運算更重要

09-14

數學思維比數學運算更重要

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數學的證明依靠嚴密的邏輯推理，一經證明就永遠正確，所以，數學證明是絕對的。相對而言，科學的證明則依賴於觀察、實驗數據和理解力，科學理論的證明難以達到數學定理證明所具有的絕對程度，只能提出近似於真理的概念。

因此，在思維嚴密的數學家眼裡，物理學、化學、生物學、天文學等自然科學都是經驗科學。林家翹先生說，應用數學家要將數學的嚴密和精確引入經驗學科，將這些學科中的實驗問題歸結或表示為能夠用運算手段處理的數學問題，從而促進經驗科學的發展。

　　過去的經驗告訴我們，所有的科學問題在本質上都是簡單而有序的。物理學所有的定理都可以用數學公式在一張紙上表示出來，而與此同時，人類的智慧又堅持用簡單的概念闡明科學的基本問題，這樣做，數學就是一個基本的方法。

　　應用數學是利用數學的方法來發展經驗科學的學科。應用數學始於經驗性事實，止於對經驗性事實進行規律性預測，這些規律還必須被其它的實驗數據所證實。同時，用數學理論來發展經驗科學往往又會向數學提出深刻的挑戰，並對純數學的研究啟示新的方向。

近代應用數學發端於英國，牛頓是應用數學的鼻祖。為了解釋觀察到的大量天體運行的資料，解釋天體運行的基本規律（開普勒三大定律），牛頓建立起天體運行的數學模型，提出了劃時代的三大力學定律和萬有引力定律。

但是，力學定律的內涵超越了那個時代傳統數學的範圍，牛頓不得不開拓新的領域，發明了微積分，然後再用微積分、力學定律和萬有引力，求得了行星運行的規律。

在19世紀末的英國，所有的理論物理被稱為應用數學。我在加州理工學院的博士導師馮卡門也是一位應用數學的實踐者和倡導者，他堅信自然界具有數學的本質，並用他畢生的經歷從那些光憑經驗無法澄清的混沌領域中尋求數學解答。

馮卡門的導師是德國哥丁根大學應用物理系主任、有"空氣動力學之父"稱號的普朗特爾教授，他最大的貢獻是闡明了飛機為什麼會飛。他的一個科學準則是"概括法"，即從一個複雜的物理過程中（無論是機器運行還是河水流動）概括出關鍵的物理因素，然後再用數學進行分析。

　　馮諾依曼是20世紀最偉大的純粹數學家和應用數學家，在他發表的150篇論文中，60篇研究的是純粹數學，60篇研究的是應用數學，包括統計學和博弈論，那篇著名的會客室博弈論文就是他在20歲那年完成的。

他和莫根施特恩合作的《博弈論與經濟行為》在1944年出版，在這部著作中他們將數學科學的邏輯語言，尤其是集合論與組合數學方法，應用到社會理論的改革過程中，將經濟學置於嚴謹的數學基礎上。評論員赫維茨認為"只要再有10部這樣的著作，經濟學的未來就有保障了"。

學生們將這本書稱為"那部《聖經》"。馮諾依曼勇敢無畏地走出數學領域，他應用相似的方法解決不同的問題的成功經歷，激勵著年輕的天才競相仿效，約翰福布斯納什就是其中一位。納什證明的均衡定理推廣了馮諾依曼定理，成功地打開了將博弈論應用到經濟學、政治學、社會學及至進化生物學的大門。納什也因博弈論定理的證明獲得了1994年的諾貝爾經濟學獎。這是應用數學發展經濟科學的最新例證。

　　二次世界大戰極大地推動了應用數學的獨立發展，取得了蔚為壯觀的成就。這場戰爭引起了一系列科學和技術的競爭，並在戰後的年代裡，在航空航天、通訊、控制、管理、設計和試驗等方面，讓人們感受到數學嶄新的力量。20世紀數學的成就，可歸入數學史上最深刻的成就之列，應用數學和計算機科學成為科學技術取得重大進步的重要因素，它奠定了現代科學和工業技術時代發展的基礎。

　　上帝造物都很簡單，所有的問題都可以用數學公式來表達，這是應用數學家們的一個信仰。