CodyNote009：索引定址系列探討(Part.1)

09-09

來自專欄 Cody習題4 人贊了文章

馬良，祁彬彬

序言

MATLAB的索引概念相當於數據的邏輯和脈絡，是矢量化代碼的精神與魂魄。矩陣和數組元素的索引控制方法，吸引無數MATLAB編程者沉迷其中，幾乎所有合格的MATLAB編程教材，都會用一定篇幅，提及索引的重要和靈活性。

不過潛水國內BBS多年，個人感覺能把索引用好的人，和龐大的MATLAB使用人群基數相比，仍屬鳳毛麟角，能給我留下深刻印象、可稱傳世的代碼寥寥無幾。其中當然有客觀原因，比如：

作為科研工具之一，MATLAB使用者所能投入的時間與定時定期輸出成果間的窘迫比例；
各高校本科講述MATLAB編程的教師水準...港真，實在良莠不齊，經常：「編程課不講編程」，手拿半通不通、翻譯help的教材，一本正經，一絲不苟對著PPT念函數，弄些2D曲線隨便plot糊弄完事兒的怪現象屢見不鮮，一些對矢量化編程存有好奇心的學生，有力無處使，茫茫然不知怎麼找到恰當的提高切入點；
最後，講述索引定址也是出力不討好的噁心事兒，牽扯知識點繁雜不易分類不說，同時也缺乏優秀案例，能階梯式、有系統地藉由代碼欣賞和實際訓練，激發出矢量化代碼和自身矩陣思維能力立體形式、綜合提高的熱情，很容易把實打實的索引定址講解，弄成一鍋激情四射、卻找不到幾條幹貨的心靈雞湯。

呃...說起這雞湯...

我主動自污一條：在我眼裡，索引是牽著矩陣元素和數據變化的那根線，需要我們指揮那根線，讓它在正確的時間，出現在正確的地方。達此目的，需要總結、累積和持續訓練，才能讓看似呆板的函數工具「活」起來，變得立體而情緒豐富，並最終為問題的高效解決服務。

為此，我和彬彬打算做一個以索引控制為主題的系列文章，以多個Cody實例的多種求解代碼方案，重新探討和認識MATLAB多變而靈活的索引控制技巧。不過題目的內涵豐富，題量大，篇幅方面估計比較兇殘。所以分成3-4塊單獨發(現在還不清楚能寫幾篇)。

這是第1篇。

索引應用基礎

最基本的二維矩陣索引定址

【鏈接】：https://ww2.mathworks.cn/matlabcentral/cody/problems/44504

【原題】：A is a matrix of any size and dimension. Each element of matrix A belongs to the set S of natural numbers up to N. B is a vector of N-length, defining output value for each of the elements of set S. Function takes each element of A, looks up table B and finds corresponding output value to return output matrix C having same size as that of A, made of output elements.

e.g.

A = [ 8 9 5 9; 7 8 13 19; 15 12 13 6; 15 14 3 11; 3 15 2 4]

and

B = [20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20]

expected output is,

C = [ 6 4 12 4; 8 6 -4 -16; -8 -2 -4 10; -8 -6 16 0; 16 -8 18 14]

【解釋】：題干寫得神頭鬼腦不好理解！重新組織語言說明要求：已知輸入A和B，A是二維矩陣，B為1×N數組，要求返回A的同維矩陣C，C中每個元素存在於B數組，A提供對應索引。例如：B中第A(1)=8位置處的數值為6，即：C(1)=B(A(1))=B(8)=6。

Test

Code Input

%%A = [17 24 1 8 15; 23 5 7 14 16; 4 6 13 20 22; 10 12 19 21 3; 11 18 25 2 9];B = [1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 ...6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7];y_correct = [ 4 5 1 3 4 5 2 3 4 4 2 2 4 4 5 3 3 4 5 2 3 4 5 1 3];assert(isequal(mapmat(A,B),y_correct));

