一個有意思的題目的求解和證明過程

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最近有朋友發給我這樣一個題目。確實讓我思考了一會兒。

最初我得出的答案是1/2，然而多年來的直覺告訴我朋友似乎不會特意問如此淺顯的問題。

於是產生一個疑問，這會不會是一個陷阱。

要不要考慮到答題者的性別之類的奇葩選項。

後來朋友告訴我這題的答案是2/3 改編自另外一個題目。

一看這個題目就比上面這個正常多了，第一方面，它加上了已知條件「輪流」二字。而且奇異性也沒有那麼大。

對此網友也給出了不錯的答案和觀點。雖然有一定的道理，通俗一點。但是沒有嚴謹的證明過程。

這一位網友雖然給出了方程，卻沒給出第一個方程怎麼得來的，即使知道了第一個方程的意義也不好理解（需要有一定的極限思想和迭代意識），讓人更加的糊塗，而且顯然沒有考慮輪次的問題。

下面兩位網友的觀點都正確，但是沒有給出過程。

總結網友們的觀點，我們可以得出以下幾個基本的要點。

第一個是：如果只拋一輪，先拋的人的概率和後面那個人完全無光，是一個相對獨立的事件，其概率完全等同於拋硬幣為正面的概率既1/2

第二個是：需要考慮此事件進行多少輪（根據「輪流」這個條件應該要進行到決定誰先吃蘋果為止，也就是說在沒有拋出正面時，兩人是輪流無限進行下去的）。

第三：拋硬幣是獨立事件（可以用來計算概率）

所以我們不妨假設 p1:第一個人（先拋得人）先拋出正面，遲到蘋果。同理 p2：第二個人吃到蘋果。

那麼就有 兩者的概率 P（p1）+ P (p2) =1

首先考慮P(p1) ： 我們設此事件進行了x輪：

那麼當x=1 時， 只進行一輪，P(p1)和第二個人拋還是不拋無關，既P（p1）=1/2=P（硬幣為正面）。

當x=2時，那麼此時第一輪的進行結果，第一次拋硬幣得到的一定是反面（出現概率是1/2），第二次也是（出現概率 1/2 *1/2），否則不可能進行到第二輪。同樣這時候第二輪第一個拋硬幣為正的概率也和第二個人是否拋無關。

即兩輪結束遊戲的P（p1）=P（第一輪第一個人拋出反面）*P（第一輪第二個人拋出反面）*

P（第二輪第一個人拋出正面的概率）=1/2*1/2*1/2

同理當x=3時 P（p1）= （1/2）^5

..........

當x=n （正整數）時 P(p1)=（1/2）^(2n-1)

至此我們推出每一輪第一個人先拋出正面的概率，及其通項公式。將每一輪的概率相加即得到總的p1的概率，即求以1/2為首項，1/4為公比的等比數列的前n項和。

等於 a1(1-q^n)/(1-q)=2/3(1-q^n）。

我們考慮求當n->∞的極限lim n->∞（2/3（1-q^n）） =2/3lim n->∞（1-q^n）

由於q=1/4小於1

故原式等於=2/3

所以第一個人吃到蘋果的概率時2/3

那麼此例讓我們聯想到依賴像經典的抽籤（無放回），抓鬮，這樣的有先後順序的古典概型來做出決定是否公平呢？

顯然是公平的，否則不會被沿用至今。

我們以抽籤為例，假設有7長1短共8個簽（無放回）。第一個人抽到短的概率是1/8，第二個人則有兩種情況，即第一個人抽到了短簽和第一個人抽到長簽。在這兩種情況下第二個人抽到短簽的概率是1/8*0+7/8* 1/7=1/8 仍然是1/8，以此類推，第三第四個人也是一樣。

那麼為啥上題中的概率會不一樣呢，原因是上題採取了放回制。 因為一個硬幣拋完後不會減少一面。單純的一輪的放回制其實也是不公平的。它會產生一未知結果。就是決定不了，大家都沒抽到短簽（儘管概率比較小）。此時所有人的概率和加起來並不等於1，而是還需要加上未知這個結果的概率。在有隱含條件（先抽到的人來完成xxx時），後面的人抽到的概率會逐步減小。

我們同樣以上述抽籤決定為例，假設放回制。第一個人抽到短簽概率是 1/8 第二個人抽短簽的概率確是 1/8*0+ 7/8 * 1/8=7/64 同理第三個人為 7/8*7/8/*1/8=49/64*1/8 小於第二個人的概率。