知數學乎——極限定義

09-10

知數學乎——極限定義

來自專欄 MakeGodLaugh5 人贊了文章

此文部分參考：馬同學：請問如何理解極限的精確定義？

之前上學時不知道極限定義的重要性，最近了解的數學框架多了，才知道有了極限的精確定義之後，連續、導數、微分……才有了存在的根基。同樣地，後續會有對於重要的基礎定義——「無窮」、「發散與收斂」、「連續」和「度量」——的理解。

自己對於極限的簡單理解：

$lim_{x^{-} ightarrow c }f(x)=lim_{x^{+} ightarrow c }f(x)=L$

即，函數的左極限和右極限都存在，並且左右極限相等的時候，極限存在。類似於夾逼定理。

而像震蕩函數那樣的就沒有極限存在，因為它的左右兩端趨近的數值不相等。

之後，看了《古今數學思想》第二冊，其中的歷程描述在19世紀才對極限的定義完善，經過Cauchy和Weierstrass的努力，最後對極限的精確定義：

設 $f：Dsubset R ightarrow R$ 是一個定義在實數上的函數，並在某個開區間 $x>A$ 或 $x<A$ 上有定義。 $c$ 是一個實數，並且函數 $f$ 在 $c$ 的某個去心領域上有定義。 $L$ 是一個給定的實數。

如果對任意的正實數 $epsilon$ （ $forall epsilon>0$ ），都存在一個正實數 $delta$ （ $exists delta >0$ ），使得對任意的實數 $x$ ，只要 $f$ 在點 $x$ 處有定義，並且 $x$ 在 $c$ 的某個 $delta -$ (去心)領域中（ $0<|x-c|leqdelta$ ），就有 $|f(x)-L|leqepsilon$ ，那麼就稱 $L$ 是函數 $f$ 在 $x$ 趨近於 $c$ 的極限，或簡稱 $L$ 是函數 $f$ 在在 $c$ 的極限，記作 $lim_{x ightarrow c}{f(x)}=L$ 。反之，則稱 $L$ 不是函數 $f$ 在在 $c$ 的極限。

圖像為：

limit : Whenever a point x is within δ units of c, f(x) is within ε units of L. (摘自wiki)

問題來了：

1. 為什麼在實數範圍內，而不在複數範圍內？

因為複數涉及到實數和虛數兩個，複數的極限也有對應的定義，而且是二維的複數平面上的趨近，這裡是實數的一維方向的描述。

2. 為什麼要定義在開區間上？

此處不一定要求函數 $f$ 只在開區間上有定義，而是說在開區間上有定義。

【數學分析里，在不好度量的時候，就是沒有距離概念的空間中，【是的，有些是不可測的，可參考https://blog.csdn.net/xianlingmao/article/details/5835625】，定義連續性：開區間的原像是開區間】

3.什麼是鄰域？什麼又是去心領域？為什麼要定義鄰域、去心鄰域？

鄰域： $|x-c|leqdelta$ VS. 去心鄰域： $0<|x-c|leqdelta$

關於什麼是鄰域？這個部分的定義可以參考知乎用戶的回答高數為什麼要引進鄰域概念？

為什麼要定義鄰域？這一部分的解釋，馬同學解釋得相當明白。建議看馬同學的解釋。馬同學：請問如何理解極限的精確定義？

去心鄰域在兩種情況下非常有用：

（1）分段函數

即使 $f(c) e L$ ，上面的極限定義也是如此。事實上，函數 $f$ 甚至不需要在 $c$ 處有定義。

（2） $infty$ 情況下

如果考慮 $x ightarrowinfty$ ，這種情況下就更應該考慮去心鄰域了。

去心鄰域，也就是說，極限是否存在以及極限值是多少和這個點能不能取到以及這個點處的函數值無關。

4.為什麼要定義成「任意的」 $forall epsilon>0$ ，「都存在」， $exists delta >0$ ，這樣的抽象描述？

這部分可參考[BetterExplained]重新認識極限 - 點點滴滴截圖的解釋——「極限存在的必要條件是「對於任意小的誤差範圍總可以找到相應的縮放級別」，這個條件保證了不會漏掉「中途被外星人吸走又放回去」的情況。

當我們說一個函數在某個區間內連續（continuous）的時候，是指它在這個區間內處處可以準確地估計。」如果一個函數的性質不夠好（數學裡的性質好，大多數是平滑、連續、滿足很多運算規則等等），圖象充滿了「鋸齒」、「斷崖」和「坑窪」，那麼你隨便縮放的過程中看到的是什麼景象？

5. $forall epsilon>0$ ， $exists delta >0$ ，為什麼不是 $forall delta>0$ ， $exists epsilon >0$ ？

前者的描述是控制了在任意小的鄰域範圍內，都保證成立，重點在於任意小。

看問題的方式就在於首先確定 $forall epsilon>0$ ，然後去找對應的 $delta >0$ ，比如說下面的

For all x &amp;amp;gt; S, f(x) is within ε of L. (摘自wiki)