【分析】：結果輸出矩陣維度跟A、數值跟B，C中每個元素A和B各佔一半貢獻，A指明方向，B實錘元素值。

高維索引循環

不熟悉MATLAB中的矢量化索引定址，可以按A的維度二重循環，逐個元素賦值：

function ans = mapmat(a,b)[m,n]=size(a);zeros(m,n); for i=1:m for j=1:n ans(i,j)=b(a(i,j)); end endend

低維索引循環

也可以按矩陣A的低維索引賦值：

function ans = mapmat(a,b)zeros(size(a)); for i=1:numel(a) ans(i)=b(a(i)); endend

關於高維和低維索引的問題，我和彬彬的書里打了個比喻：二者關係好比家庭住址定位的多種方式：可以用經緯度標註，可以用某地標建築以東以南多少米，也可以用街道門牌號碼…等等。不同的地址解釋方式，有其特定的使用場合，但結果等效。高維和低維索引同理：都表示數組中某個或者某幾個位置的元素，只是定址表達方式不同。比較前面兩段短代碼，前者2重循環，循環體內按ans(i,j)賦值；後者1重循環，循環體內按ans(i)賦值；前者用行、列號交叉定位檢索數據；後者通過元素順序進行定位(默認逐列)，比如一個4×4的矩陣：

>> a=randi(10,4)a = 8 7 10 8 8 2 4 3 3 2 6 6 7 5 3 7

第2行，第3列的元素a(2,3)=4，同樣，按「列優先元素抽取和排列順序」的約定，等效低維索引地址是a(2*4+2)=a(10)=4

>> a(2,3),a(10)ans = 4ans = 4

兩種索引對元素的提取返回結果等效，換句話說索引映射到了同一索引位置的元素，二者間可通過sub2ind/ind2sub換算，仍以4×4矩陣為例：

>> t=sub2ind(size(a),2,3)t = 10>> [i,j]=ind2sub(size(a),10)i = 2j = 3

高維索引比較直觀，行、列、層的空間關係容易想像，好像家庭住址的街道門牌號碼，低維索引好比經緯度數據，實效而略抽象，得對MATLAB的元素排序方式有一定的了解。

直接索引

不過這個問題既不要高維也不要低維索引，倆字母加一對括弧就夠了：

function ans = mapmat(a,b)B(A);end

上述索引控制示例，暗示了MATLAB索引使用的兩個基礎規則：

(1). 索引維度決定輸出變數維度(一對一)；

(2). 索引號可重複使用(一對多)。

這兩點是MATLAB索引變換的關鍵所在：原問題數組B是1維數組，但卻跟隨索引維度屬性，A有多大，對B索引後的返回結果也有多大；A的索引序列不需要全都不同，這對自定義各種序列擴展，具有重要意義，如：

>> idx=min(1:10,flip(1:10))idx = 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1>> a=abcdea = abcde>> a(idx)ans = abcdeedcba

變數idx通過min函數構造索引號「鏡像」序列，應用到字元型變數a上，映射構成變數a的鏡像。再提一句：索引構造有諸多小技巧，前面利用min函數構造「鏡像」索引、間接控制元素的變換順序即為其中的一個，再舉一例加深印象：

給定兩字母完成填充擴展。如：給定字母』a』和』f』，要求按字母順序輸出』abcdef』；給定字母』t』和』m』，按字母排序順序t本應在後m在前，自動逆序擴展為』tsrqponm』。可以用判斷流程寫出「標配」代碼：

function ans=alphabet(a,b)if a>=b flip(b:a);else a:b;endend

或稍微簡化一下去掉else：

function ans = alphabet(a,b) a:b; if isempty(ans) fliplr(b:a); endend

順便注意字元也能比大小完成邏輯判斷，比如第1個小程序中的a>=b；字元同樣也能進行冒號操作完成序列擴展，比如的2個程序中的fliplr(b:a)。

而上述2個程序中的if完全可避免：

function ans = alphabet(a,b) a:sign(b-a+.8):b;end

sign命令針對正數、0和負數分別得到1、0、-1，屬常見常用函數，在這裡起到巧妙判定順、逆序的作用，如b>=a，即要求正向序列，sign結果可能是0或1，sign內+0.8的作用就是讓運算結果至少不能為0，即使a=b，a:1:b的結果也保證正確；如b<a，b-a+.8<0，sign(...)=-1，取值0.8目的是避免0的出現，但不是唯一的取值，只要小於1，不能等於1因為a=』b』，b=』a』時，結果變成0，序列填充出錯。當然，序列構造方法多樣，並不唯一，還可以構造(-1)^n來實現填充：

