仿射代數群（一）

09-09

仿射代數群（一）

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最近讀了一些仿射代數群的內容，打算更一下。最終要證明每一個仿射代數群都是一般線性群的閉子群。內容來自GTM21第二章。

零.代數幾何預備

我們先列一下後面將用到的代數幾何知識，這方面可以參考Hartshorne的書（全留成習題了【滑稽】）。

1.可構造集與Chevalley定理

Def.設X為一個Noether空間。一個·可構造集是指集類 $mathscr{A}$ 中的一個元素，其中 $mathscr{A}$ 是包含所有開集且在有限交運算與補運算下封閉的最小集類。

容易證明可構造等價於可以分解成若干個局部閉子集的並。

Th（Chevalley）.設 $f:X ightarrow Y$ 為Noether概形間的有限型態射，則它把可構造集映至可構造集。

2.纖維的維度

回憶對一個域 $k$ （不要求代數閉），我們說 $X$ 為一個 $k$ 代數簇是指 $X$ 為一個 $k$ 上有限型分離概形。

我們現在考慮一個 $k$ 上有限型整概形之間的一個支配的態射 $f:X ightarrow Y$ 。

Th.存在一個開集 $Uin X$ 使得其上每個點的像的纖維的維度等於 $dimX-dimY$ 。

一.代數群

為了定理敘述方便，我們往下採用經典的代數簇語言（即我們只考慮閉點，相關內容參考Milne的講義，本質上與概形沒差）。以下基域設定為代數閉的，注意這不是一個可有可無的條件。

Def.所謂一個代數群，是指一個代數簇 $G$ ，同時兼具一個群結構 $*$ ，使得映射
$u :G imes_k G ightarrow G \ (x,y)mapsto x^{-1}y$

是一個態射。代數群之間的態射只同時是代數簇態射和群同態。

以下用 $mu$ 代表乘法態射， $iota$ 代表取逆態射。回憶我們在研究李群時可以取出單位元的連通分支成為一個新的群，在代數群里我們有類似的操作。

Prop.有且僅有一個不可約分支包含單位元。
Pf.設 $A,B$ 為兩個包含單位元的連通分支，考慮 $mu |_{A imes B}:A imes B ightarrow G$ 。則其像不可約，因此包含與某不可約分支 $C$ 中，但 $A,B$ 包含單位元，於是 $Acup B in C$ ，而它們都是不可約分支，因此均相等。

我們把這個分支成為單位元分支，記為 $G^。$ 。有了這個命題，再利用群運算的正則性不難看出下面命題。

Prop.
(1). $G^。$ 是一個正規子群，其陪集恰好就是所有的不可約分支，因此有有限個。

(2).每一個有限指數閉子群都包含 $G^。$ 。
Pf.(2)只需注意到有限指數閉子群也是開子群，進而包含 $G^。$ 一個稠子集。

我們將單位元分支等於自身的代數群稱為連通代數群。

二.態射的基本性質

我們將要證明下面重要的定理：

Th.設 $phi : G ightarrow G$ 為代數群的態射則有：
(1). $kerphi$ 是 $G$ 的閉子群
(2). $imphi$ 是 $G$ 的閉子群
(3). $phi( G^。)=phi (G)^。$
(4). $dimG = dim kerphi + dim imphi$

為此我們先要證明一些引理：

Lem.設 $G$ 為一個連通代數群， $U,V$ 為兩個開集，則 $UV=G$
Pf.對任意 $xin G$ ，由不可約性知 $xV^{-1} cap U eq phi$ 。

由此可以推出

Lem.若 $Hsubset G 為子群，ar{H}$ 為其閉包，則它也是子群且若 $H$ 可構造則二者相同。
Pf.第一條是拓撲群的性質，對第二條，此時 $H$ 必包含一個 $ar{H} ^。$ 的一個開子集 $U$ 。
由上一引理知 $ar{H}^。subset UUsubset H$ 。因此 $H$ 是一些不可約分支的並，進而是閉的。

下面來證明定理：

(a)是平凡的。(b)是上一引理及Chevalley定理的推論。
(c).一方面左側是一個不可約閉子群（這用到(2)），故含於右側。另一方面左側是一個有限指數閉子群，故包含右側（前面結論）。
(d).不妨設兩個群均不可約。因此存在一個點 $xin G$ ，其纖維維度等於 $dim G - dim imphi$
但作為代數群各點纖維維數是一樣的（用乘法轉移點），因此等於單位元的纖維維度，即
$dim kerphi$ 。