而後者的描述就把問題擴大到整個函數的定義範圍內，在整個函數的任意範圍內，函數的其他地方有可能性質是不好的，可能會出現 $infty$ 這樣的情況。那就不成立。而極限關注的是在目標點附近的越來越小的範圍內的事情。

6. 和之前沒有精確和嚴格的數學定義之前，人們所想的有差別么？

歷史回顧，最早之前，極限的定義是在微積分的出現中一直沒有解決的問題。用到導數的時候，牛頓用了最初比和最後比的定義。後來很多人都研究過這個問題，但是沒有突破。

Wallis——>新概念的萌芽

1655年，Wallis在《無窮的算術》中，提出了函數的極限的算術概念：它是被函數逼近的數，使得這個數和函數之間的差能夠小於任一指定的數，並且當過程無限地繼續下去，差最終將消失。雖然話糙，卻包含了正確的思想。

James Gregory——>夾逼雛形

1677年，James Gregory《論圓和雙曲線的求積》中把窮竭法表為代數的形式，並看出用外切於已知面積或體積的直線形與用內接直線形得到的逐次逼近值都收斂到相同的「最後項」，還注意到極限過程產生（不是有理數的根的）無理數。【不過，這倆人的見解被忽視】

後來，物理學家Jurin、數學家Maclaurin、Taylor等，對Berkeley進行了強烈的反駁，也激勵著大批數學家如法國的D』Alembert、Lagrange等開始對微積分基礎概念作深入研究，促進了微積分理論基礎的建設。出現了幾個對的路子，尤其是

d』Alembert——>極限定義

d』Alembert在「微分」這個條目下寫道：「Newton從未把微分學當作無窮小量的計算，而是作為最初比和最後比的方法，即求出這些比的極限的一種方法。」 D』Alembert更喜歡把導數看成極限。事實上，d』Alembert給出了極限的正確定義的一個很好的近似：一個變數趨近一個固定量，趨近的程度小於任何給定量，雖則這裡他也講到變數永遠達不到極限。

Weierstrasss——>規範定義極限的ε-δ語言

Weierstrass在Cauchy、阿貝爾等開創的數學分析的嚴格化潮流中，以極限的ε-δ語言定義，把「無窮小」分析的嚴格化帶至無懈可擊的地步。他把「變數無限地趨向於某一數值」改寫為「 $x$ 在區間 $(c-delta,c+delta)$ 內時， $f(x)$ 在區間 $(L-epsilon,L+epsilon)$ 取值，正數 $epsilon$ 可以任意值，主要是任意小」，於是系統建立了實分析和複分析的基礎，基本上完成了分析的算術化。

7. 從其他的角度怎麼看這個極限的定義？

$epsilon-delta$ 定義的極限離不開一個概念，所以只適用於度量空間。對於非度量空間，在拓撲學發展的基礎上，發展出了用開集、濾子等去定義極限。

幾何意義：當變點 $x$ 一旦進入到 $c$ 的充分小的去心鄰域時，它的像點 $f(x)$ 就落入到 $L$ 的一個預先給定的 $epsilon$ 鄰域中。

這個時候再回過頭來讀一遍上面的極限的嚴格定義：

設 $f：Dsubset R ightarrow R$ 是一個定義在實數上的函數——>複數極限另定義。

並在某個開區間 $x>A$ 或 $x<A$ 上有定義。

$c$ 是一個實數，並且函數 $f$ 在 $c$ 的某個去心領域上有定義。——>可以包含 $c$ ，但是 $c$ 也可以去掉。只需要考慮在 $c$ 點附近很小範圍內就可以了，因為函數的數值不是在全部範圍內都趨近於某個數值。同時， $c$ 點本身並不在極限的定義和作用範圍內。如果是不去心，同時 $f(c) e L$ ，反而會出現奇怪的矛盾定義。

$L$ 是一個給定的實數。——> $L$ 是極限的數值， $infty$ 不是實數，所以 $infty$ 不能作為一個極限值。

如果對任意的正實數 $epsilon$ （ $forall epsilon>0$ ），都存在一個正實數 $delta$ （ $exists delta >0$ ），——>任意的，可以隱含一種連續地，任意縮放的感覺，可以避免出現？

使得對任意的實數 $x$ ，只要 $f$ 在點 $x$ 處有定義，並且 $x$ 在 $c$ 的某個 $delta -$ (去心)領域中（ $0<|x-c|leqdelta$ ），就有 $|f(x)-L|leqepsilon$ ，——> 可變形為 $L-epsilon<f(x)<L+epsilon$ 理解。

那麼就稱 $L$ 是函數 $f$ 在 $x$ 趨近於 $c$ 的極限，或簡稱 $L$ 是函數 $f$ 在在 $c$ 的極限，記作 $lim_{x ightarrow c}{f(x)}=L$ 。反之，則稱 $L$ 不是函數 $f$ 在在 $c$ 的極限。

此時是不是有種把書慢慢讀厚的感受？

待解決問題：

1. $c$ 是一個實數，那麼 $c$ 可以是 $infty$ 么？

2. 定義得這麼抽象，這樣的具體遇到問題如何起作用？