function ans = alphabet(a,b) a:(-1)^(a>b):b;end

索引構造中有許多類似技巧，尤其結合邏輯數組，很多平時看似不起眼、不常用的函數，都能發揮出人意料的巧妙作用，在效率不變的前提下，大幅簡化代碼。

矩陣元素控制

Draw a 「X」

【鏈接】：https://ww2.mathworks.cn/matlabcentral/cody/problems/44652-draw-a-x

【題目】：Given n as input Draw a X in a n-by-n matrix. example:

n=3y=[1 0 1 0 1 0 1 0 1]n=4y=[1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1]

【解釋】：要求生成」X」型的矩陣，即正反對角線元素為1，其餘為零的0-1矩陣，也就是矩陣中間畫個叉。這題思路很多，但在MATLAB中，對角線元素索引不是特別方便，循環可能多幾個步驟(本節最下方)，需要通過一些特定的操作，構造出與形狀接近的矩陣再修改編輯。

正對角線容易通過函數eye(n)實現，反對角線則翻轉eye(n)：

>> eye(n)+flipud(eye(n));

新問題又來了：n=4沒問題，兩條對角線不相交，可n=3時正反對角線元素相加，中間元素從1變為2，怎麼辦？用find函數找到2所在索引位置再重新賦值就很笨了，因此邏輯索引正式登場，連續兩次取「反」操作：

>> ~~(eye(n)+flipud(eye(n)));

兩個波浪號都不能省，第1次取反操作讓所有0元素變成1,1變成0，第二次重新變回來，那麼原來的2就再次成為1。

前面取「反」操作，接下來用「或」操作：

>> eye(n)|flip(eye(n))

對2個同維矩陣的「或」操作，每個對位元素比較，如果2個比較的元素其中之一為1，則輸出矩陣同維索引位置處返回1：

or(eye(n),flip(eye(n)))

函數選擇因人而異，flip還可以改成fliplr、flipud、rot90...等。而改用循環的話就比較繁瑣：

function y = X(n) y = zeros(n); for i = 1:n y(i,i) = 1; y(n-i+1,i) = 1; endend

Draw a 「Z」

【鏈接】：https://ww2.mathworks.cn/matlabcentral/cody/problems/44646

【原題】：Given n as input, generate a n-by-n matrix like Z by 0 and 1 .

Example:

n=5ans=[1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1]

【解釋】：用「1」畫Z字，大小由行列維度決定。反對角線如同前一題，可再度翻轉eye(n)；最後處理上下兩個邊界。以5×5輸出為例，先eye(n)構造反對角線元素，形成輸出矩陣雛形：

>> flip(eye(5))ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

再單獨用索引對上下兩條邊賦值：

>> ans([1 end],:)=1ans = 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1

這對矩陣多索引位置元素數值相同的賦值操作極度好用，那麼拓展一下：如果賦值元素的數值不同呢？

這是個好問題！按常規筆畫順序，Z中每個元素數字次第加1，怎麼寫代碼？

以至少能構成「Z」的n取值為下限，假設n×n方陣(n>=3)。

首先，Z中元素數量是n*3-2，所以n×n方陣中的「Z」字，其中應依次填充1:n*3-2的數字；其次，按列排布形式，把「Z」顛倒個兒，填充起來更方便：

function ans=ZvarElem(n)eye(n);ans(:,[1 end])=1;ans(ans|0)=[flip(1:n) n+1:2*n-2 flip(2*n-1:3*n-2)];rot90(ans,-1);end

