薛定諤方程

09-11

薛定諤方程

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薛定諤方程是非相對論性量子力學的基本方程，地位和牛頓方程相當。在薛定諤方程中，我們不考慮粒子的自旋，並且認為粒子的運動能量遠遠小於其靜能，所以不考慮粒子的產生和湮滅。

薛定諤方程的獲得來自於一次量子化。歷史上的發展大概是德布羅意類比愛因斯坦的光量子假設，反其道而行之。光是電磁波，但在光電效應的實驗中，愛因斯坦通過建立光量子的模型解釋了光電效應。德布羅意卻認為物質粒子，比如電子等，也具有波粒二象性，即物質波的假設。德布羅意提出了物質波假設之後，薛定諤就找出了一個波動方程描述這種物質波的行為，其中的用來描述其行為的物理量就是波函數。而波恩，則提出了概率詮釋，認為波函數的物理意義是在於波函數模的平方是給出粒子在某一時刻出現在空間某點的概率。

下面我們用一種比較直接的方法給出薛定諤方程。真空中電磁波的波動方程為

$abla^2psi-frac{1}{c^2}frac{partial^2}{partial t^2}psi=0$

其中 $abla^2=frac{partial^2}{partial x^2}+frac{partial^2}{partial y^2}+frac{partial^2}{partial z^2}$ 為拉普拉斯運算元。

波動方程的單色平面波解為 $psi=Ae^{i(vec{k}cdotvec{r}-omega t)}$ ,A是振幅， $vec{k}$ 是波矢， $vec{k}$ 的方向就是平面波的傳播方向， $k=|vec{k}|=frac{2pi}{lambda}$ 。 $omega$ 是平面波的頻率。在經典物理的框架下，波動方程給出了電磁波（光波）的運動規律。

考慮德布羅意關係 $E=hbaromega$ , $p=hbar k$ .其中E和p是粒子的動量， $hbar=frac{h}{2pi}$ 稱為約化普朗克常數。愛因斯坦能量-動量關係為 $E^2=p^2c^2+m_0^2c^4$ .

（簡單推導一下能量-動量關係。相對論性動量定義為 $vec{p}=frac{m_0vec{v}}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}$ ,兩邊平方 $p^2=vec{p}cdotvec{p}=frac{m_0^2v^2}{1-frac{v^2}{c^2}}$ ,故 $sqrt{1+frac{p^2}{m_0^2c^2}}=frac{1}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}equivgamma$ . 所以由相對論性能量定義 $E=frac{m_0c^2}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}=gamma m_0c^2=m_0c^2sqrt{1+frac{p^2}{m_0^2c^2}}=sqrt{m_0^2c^4+p^2c^2}$ ）

對於光子，由於靜止質量為0，所以 $E=pc$ .對於波函數 $psi=Ae^{i(vec{k}cdotvec{r}-omega t)}$ ,有

$ihbarfrac{partial}{partial t}psi=hbaromegapsi=Epsi$ , $-ihbar ablapsi=hvec{k}psi=Epsi$ .另外，把波函數 $psi=Ae^{i(vec{k}cdotvec{r}-omega t)}$ 代回到 $abla^2psi-frac{1}{c^2}frac{partial^2}{partial t^2}psi=0$ 中，也很容易得到 $(frac{omega^2}{c^2}-k^2)psi=frac{E^2-c^2p^2}{hbar^2c^2}=0$ ，又重新得到了E=pc的表達式。

由上面的推導可以看出，運算元 $ihbarfrac{partial}{partial t}$ 作用到波函數上就得到了粒子的能量，運算元 $-ih abla$ 作用到波函數上得到粒子的動量。我們記作 $hat{E}=ihbarfrac{partial}{partial t}$ , $hat{p}=-ih abla$ . $hat{E}psi=Epsi$ , $hat{p}psi=ppsi$ .方程右邊的E和p稱為算符 $hat{E},hat{p}$ 的本徵值， $psi$ 稱為本徵函數。

對於低速運動的電子，當存在勢場的時候，有 $E=T+V=frac{vec{p}^2}{2m}+V(x,y,z)$ .T為動能，V為勢能。相應的波動方程為 $hat{E}psi=frac{hat{p}^2}{2m}psi+Vpsi$ .需要注意，這裡V沒有代換成相應的算符（或者可以認為直接把V看成算符），其實是一個假設。

將 $hat{E}psi=frac{hat{p}^2}{2m}psi+Vpsi$ 中的算符代入，就得到

$ihbarfrac{partialpsi}{partial t}=(-frac{h^2}{2m} abla^2+V)psi$

即薛定諤方程。而 $|psi(vec{r},t)|^2dV$ 正比於在t時刻在位置 $vec{r}$ 附近體積元dV中發現粒子的概率。由於薛定諤方程是描述粒子低能情況下的運動，能量變化遠小於粒子靜能 $m_0c^2$ ,所以不涉及粒子的產生和湮滅，粒子數守恆。所以對全空間有歸一化條件， $int|psi|^2dV=1$ ，即在全空間發現粒子的概率是1.

感興趣的同學可以自己從 $E^2=p^2c^2+m_0^2c^4$ 進行上述量子化過程可以得到Klein-Gordon方程 $(square+mu^2)psi=0$ .其中 $square=frac{1}{c^2}frac{partial^2}{partial t^2}- abla^2$ 為達朗貝爾算符， $mu=frac{m_0c}{hbar}$ .