矩陣的列秩為什麼等於行秩

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若A為一個mxn階矩陣，定義A的列秩為線性獨立的列向量數，行秩為線性獨立行向量數。下述性質成立：矩陣A的列秩等於行秩，換句話說矩陣A的行空間維數等於列空間維數。

線代教科書基本上介紹了高斯消元法後，將矩陣的秩定義為化簡後梯形矩陣所包含的主元（pivot）數目，矩陣的每一行與每一列至多有一個主元，顯然包含主元的列的數目等於包含主元列的數目，因此列秩等於行秩是不言而喻的。舉例：

但是仔細想來，如果從列秩是列空間維數，行秩是行空間維數出發，上面給出的理由顯然是不能服眾的。下面介紹一種用矩陣乘法運算規則給出一個證明，

假設mxn階矩陣A的列秩為c，行秩為r。則A包含c個m維線性獨立的列向量，它們張成A的行空間。將這些列向量放到一起組成一個mxc階矩陣B，

考慮矩陣A的第i行，利用以行為計算單元的矩陣乘法規則，可得，

矩陣A的每一行可以表示成D的每一行的線性組合，因為A的行空間維數不大於D的行數，因此，行秩r小於等於c，即A的行空間維數不大於列空間維數。

用同樣的方式對A的轉置進行推導，可以得到A轉置的行空間維數c不大於列空間維數r,也就是說c小於等於r。將兩個結論對比只能取r=c。行秩等於列秩得到了證明。

這裡從線性空間基向量的線性表示出發得到行秩等於列秩的結論，值得我們仔細品味。

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