函數體第3條語句，「ans|0」作用相當於logical函數，把0-1陣換成邏輯索引，等式右側是Z所需元素填充順序，調用示例：

>> ZvarElem(5)ans = 1 2 3 4 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0 9 10 11 12 13>> ZvarElem(4)ans = 1 2 3 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 8 9 10

總結：次第加1的問題是寫稿子時臨時想出來的，代碼ZvarElem純屬現編，雖然現炒現賣可能考慮不周、代碼勢必存在優化空間，不過第3行還算有料，1行之內出現2種常用的矩陣索引控制形式：左側邏輯索引和右側絕對索引。二者的意思可以用個比喻加深理解，一列隊伍a(維度1×n)點名，教官想讓自左至右第2、4、6...號學員向前一步出列，此時可以直接點編號名：

>> a(2:2:end)

或者提供一個條件(被2整除)，讓學員先報數，再讓從第2個人開始，隔一個出列：

>> a(~mod(a,2))

邏輯索引控制數據的方式有時具有無可比擬的優勢，在簡單遞增序列或許還和「點名式」絕對索引難分軒轅，有些問題，比如在隨機數序列中，選擇偶數元素(不是偶數索引)，邏輯索引就有較大的優勢：

>> a=randi(10,1,12)a = 9 10 2 10 7 1 3 6 10 10 2 10>> a(~mod(a,2))ans =10 2 10 6 10 10 2 10

那是不是可以下結論說邏輯索引一定優於直接索引？未必！比如構造一些規律性很強的擴展，先做點名式精準索引控制，再統一映射至序列的做法更簡單，比如給定1×4隨機整數序列b：

>> b=randi(10,1,4)b = 2 5 10 8

要求讓序列b以波浪起伏式擴展，也就是[2 5 10 8 10 5 2 5 10...]擴展3次，此時不大方便用邏輯索引構造，注意到一個循環節是2*numel(b)-1=7個元素，那麼先控制索引擴展，然後統一用b映射就比較好：

>> min(1:7,7:-1:1)ans = 1 2 3 4 3 2 1>> repmat(b(ans(1:end-1)),1,3)ans = 2 5 10 8 10 5 2 5 10 8 10 5 2 5 10 8 10 5

熟練的話repmat能複製元素，也同樣可以複製索引，這個問題中，repmat能里能外：

>> min(1:7,7:-1:1);>> b(repmat(ans(1:end-1),1,3))ans = 2 5 10 8 10 5 2 5 10 8 10 5 2 5 10 8 10 5

邏輯開關式索引和精準點名式的絕對索引，選擇依問題特徵而定，沒有定式；此外，邏輯索引和絕對索引又緊密聯繫，並且可通過一定方式互換，比如：

>> a=1:11a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11>> b=mod(a,2)b = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1>> find(b)ans = 1 3 5 7 9 11>> a(1:2:end)ans = 1 3 5 7 9 11

除了前面所說的構造序列賦值，還可通過稀疏矩陣命令sparse做索引序列的精準構造：

function ans=ZvarElem(n)spdiags(sparse([1:n,n-1:-1:2,1:n],1:3*n-2,1:1:3*n-2));end

精準構造是因sparse的特殊性，這是真正的點名式元素操作，例如：

>> a=magic(6)a = 35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11>> a(logical(sparse([1 3],[2 4],1,size(a,1),size(a,2))))ans = 1 22>> a([1 3],[2 4])ans = 1 26 9 22

加了sparse，索引第(1,2)和(3,4)這2個元素，直接用索引，則變成第(1,2)、(1,4)、(2,3)和(2,4)這4個元素。

Problem 43682. Pairwise column flip

嘗試了元素的索引，下面討論整列換位操作。

【鏈接】：https://ww2.mathworks.cn/matlabcentral/cody/problems/43682

【題目】：Given matrix M_in, flip every pair of columns. So if M_in is

[1 2 3 4; 1 2 3 4]

then M_out is

[2 1 4 3 2 1 4 3]

Note: if M_in has odd number of columns, the last column should remain unchanged. So if M_in is

[17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9]

then M_out is

[24 17 8 1 15 5 23 14 7 16 6 4 20 13 22 12 10 21 19 3 18 11 2 25 9]

