Functional Analysis Week 2

09-08

來自專欄從分析到概率到幾何1 人贊了文章

第二周第一節課開始進入Hilbert空間了，第一個講的當然是Riesz表示定理了，不同於一般的強行構造正交基的方法，這次用了構造凸空間的一種方式，技巧性還是挺強的。

為此我們先證明一個凸空間的引理：令 $H$ 為一個Hilbert空間， $K$ 是一個非空的閉凸子集，那麼存在唯一的 $x_0$ 使得對任意的 $xin K$ 都有 $|x_0|le |x|$ 。

引理的證明非常直接，令 $delta = inf_{x in K}|x|$ ，那麼按照定義我們能夠找到一組 ${x_n}_{n=1}^infty$ 使得 $|x_n| odelta$ ，由於 $K$ 是一個閉子集，接下來要做的就是證明這個序列是Cauchy的了。這裡就必須用到凸性，對於給定的 $epsilon$ ，可以找到 $N$ 使得 $n>N$ 時有 $|x_n|^2le delta^2+epsilon^2/4$ 。令 $n,m>N$ 根據凸性 $frac{x_m+x_n}{2}in K$ ，則有 $|frac{x_m+x_n}{2}|^2ge delta^2$ ，即 $|x_m+x_n|^2ge 4delta^2$ 。進而 $|x_n-x_m|^2=2|x_n|^2+2|x_m|^2-|x_m+x_n|^2le2|x_n|^2+2|x_m|^2-4delta^2leepsilon^2$ ，故是Cauchy的。

（其實不能不說我一直都很驚奇凸性能給空間帶來這麼深刻的改變）

重要定理：Riesz Representation Theorem

令 $H$ 為一個Hilbert空間，對於任意的 $phiin H^*$ ，都存在 $vin H$ 使得 $phi(w)=<w,v>$ ，進一步有 $|phi|=|v|$ .

證明：令 $K={win H|phi(w)=1}$ ，根據線性性 $K$ 是凸的，根據連續性它是閉的，因此滿足前面引理的條件，存在一個 $vin K$ 使得對任意 $uin K$ 都有 $|v|le|u|$ 。令 $win Ker(phi)$ ，則 $phi(v+tw)=1$ 對任意 $tin mathbb{C}$ 都成立，那麼 $|v+tw|^2ge |v|^2$ ，故有 $|v|^2+2Re<tw,v>+|t|^2|w|^2ge|v|^2$ ，即可以得到 $2Re<tw,v>+|t|^2|w|^2ge0$ ,令 $t=frac{-2Re<v,w>}{|w|^2}$ ，那麼有 $-(Re<v,w>)^2$ ，於是 $Re<v,w>=0$ ，而由於 $Ker(phi)$ 是個線性子空間，可知對於任意 $win K$ ，對任意的 $heta$ 都有 $we^{i heta}in Ker(phi)$ ，代入上面的結果可以得知 $<v,w>=0$ 對任意 $win Ker(phi)$ 都成立。考慮 $x-phi(x)v$ ，那麼 $x-phi(x)vin Ker(phi)$ ，從而 $<x-phi(x)v,v>=0$ ，即有 $<x,v>=phi(x)|v|^2$ ，從而 $v/|v|^2$ 就是我們要找的向量。

（這裡齊性放的位置跟大多數物理學家反過來搞得我好不適應...）

有一個大家非常熟悉的推論（但是其實應該算是前面那個引理的推論）：任何Hilbert空間 $H$ 的閉子空間 $V$ 都能找到一個正交補 $V^perp$ 使得 $H=Voplus V^perp$

明顯 . 對任意 $Vcap V^perp$ ，令 $K={x+w|win V}$ ，明顯這是個閉凸子集，於是根據前面引理有 $w$ 使得 $|w+x|$ 最小，於是有 $x+wperp V$ （和證明Riesz表示定理的過程一樣），故 $x=x+w-win V^perp oplus V$ .

