[Chern1999]陳省身微分幾何講義(1)：餘切空間

09-07

來自專欄數學私塾課6 人贊了文章

[Chern1999] Chern, S.-S., Chen, W. H., and Lam, K. S. (1999). Lectures on Differential Geometry. World Scientific.

北京大學出版社有中文版。

切向量小學生都懂，切線唄。再準確一點，沿著切線方向的向量。再準確一點，以切點為原點的切面空間上的向量。總之是很好理解的。然而，餘切向量是什麼？cotangent表示是去掉tangent後余下的向量。再準確一點，切空間的對偶空間中的向量。一般的教科書也是這樣講的。因為切空間和切向量太容易理解了。

然而陳省身老先生不這樣看。作者的邏輯順序是函數芽、參數曲線、複合導數、商空間、餘切空間，之後才講切空間，這樣的安排粗看相當之不直觀。其它微分幾何的教材，幾乎都是從直觀的切向量、切空間入手，並由切空間的對偶空間得到餘切空間。然而，作者在本書中的安排獨具匠心，很順利地一層一層解決了幾個有深度的問題，掌握以後反而對切空間/餘切空間理解更深。

實數上的函數芽：局部化

我們把微分流形放一邊，仿照作者的思路，先看最簡單的，定義在實數上的光滑函數集合。用類似的符號，固定點 $pinmathbb{R}$ ，其鄰域上的光滑函數類記為 $C_p^infty$ 。

我們只關心點 $p$ 局部的性質。若有兩函數 $f,gin C_p^infty$ ，它們不必處處相等，但若存在 $p$ 的開鄰域 $H$ 使得 $fvert_H=gvert_H$ ，或可動態理解為，當無限接近 $p$ 時，會進入開鄰域 $H$ ，使得兩函數在其中處處相等，則兩函數等價。這樣得到的等價類稱為函數芽，記為

$[f]=[g]inmathscr{F}_p$

通過這樣的等價關係，我們的注意力只在函數在無限接近 $p$ 時的性質，是一種局部化的處理。於是，在談論一點附近的函數性質時，我們用函數芽 $[f]$ 代替函數 $f$ 。函數芽的集合 $mathscr{F}_p$ 上可以定義加法和數乘運算，構造線性空間的結構。這裡的加法和數乘相當於 $C_p^infty$ 上相同運算後的等價化（局部化）。

定義在 $p$ 的鄰域上的光滑函數 $f=C_p^infty$ 可以求導，限制在局部的函數芽 $[f]inmathscr{F}_p$ 同樣可以求導，顯然在 $p$ 處：

$[f]^prime = f^prime$

以同導數關係構建函數芽的等價類

若有兩個函數芽 $[f],[g]inmathscr{F}_p$ 具有相同的導數：

$[f]^prime = [g]^prime$

我們將其視為具有等價關係 $[f]sim[g]$ 。進一步，考慮一下代數結構，注意：

$[f-g]^prime = [f]^prime - [g]^prime = 0$

即兩個函數芽相差一個常數。這樣提示我們，以下集合：

$mathscr{H}_p = { [h]inmathscr{F}_p vert [h]^prime = 0 }$

構成一個線性子空間，從而可以構造商空間：

$mathscr{F}_p/mathscr{H}_p$

這個空間將來就會推廣為餘切空間。這個空間中的元素記為：

$df= ilde{[f]}$

它是函數芽的 $mathscr{H}_p$ -等價類，或稱為函數芽類，它將來會推廣為餘切向量。

基和線性組合

將坐標 $x$ 視為函數 $x(x)=x$ ，即將變數映射為自身：

$mathbb{R} o mathbb{R}$

$x mapsto x$

那麼 $dx= ilde{[x]}$ 代表一組局部相差為常數的函數芽類，滿足：

$[x]^prime =frac{dx}{dx} = 1$

現在考慮任意函數 $f=C_p^infty$ ，在 $p$ 附近：

$frac{df}{dx} = f^prime = [f]^prime$

故

$df = [f]^prime dx$

$ilde{[f]} = [f]^prime ilde{[x]}$

這個式子可以理解為，函數芽類 $df= ilde{[f]}$ 是由基向量 $dx= ilde{[x]}$ 按照係數（導數） $[f]^prime$ 線性組合而來。這就是為何要把函數芽類用微分符號表示的意義。

幾何直觀

前面大量使用線性代數的語言，意味著在點 $p$ 附近的線性化，使一般函數的討論也可以專註於線性函數（餘切矢量的本質意義）。現在看來， $df= ilde{[f]}$ 代表了一類 $mathscr{H}_p$ -等價的函數芽類，相互之間相差常數（差的導數為零）。我們探究一下它的幾何意義。代表了一組點 $p$ 局部的標量場，它們是平行的。由於限制在點的局部（線性化），可以視作 $(n+1)$ 維線性空間上的一組平行的 $n$ 維超平面。