【分析】：兩兩換列操作，但注意當列數為2n的形式，則兩兩互換的對位列恰好相等，但列數為2n+1的形式，要保留最後一列原位置不變。for循環的代碼如下：

function x = flip_columns(x) for k = 2:2:size(x,2) x(:,k-1:k) = x(:,[k k-1]); endend

輸入基礎上直接換列，返回輸出矩陣，奇偶不同的列數在使用for循環時其實不受影響，因為循環節的結束用步長值2做彈性控制，總列數為奇數時末尾天然不能到達。注意看循環體內那句代碼，意味著換列本質上是在互換列索引號。fliplr、flip命令也可達到同樣效果：

function x = flip_columns(x) for i=1:2:length(x)-1 x(:,i:i+1)=fliplr(x(:,i:i+1)); endend

前兩種循環體一採用偶數列索引，一採用奇數列索引-1，效果相同，再看遍歷全部列號的循環寫法：

function y = flip_columns(x) b = size(x,2); for k = 1:b y(:,k) = x(:,min(k-(-1)^k,b)); endend

循環遍歷的是全部列索引編號，把列號更換的判斷放進循環體，自行構造以-1的乘方為基礎的邏輯索引進行控制，這又是用min做對位比較，以k=1:5為例：

k=1，min(1-(-1)^1,5)=2，故：y(:,1)=x(:,2)；

k=2，min(2-(-1)^2,5)=1，故：y(:,2)=x(:,1)；

...

k=4，min(4-(-1)^4,5)=3，故：y(:,4)=x(:,3)；

k=5，min(5-(-1)^5,5)=5，故：y(:,5)=x(:,5)。

由此例：min函數對位比較，交換控制序列和列號最大值，其目的是防止最後的列編號數值溢出——精妙的構思！這段代碼出自Cody高手yurenchu的手筆，的確不同凡響！

再看看另一種完全不同的構思方式：

function ans = flip_columns(x)1:size(x,2);reshape([[ans(2:2:end) zeros(1,mod(ans(end),2))];ans(1:2:end)],1,[]);x(:,ans(ans>0));end

這棄用循環，將原列索引分奇偶排成兩行重構，如奇偶列數不同補0湊齊，索引引用時，用選擇大於0的邏輯索引重排。

下面又是yurenchu代碼，他的演算法水平令人欽佩，這是用線性代數中，矩陣乘法控制列編號交換的方法，我認為這種方法雖然都在線性代數中學過，但在具體問題中實現構造的意圖卻並不容易：

function ans = flip_columns(x) e = eye(size(x,2)); [x fliplr(x)]*kron(e, str2num([0 1; 1 0]))*vertcat(e,0*e);end

以x=magic(5)為例：第1行構造同維單位陣。

第2行是關鍵，裡面構造了3個矩陣的連乘形式，第1個是用輸入和輸入自身的翻轉陣，構造5×10維度擴維形式：

>> [x fliplr(x)]ans = 17 24 1 8 15 15 8 1 24 17 23 5 7 14 16 16 14 7 5 23 4 6 13 20 22 22 20 13 6 4 10 12 19 21 3 3 21 19 12 10 11 18 25 2 9 9 2 25 18 11

第2個是列交換索引號矩陣的擴維：

>> kron(e, str2num([0 1; 1 0]))ans = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

得到10×10列號更換序列，如果讓第1和第2兩個矩陣相乘，發現兩個列元素正好被兩兩互換，這是線性代數的基礎知識，不再贅述，可得到的結果是擴大的5×10矩陣：

>> [x fliplr(x)]*kron(e, str2num([0 1; 1 0]))ans = 24 17 8 1 15 15 1 8 17 24 5 23 14 7 16 16 7 14 23 5 6 4 20 13 22 22 13 20 4 6 12 10 21 19 3 3 19 21 10 12 18 11 2 25 9 9 25 2 11 18

