變分法理解3——例題求解

09-12

變分法理解3——例題求解

來自專欄機器學習與數學

本文是變分法理解系列的第3篇文章

第1篇文章見變分法理解1——泛函簡介
第2篇文章見變分法理解2——基本方法

在第2篇文章中，推導出了歐拉-拉格朗日方程，本文用它來解決第1篇文章中的兩個簡單的泛函問題。

兩點之間的最短路徑

問題的具體描述見第1篇文章，在第1篇文章中求的是從坐標原點(0,0)到點(a,b)的連接曲線是 y = y(x)，不失一般性，這裡將其改成求點 $(x_0,y_0)$ 到點 $(x_1,y_1)$ 的最短連線。

兩點之間最短路徑問題就是如何找出曲線y(x)，使得曲線的總弧長，也就是泛函：

$J[y(x)] = int_{x_0}^{x_1} (1 + y^2 )^{1/2}dx$

最小。

因為 $F = (1+y^2)^{1/2}$ ,

所以

$frac{partial F}{partial y}=0,qquad frac{partial F}{partial y} = frac{y}{(1+y^2)^{1/2}}$

代入歐拉-拉格朗日方程為：

$frac{partial F}{partial y}-frac{d}{dx}frac{partial F}{partial y}=0$

因此：

$frac{partial F}{partial y}= C = frac{y}{(1+y^2)^{1/2}}$

其中C是常數，因此：

$y=frac{C}{(1-C^2)^{1/2}}$

可見曲線y(x)的斜率 y 是一個常數，設 $y(x)=ax+b$ ，由已知條件 $y ( x_0 ) = y_0 , y (x_1) = y_1$ ，可得兩點間最短連線是：

$y(x)= frac{y_1 - y_0}{ x_1 - x_0 } (x-x_0) + y_0$

最速降線問題

問題的具體描述見第1篇文章，重物由 O 點運動到 A 點所需時間 t 是泛函：

$t=J[y(x)]=int_0^a sqrt{frac{(1 + y^2)}{2gy}}dx$

並且滿足條件：

$y ( 0 ) = 0 , y ( a ) = b$

最速降線的問題就是在所有連續函數 y(x) 中，求出一個函數 y 使時間 t 取最小值。

首先證明一個定理：

若F只依賴於 y 和 y，F(y,y) 具有二階偏導數，y(x)也具有二階偏導數，那麼：

$F(y,y) - y frac{partial F}{partial y} = C$

證明：

$egin{aligned}frac{d}{dx}[F(y,y) - y frac{partial F}{partial y}] &= frac{partial F}{partial y} y + frac{partial F}{partial y}y- yfrac{partial F}{partial y}-yfrac{d}{dx}(frac{partial F}{partial y}) &= y frac{d}{dx}(frac{partial F}{partial y})-yfrac{d}{dx}(frac{partial F}{partial y}) &= 0 end{aligned}$