Gap2：重要的導數

09-10

Gap2：重要的導數

來自專欄數學私塾課4 人贊了文章

上一講泛泛談了導數的概念。這一講要具體講一些重要導數。一方面可以加強理解，另一方面，在後面的學習中，這些重要的導數是非常常見，必須熟練掌握的。

整數冪函數的「導數」

考慮定義在整數上的函數 $x^2$

一個5x5的正方網格，當它變成6x6時，網格的增量為

6x6 - 5x5 = 5 x 2 + 1

其中的5x2理解為 $2x$ ，而1為求導時可以忽略的高階小量。

如果在其他 $n$ 維度上考慮

那麼 $n$ 維超立方體的單位增量，忽略高階小量後可以表達為 $nx^{n-1}$

直觀理解的話，當 $n$ 維超立方體的尺度 $x$ 以單位增量增長時，它的 $n$ 個維度方向上都有一個（超）面積為 $n-1$ 維的邊界在增長，於是整體增長速度為 $nx^{n-1}$

於是，我們直接定義整數上冪函數的「導數「（其實不滿足導數用極限方式的定義，準確說是變化率）為

$nx^{n-1}$

這裡是略過極限的直接計算，和高等數學的方法有所不同。要知道，整數不是一個域，它對商運算是不封閉的，用通常的比值是無法求導的。

實數集上冪函數的導數

實數上冪函數依舊具有相同的導數形式。按定義：

$frac{dx^n}{dx} = lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{(x+Delta x)^n-x^n}{Delta x}}$

其中按照二項式定理分解開後， $n$ 次項被消去，剩餘最高項為 $(n-1)$ 次項，其它項成為無窮小量，於是

$frac{dx^n}{dx} = lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{(x+Delta x)^n-x^n}{Delta x}} = lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{nDelta x cdot x^{n-1} + ...}{Delta x}} = nx^{n-1}$

多項式函數：求導作為線性運算元

$P(x)$ 為以 $x$ 為變元的多項式的集合。藉助剛才的冪函數導數，我們直接得到多項式 $p(x) in P(x)$ 的導數：

$frac{dp(x)}{dx} = frac{d}{dx}sum_{i=0}^{n}a_ix^i = sum_{i=0}^{n} frac{da_ix^i}{dx} = sum_{i=0}^{n} ia_i x^{i-1}$

導數所謂的線性性，體現為 $forall p_1(x),p_2(x)in P(x), forall a, b in mathbb{R}$ ：

$frac{d [ap_1(x)+bp_2(x)]}{dx} = frac{d}{dx} Big( asum_{i=0}^{m} a_ix^i + bsum_{i=0}^{n} b_ix^i Big) = asum_{i=0}^{m} ia_i x^{i-1} + bsum_{i=0}^{n} ib_i x^{i-1} =afrac{dp_1(x)}{dx} + bfrac{dp_2(x)}{dx}$

以下概念，先略作提示，深入理解需要等到學習了線性代數之後：

多項式是一類可以無限次求導（光滑）的函數。函數和函數之間可以相加和數乘，構成函數空間（集合一般是鬆散的，而所謂空間，一般是指具有結構的集合）。上面我們看到，對多項式的線性組合求導，等於其各自的導數以相同的係數進行線性組合。求導運算，作為一個函數空間的運算元，保持了線性組合的結構，因此稱其為線性運算元。

指數函數

在所有的光滑函數中，我們希望有一種特殊的函數可以滿足：一個函數的導數等於它自身，而指數函數就滿足這個條件。通過級數展開：

$e^x=sum_{n=0}^inftyfrac{(ix)^n}{n!}$

對 $e^x$ 求導，相當於對級數的每一項求導，其結果任然等於它本身：

$frac{de^x}{dx}=frac{d}{dx}sum_{n=0}^inftyfrac{x^n}{n!} =sum_{n=0}^infty frac{d}{dx}frac{x^n}{n!} =sum_{n=1}^infty frac{x^{(n-1)}}{(n-1)!} =sum_{n=0}^inftyfrac{x^n}{n!}=e^x$

三角函數：諧振

這裡不詳談如何求得三角函數的導數，任何高等數學或數學分析的參考書都有詳細過程。需要我們理解的主要是這兩個公式，它們在後面的學習中是基礎性的：

$sin^prime x = cos^prime x, cos^prime x = -sin^prime x$

這兩個公式要放在一起理解。完全的理解，需要等到大體上熟悉了複數中的Euler公式、了解了線性微分方程，甚至對調和分析有一定了解了以後才談得上。這裡只能站在中學生的角度談一下直觀。

$sin x,cos x$ 反映了單位圓上的一點，投影到兩個坐標軸的分量。角度 $x$ 是按照逆時針旋轉的。用解析幾何的坐標表示，這一點是 $(cos x,sin x)$ 。求導數得到了另一個坐標 $(cos^prime x,sin^prime x)$ 。它反映出了點 $(cos x,sin x)$ 相對於角度 $x$ 運動的速度。這個速度的方向矢量是和點的坐標矢量垂直的，所以才有公式中的交錯配對形式。