還得再給它縮回原來的維度，做到這一步，可選擇的辦法比較多，容易想到的是x(1:end/2)，但yurenchu不愛走尋常路——既然選擇了矩陣乘法，索性一條路走到黑，再構造10×5矩陣降維！於是有了最後一個用於縮維構造的矩陣vertcat(e,0*e)。

>> vertcat(e,0*e)ans = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

同時注意同維0矩陣的寫法沒用zeros，而是0*e。

yurenchu好像並不滿意前述演算法，發現先擴維，再縮維雖然可行，但還能不能在做矩陣連乘時不擴維呢？他想到用blkdiag構造的方案：

function ans = flip_columns(x) b = size(x,2); x*blkdiag(kron(eye(floor(b/2)), str2num([0 1; 1 0])), ones(mod(b,2)))end

先說說blkdiag，這是MATLAB基本工具箱命令：

>> which blkdiagC:Program FilesMATLABR2018a oolboxmatlabelmatlkdiag.m

把小的矩陣塊，沿主對角線方向集成的命令，比如：

>> blkdiag(magic(4),randi(10,3),nan(2))ans = 16 2 3 13 0 0 0 0 0 5 11 10 8 0 0 0 0 0 9 7 6 12 0 0 0 0 0 4 14 15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 6 3 0 0 0 0 0 0 4 6 8 0 0 0 0 0 0 9 10 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 NaN NaN 0 0 0 0 0 0 0 NaN NaN

注意到，小矩陣塊維度可以不同。下面說說yurenchu代碼的意思：

第1行獲取輸入矩陣列總數；

第2行有講究，首先blkdiag內部的第1個小矩陣塊，也就是kron(...)，用於構造小矩陣塊[0 1;1 0]的主對角線擴維，顯然，子矩陣內部的子矩陣「[0 1;1 0]」用於互換某兩個同行元素，用法同前；blkdiag命令第2輸入參數又補了個ones(mod(b,2))，用於預防因輸入不同，可能出現、也可能不出現最後一列的意外情況，如果是偶數，例如b=8，則mod(b,2)=0,而0維的ones全1陣，其實是空矩陣，等於沒補，如果是奇數，這個位置出現單獨的元素1，相當於最後一列不發生變化。以magic(8)為例，blkdiag的執行結果是：

>> blkdiag(kron(eye(floor(b/2)), str2num([0 1; 1 0])), ones(mod(b,2)))ans = 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

剩下的就是兩個同維度矩陣相乘，不再贅述。

這個簡約而不簡單的代碼方案和後續的2個優化方案，使得yurenchu在我內心的歷史地位從高手正式跳升到大神，因為我對真正具有矩陣思維的人，讚譽從來不加掩飾。難得處在於：yurenchu脫離了學習線性代數的一般低級趣味，真正用矩陣思維思考和解決問題，「矩陣化」地思考數據和問題的處理。絕非拿來考試或者炫耀考試成績的一般吃瓜群眾。也許還覺得不過癮(大神通常都是這樣)，又提出了採用遞歸演算法換列的操作：

function ans = flip_columns(ans) if size(ans,2)>1 [ ans(:,str2num([2 1])), flip_columns(ans(:,3:end)) ]; endend

yurenchu也是整個Cody幾位大神中，遞歸玩兒得最溜，也最興高采烈的。遞歸流程核心思想逆序回溯比較好理解，不再對上述代碼詳細介紹了。

這個問題最開始提到for循環中，利用min(k-(-1)^k,b)來控制換列索引編號，那麼，能不能去掉外層for循環呢？答案是肯定的，這個思路由劉鵬首先提出，yurenchu在其基礎上又縮小了一個size，兩段代碼在基本思路相同的情況下，細微處的控制方法還略有差異，出於學習提高的出發點，不妨都提一下：

先看劉鵬的方案：

function ans = flip_columns(x) 1:size(x,2); x(:,min(ans-(-1).^mod(ans,2),max(ans)));end

這個思路和for循環的一樣，但點乘方運算讓換列操作矢量化了，索引位控制做得非常簡潔流暢。min裡面的第2個參數max(...)是最大列數，同樣用於預防第1參數結果大於最高列的總數。再看yurenchu的優化方案：

function ans = flip_columns(x) b = 1:size(x,2); x(:,min(b-(-1).^b,length(b)))end

說是優化略勉強，兩個方案最大區別就在點乘方上，前者是mod操作出來的邏輯索引[1 0 1 0 ...]；而yurenchu後面的方案中，發現其實不用做這種判斷，因為(-1)^0是1，(-1)^2還是1，所以直接用b做冪，結果是一樣的。

也許到這兒，你會以為已經是最優代碼方案，簡無可簡了。

呵呵...