後半節課主要講了Banach代數的內容了，在引出定義之前先提了一個引理（prof一直強調You should have learnt this in Baby Rudin course然而還是都重新提了hhh）： $X$ 是一個Banach空間， ${x_n}_{n=1}^infty$ 是其中一個序列，令 $xi_n=sum_{k=1}^{n}x_k$ ，那麼 ${xi_n}_{n=1}^infty$ 收斂當且僅當 $sum_{k=1}^{infty}|x_k|<infty$ .

定義：Banach代數是一個Banach空間 $A$ 配備一個雙線性映射 $A imes A o A$ ，記為 $(a,b) o ab$ 滿足結合律 $(ab)c=a(bc)$ 以及 $|ab|le|a||b|$ 。稱它為交換的如果對任意 $a,bin A$ 都有 $ab=ba$ ，稱為unital（怎麼翻譯這玩意...單位的？幺的？酉的？）如果存在 $1_Ain A$ 使得對於任意的 $bin A$ 都有 $1_Ab=b1_A=b$ ，如果它是unital的那麼如果對於 $ain A$ ，存在 $bin A$ 使得 $ab=ba=1_A$ 成立，就稱 $a$ 是可逆的，並且記 $b=a^{-1}$ 為 $a$ 的逆元， $A$ 的單位組成的群稱為 $A$ 的單位群。

這些概念在各個數學課程裡面都或多或少見過了（那我為什麼還費這麼大力氣寫下來？？？）

具體的Banach代數的例子就不舉了，放一個大概沒人有不會證的結論：令 $ain A$ ， $|a|< ho$ ，令 $sum_{n=1}^infty c_nx^n$ 是 $mathbb{R}$ 上收斂半徑為 $r$ 的冪級數，那麼 $sum_{n=1}^{infty}c_na^n$ 在 $A$ 中收斂。

這節課的最後一個定理，大概也是很多人都比較熟悉的，可能很多人在高等代數里就已經證明過了類似的結論（不過比較奇怪的是我第一次見到這個竟然是在數值分析講矩陣數值演算法啊算矩陣範數什麼的時候hhh）：

令 $A$ 是一個unital的Banach代數，那麼

(i) $forall ain A$ , $lim_{nininfty}|a^n|^{1/n}=r_ale|a|$ ，稱 $r_a$ 為其譜半徑

(ii) 如果 $r_a<1$ ，那麼 $1-a$ 可逆，其逆為 $(1-a)^{-1}=sum_{k=0}^infty a^k$

(iii) 如果 $a$ 可逆，那麼存在一個它的鄰域使得 $a o a^{-1}$ 是其上一個連續映射

證明：(i) 就用一般定義inf的套路來證明就行咯，當然會用到所有大學新生都耳熟能詳的極限 $lim_{n oinfty}M^{1/n}=1$ ，但是總體沒什麼特別的

(ii) 這個幾何級數的玩法實在是太熟悉了，不說了

(iii) 令 $b=a+b-a=a(1+a^{-1}(b-a))$ ，設 $|b-a|le frac{1}{2|a|}$ ，那麼 $|a^{-1}(b-a)|le1/2$ ，用(ii)的結論得知 $1-a^{-1}(b-a)$ 可逆，因此 $b^{-1}=(1-a^{-1}(b-a))^{-1}a^{-1}$ ，從而 $|b^{-1}-a^{-1}|=|(1-a^{-1}(b-a))^{-1}a^{-1}-a^{-1}|=|a^{-1}((1-a^{-1}(b-a))^{-1}-1)|le|a^{-1}||frac{a^{-1}(b-a)}{1-a^{-1}(b-a)}|le|a^{-1}||(1-a^{-1}(b-a))^{-1}||a^{-1}||b-a|$ ，於是這個一氣呵成的式子就說明了存在一個鄰域的求逆運算是個連續的，注意上面的過程也說明可逆元的集合是個開集。