於是， $df= ilde{[f]}$ 代表了所有這些相互平行的 $n$ 維超平面，顯然我們注意到它們擁有相同的單位法線或者單位法向量，這個單位向量的方向就是代表的所有函數芽共同的變化方向，所以我們更常用函數的微分符號 $df= ilde{[f]}$ 來代表 $mathscr{H}_p$ -等價的函數芽類。

以上所得到的大部分結論，在更一般的微分流形上也得以體現和推廣。以下我們回到作者的思路上，在光滑流形上重複前面的步驟：

光滑流形上的函數芽

有 $m$ 維光滑流形 $M$ ，固定點 $pin M$ ，其鄰域上的光滑函數類記為 $C_p^infty$ 。若有兩函數 $f,gin C_p^infty$ ，它們不必處處相等，但若存在 $p$ 的開鄰域 $H$ 使得 $fvert_H=gvert_H$ ，或可動態理解為，當無限接近 $p$ 時，會進入開鄰域 $H$ ，使得兩函數在其中處處相等，則兩函數等價。這樣得到的等價類稱為函數芽，記為

$[f]=[g]inmathscr{F}_p$

一開始我們討論了 $mathbb{R}$ 上定義的光滑函數在 $p$ 點附近求導，得到函數芽的導數。現在我們推廣到多維的光滑流形，求導就沒有這樣容易。因此，接下來我們要引入新的方法研究導數的性質。

利用參數曲線構造複合映射

流形是多維的，要研究點 $p$ 附近的性質，需要從所有可能的方向去穿過這一點。嵌入在流形上且穿過這一點的曲線，是方便的研究工具。在曲線上的運動也是在流形上的運動，穿過點的不同速度（對參數的導數），也體現了切向量的各種可能性。於是，作者利用參數曲線來研究：

$gamma:(-delta,delta) o M$

$t mapsto gamma(t)$

$gamma(0)=p$

這一光滑映射是從實數的子集映射到流形的子集，這類映射的集合記為 $Gamma_p$ 。注意前面一直在討論流形上的函數和函數芽。而函數本身又是流形到實數的映射，於是整體上作者安排了如下的複合映射：

$f circ gamma:(-delta,delta) o M o mathbb{R}$

$t mapsto gamma(t) mapsto f(gamma(t))$

參數曲線的參數空間 $(-delta,delta) in mathbb{R}$ 光滑地映射到了實數 $mathbb{R}$ ，於是可以定義二者之間的複合導數。既然函數芽限制於 $p$ 的局部，我們只考慮這一點上的導數：

$frac{d}{dt} (fcircgamma) Bigvert_{t=0}$

它是由參數曲線 $gammainGamma_p$ 和光滑函數 $fin C_p^infty$ 決定的。由於限定在 $p$ 的局部，可以將函數用函數芽替換，記為：

$ll gamma,[f] gg =frac{d}{dt} ([f]circgamma) Bigvert_{t=0} =frac{d}{dt} (fcircgamma) Bigvert_{t=0}$

這是一個二元映射：

$ll , gg：Gamma_p imes C_p^infty o mathbb{R}$

註：曲線和函數類作為兩個變元得到一個形式為複合導數的實數，這是作者代數化的思維方式。這裡的曲線代表的是切向量，而函數類代表者餘切向量。

作為商空間的餘切空間

作者特別討論了退化情形：

$mathscr{H}_p = { [h]inmathscr{F}_p vert forall gamma in Gamma_p,ll gamma,[h] gg = 0 }$

即無論如何選擇參數曲線，複合導數都是零的函數類的集合。集合 $mathscr{H}_p$ 的實際上是前面我們定義過的集合 $mathscr{H}_p = { [h]inmathscr{F}_p vert [h]^prime = 0 }$ 的推廣。我們只需要局部地理解在 $p$ 點附近，無論參數曲線以何種方式通過 $p$ 點，光滑函數類都是常數。

回顧前面函數芽 $C_p^infty$ 上可以定義加法和數乘運算，構造線性空間的結構，其加法和數乘相當於上相同運算後的等價化（局部化）。由於導數的性質，這些運算可以放到 $ll , gg$ 中，我們發現對第二個變元是線性的。於是作者證明了集合 $mathscr{H}_p$ 是 $mathscr{F}_p$ 的線性子空間，然後指出以下的商空間：

$T_p^*M = mathscr{F}_p/mathscr{H}_p$

就是 $p$ 點上的餘切空間。