還有一個重要的武器沒有拿出來，那就是正則表達式。

先是J.S.Kowontan的傳統做法：

function ans = flip_columns(x) x(:,str2num(regexprep(num2str(1:size(x,2)),d+s+d+,${flip($0)} )));end

代碼用正則替換regexprep命令，對矩陣列序號搜索和動態正則替換，後面兩個字元串， d+s+d+用於搜索符合：「一串數字帶空格再接段數字」的模式，加號的意思是數字+空格+數字的模式，每樣都必須搜索到。

>> num2str(1:size(magic(5),2))ans =1 2 3 4 5

用regexp，也就是正則搜索命令看看正則語法的搜索結果：

>> regexp(ans,d+s+d+,match)ans = 1×2 cell 數組 {1 2} {3 4}

對前面列號序列1:5，按前述：「數字-空格-數字」模式，共搜索到：1和2、3和4這2組結果，再由第2參數動態替換正則表達式：「${flip($0)} 」對當前搜索結果($0)，以fliplr命令翻轉，索引號更換是在字元串中一次得到解決，優勢在於根本不判定是否存在最後遺留的奇數列。

下面是問題中彬彬提出的壓軸代碼：

function ans = flip_columns(x)x(:,regexprep(char(1:length(x)),.{2},${flip($0)}))end

思路和前例相同，沿用正則替換，替換表達式也都一樣，用fliplr或者flip翻轉。但這個代碼好處在於，使用char函數，把序列轉換成ascii碼值：

>> regexprep(char(1:length(magic(5))),.{2},${flip($0)})ans =

輸出結果可能有點抽象，因為結果似乎就5個空格，錯了！這不是空格，空格ascii碼值是32，而這裡的這堆看似是空格的東西，其實是搜索到任意兩個ascii碼值就互換，也就是說，正則搜索表達式：.{2}包含兩部分，第1部分——那個不起眼的句點兒，代表在表達式中搜索到任意1個數字、大小寫字母、特殊字元...等等一切可以搜索到的字元都算滿足條件，而前面一篇提到了char可以天然無空格轉換1:5為char字元，所以連續匹配到兩個ascii碼值都是列號。最妙的是：列索引可以是ascii碼值！所以介紹了邏輯索引和絕對索引後，我們又看到了點名式絕對索引的另一種特殊表達形式：ascii碼值。

有人可能會說：「可這個列索引表述形式看起來就是一堆空格，我不認識啊」

呵呵...你不認識沒關係，MATLAB認識就行，如果不放心，我們讓這堆貌似空格的字元串，重新變成索引序列：

>> regexprep(char(1:length(magic(5))),.{2},${flip($0)})ans = >> +ansans = 2 1 4 3 5

如果這樣能讓你好受點兒的話...

小結

以上是索引系列文章的第1篇，其實已經短兵相接、智慧火花四射了，大體通過幾個例子的多解，應該能覺察出索引使用的基本脈絡，而且也能有所收穫。點名式絕對索引、邏輯索引、基本函數操作綜合控制索引序列的編排，然後等維度賦值。邏輯條件相當於此處的索引開關，通過設定特殊條件決定打開(引用)，還是不打開(不引用)該位置的元素，邏輯索引是0-1序列，類型是Bolean值，可以用logical命令和其他「與(|)」、「或(&)」、「非(~)」以及許多其他函數命令例如ismember等，把普通0-1陣換成邏輯索引；點名式的絕對索引則不講條件，直接構造獲得，且絕對索引不能有0，只能是正整數序列。