可壓縮流體中的線性聲學理論——控制方程

09-06

可壓縮流體中的線性聲學理論——控制方程

來自專欄流體探秘31 人贊了文章

在可壓縮流體中，與不可壓縮流體最大的區別之一就是會產生聲波（這也是為什麼壓縮流的邊界條件比不可壓縮流的邊界條件要複雜得多）。聲波的產生一般被認為來自於壓強（或密度）的浮動量（fluctuation ；有的也叫perturbation ）。一般而言，人類所能分辨的聲音頻率在20-20000Hz 左右；因為20000Hz 的頻率空間尺度還到不了湍流粘性耗散的尺度（根據 $c=flambda$ ，頻率越高，聲波波長越短，尺度越小）。在實際研究或者計算中，一般忽略高於人類所能分辨的頻率範圍；也就是說可以忽略NS方程中的粘性項，從而可得出雜訊控制方程可由無粘歐拉方程線性化後導出，因此稱為線性聲學（Linear Acoustic Theory ）。從質量方程可以得出，聲場是無旋的（potential flow ）。

從無粘可壓縮歐拉方程開始，假設理想氣體；因為假設無粘，所以可以假設等熵，同時假設絕熱過程：

$egin{equation} frac{partial ho}{partial t}+ ablacdot( ho u)=0\ frac{partial}{partial t}( ho u)+ ablacdot( ho uu)+ abla p=0\ frac{partial}{partial t}( ho E)+ ablacdot[( ho E+p)u]=0\ p=p( ho,s) end{equation}$

類似於雷諾分解（Reynolds Decomposition ），聲場也可以分解為基準部分和擾動部分：

$u=u_0+u\ p=p_0+p\ ho= ho_0+ ho$

需要注意的是這裡的分解和湍流中的分解不太一樣。下標為零的值不一定是均值，一般是取某個特定的參考值（通過伽利略變換使得使得聲場相對流場靜止）。

將該分解代入質量、動量方程並進行線性化（linearization ）：忽略極小量（例如 $uu$ ）、定常項，可得出：

$frac{partial ho}{partial t}+ ho_0 ablacdot u=0\ ho_0frac{partial u}{partial t}+ abla p=0$

同時，對壓強-密度方程按泰勒級數展開，忽略高階項，可得

$p=frac{partial p}{partial ho}Big|_{S_0}cdot ho$

同時，按定義有聲速 $c$ 為

$c^2=frac{partial p}{partial ho}Big|_{S_0}$

因此可得 $p=c^2 ho$ 。對以上兩式中第一式取時間導數、對第二式取散度（ $ablacdot$ ），相減後使用剛剛求得的壓強-密度關係可化簡為（以壓強表示；當然也可以以密度表示）：

$abla^2p=frac{1}{c^2}frac{partial^2p}{partial t^2}$

顯而易見，這是一個標準的雙曲波動方程。

最後，對能量方程進行推導。列出動能方程：

$frac{partial}{partial t}KE+ ablacdot(KEcdot u)+ ablacdot(pu) -p ablacdot u=0$

最後兩項可以理解為對應力項的分解。動能中起作用的是壓強，因此應力項考慮的只有壓強（當然也因為無粘的假設）： $ablacdot(pu)=underbrace{p ablacdot u}_{ ext{力乘以變形量，增加內能}}+underbrace{u abla p}_{ ext{速度乘以力的不平衡量，增加動能}}$

從最上面的總能方程中減去該動能方程並重複上述的線性化過程可得：

$frac{partial p}{partial t}+gamma p_0 ablacdot u=0$

至此，可壓縮流中線性聲學的控制方程由無粘可壓歐拉方程線性化後完全導出。因此，在實際研究和計算中，直接求解以下兩個方程：

$abla^2p=frac{1}{c^2}frac{partial^2p}{partial t^2}\ frac{partial p}{partial t}+gamma p_0 ablacdot u=0$

由以上兩個方程可以看出，聲場完全是由雙曲方程式控制制，展現強烈的波動性。對雙曲部分進行特徵分解（characteristic decomposition ），經過傅里葉分析後可得出壓縮流中會產生好幾種波：熵波（entropy wave ），渦量波（vorticity wave ），聲波（acoustic wave ）等等，進而可以延伸到求解可壓縮流時的NS-特徵無反射邊界條件（NSCBC_non-reflecting ）。當然這又是一大塊艱深複雜的內容，與本文無關，故不贅述。有機會的話再專門寫一篇關於此的文章。

雜談：

由於噪音是由經典的雙曲波動方程式控制制，在給定的特殊初始條件下，我們可以迫使在一維環境下聲波只往一個方向傳輸；
可以由method of characteristic 求解出平面波傳輸的解析解；
分貝（dB）可以由sound pressure spectral level （SPSL）定義（當然還有其他量來定義分貝）： $SPSL=10lgfrac{PSD Delta f_{ref}}{p^2_{ref}}$ ，其中PSD是壓強的譜密度（pressure spectral density ）， $Delta f_{ref}$ 是可以設定的參考頻率， $p_{ref}$ 是可以設定的參考壓強。