第二周第二次課只複習了一個比較熟悉的Baire Category Theorem而且教授表示第一次見到這個定理還以為和範疇有什麼關係（和我一樣）

首先是耳熟能詳的定義：

令 $(X,d)$ 為一個度量空間，則

(i) 一個子集 $A$ 被稱為無處稠密的如果 $(overline{A})^circ=emptyset$

(ii) 一個子集 $A$ 被稱為meager（似乎翻譯成貧集？）如果它是可數個無處稠密集合的並

(iii) 貧集的補稱為residual（殘集？？這都是啥翻譯啊我下面還是用英文吧）

引理：令 $(X,d)$ 為一個度量空間，則

(i) $X$ 的子集 $A$ 無處稠密當且僅當存在一個稠密的開集 $O$ 使得 $Osubset A^c$

(ii) 如果 $Bsubset X$ 是meager的， $A$ 是 $B$ 的子集，那麼 $A$ 是meager的

(iii) 如果 $Asubset Bsubset X$ 而 $A$ 是non-meager的，那麼 $B$ 也是non-meager的

(iv) 可數個meager集的並還是meager的

(v) 可數個residual集的交還是residual的

(vi) $Asubset X$ 是residual的當且僅當它包含一可列個稠密開子集的交

具體的證明就不寫了，無聊的時候(i)可以當個點集拓撲的入門習題練練手，(ii)~(vi)純粹是折騰一下De Morgan律和可列個可列

引理：令 $(X,d)$ 為一個度量空間，則下列說法等價

(i) 每個residual的子集都是稠密的

(ii) 每個非空開子集都是non-meager的

(iii) 如果 ${A_n}_{n=1}^infty$ 是一列內點集為空的閉集，那麼 $igcup_{n=1}^infty A_n$ 內點集為空集

(iv) 如果 ${A_n}_{n=1}^infty$ 是稠密開集，那麼 $igcap_{n=1}^infty A_n$ 稠密

互推很容易了，按順序走下來一個圈基本都是按定義幾句話就證完了所以也不寫了。

(ii) 剛開始讓我糾結了一段時間因為我老感覺非空的開子集一定包含一個開球怎麼會是meager的，但是實際上想一下無理數 $mathbb{Q}$ 組成的度量空間馬上反例就出來了，畢竟誰說開球不能由可數個點組成的呢？但是這個反例也給了我們一些啟發，因為 $mathbb{Q}$ 不是 $mathbb{R}$ 裡面完備的，實際上如果我們加上完備性，上面的四個結論都必然成立，這就是這次課最重要的定理了：

（貝爾綱定理）令 $(X,d)$ 為一個非空完備的度量空間，則

上面引理中的每一條都成立且(v)每一個residual的子集都是non-meager的

證明：由於上面引理成立所以只需要證明(i)~(iv)任意一個以及(v)

從(iv)入手是比較方便的，而且prof. Stern也說了很多書上確實就把(iv)當做Baire Catrgory Theorem陳述的...（比如我最愛的Royden），這個證明的思路非常清晰我就不細說了。

那麼(i)~(iv)都成立接下來我們選一個導出(v)就行了，我們用(ii)，設 $A$ 是一個residual的子集，按照定義 $A^c$ 是meager的，如果 $A$ 也是meager的那麼 $Acup A^c=X$ 也是meager的， $X$ 本身一定是個非空開集，與(ii)矛盾。

有了這個定理就可以證明很多很有用的結論，思路大多都是構造一列集合然後想辦法套用Baire Catrgory Theorem，比如下面的Uniform Boundedness Principle.

(Uniform Boundedness Principle) 令 $X$ 為一個Banach空間， $I$ 為一個指標集。令 $A_{alpha}:X o Y_alpha (alphain I)$ 為一族 $L(X,Y_alpha)$ 中的線性運算元，如果 ${A_alpha}_{alphain I}$ 是點態有界的，那麼 $sup_{alphain I}|A_alpha|_{Y_alpha}<infty$