八分鐘看完《高等數學》|自己裝的逼，含淚也要寫完...

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今天我給大家講一個故事：從前有座山，叫高山，山上有棵樹，叫高樹，樹上掛了很多人，叫......高人？

上過大學的孩子們都知道，《高等數學》絕對稱得上是一門讓人又愛又恨的課程。愛的是它的高學分，績點權重大，隨便考個七八十分都能頂過思修馬哲近代史科科90+。恨的是它的高難度，公式定理一大堆，牛頓、萊布尼茨、拉格朗日、泰勒、高斯......前人種樹太多，後人也就太容易掛。

但是，高數當真有那麼難嗎？如果我說並沒有，那麼這個逼可就裝大了，駕馭不了。作為一名資深學渣，我的高數成績非常爛，以至於考研的時候也給拖了大大的後腿，所以我的回答是......

不過，高數真正難的地方主要在於解題思路，至於其基本概念、定理、公式則沒有想像中的那麼難理解。因此，今天這篇文章我們就來扯扯那些不那麼難的概念、定理和公式。

1. 極限

戰國時期哲學家莊周所著的《莊子·天下篇》中有這樣一句話：

一尺之棰，日取其半，萬世不竭。

一根一尺長的木棒，每天截去一半，永遠都截不完。每天截後剩下的部分長度分別為：第一天剩1/2尺，第二天剩1/22尺，第三天剩1/23尺，......，第n天剩1/2?尺，......

顯然，在這個例子中，我們能發現，當n趨於無窮大時，1/2?將趨於0，這就是我們所說的極限。

其嚴謹的數學定義如下：

是不是看得一臉懵逼？沒關係，我們舉個例子來輔助理解，請看下圖：

答案是什麼呢？饅頭！是的，有餡是包子，哪怕只有一丁點餡也是包子，而當餡趨於0時，包子就趨於饅頭了。

然而並不是所有的極限都存在，比如讓包子的餡趨於無窮，極限就不存在，結果只能是一個無窮大的包子。

說完了數列極限，我們再來談一談函數的極限。由於兩者定義差不多，只是把Xn換成了f(x)，因此我就不再放定義了。這裡要說明的是，數列極限是函數極限的一種特殊形式，即自變數n為正整數的情形。

另外，函數還存在左右極限，左極限即自變數X從負無窮處趨於X0，右極限反之。這也是數列極限沒有的性質。

講到這裡極限就介紹得差不多了，最後再來舉個例子加深你的理解，果然高手都在民間，哈哈哈......

2. 微分

高等數學有一個俗稱，叫微積分，所以微分和積分是高數最重要的兩部分內容，同時也是最難的內容，下面我們就來重點進行介紹。

不過在講解微分之前，我們要先來了解一個概念，它叫導數。

2.1 導數

事實上導數的概念我們在高中就已經接觸過了，一言不合就求導是家常便飯。為什麼導數這麼好用？因為它就像《三體》裡面的降維攻擊，三次函數可以通過求導化為二次函數，再求導化為一次函數，而一次函數是我們初中就會的東西了。

所以，老師經常這麼教我們，高考最後一道大題，甭管你會不會做，先把題目給的函數拿來求導，這一步就有2分！別小看了這2分，它有可能決定你最終是上清華還是上藍翔。

當然，高中講的導數和大學裡的導數還是不太一樣的，主要區別在於大學裡的定義更加嚴謹，利用到了極限的知識。不過這裡我不打算把導數的定義搬出來講，因為本身意義也不大，我們只要明白導數的幾何意義是函數曲線在某點處切線的斜率就足夠了。

2.2 微分

介紹完導數我們來講講什麼是微分，這裡就有必要放上定義了，請看下圖：

簡單來說，微分就是以直代曲，函數圖像曲線可以近似看成由無窮小段的直線拼接而成，這樣一來函數在x0處的改變數△y就可以近似用直線方程來求解，即上述定義中的△y=A△x，亦即該函數的微分。

那麼，這個常數A是啥呢？經過前面的鋪墊我想你已經猜到了，它就是函數在x0處的導數，即函數在該點切線的斜率。

對於一元函數而言，函數可導性與可微性是兩個等價的概念。求出函數的導數之後，只要再乘以dx，就能得到相應的微分dy，即dy=f(x0)dx。等式兩邊除以dx可得dy/dx=f(x0)，即函數的導數等於函數的微分與自變數的微分之商，因此，導數又被稱為微商。

等等，好像有哪裡不對......

看到這裡，我想導數的心情應該是這樣的：

2.3 微分學基本定理

在微分學中有一些重要的基本定理，這些定理把函數的導數與函數值在區間上的變化聯繫了起來。比如費馬定理：

費馬定理很好理解，若函數在x0處可導且取極值（極大值或極小值），那麼函數在此點處的切線必然是水平的，具體如下圖所示：

而根據費馬定理則能推導出羅爾定理：

如果函數 f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區間 [a,b] 上連續，（2）在開區間 (a,b) 內可導，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個 ξ∈(a,b)，使得 f(ξ)=0。

羅爾定理的幾何意義可以用下圖表示：

如果函數在a、b兩點處的函數值相等，且滿足連續及可導的條件，那麼在a、b之間至少存在一點使得該點處的切線水平。

根據羅爾定理，我們又能推導出大名鼎鼎的拉格朗日中值定理。為什麼說它大名鼎鼎呢？因為在大學考試周時經常流傳著這樣一個故事：

自習室里，一名學生正為微積分證明抓頭流汗，此時，掃地大媽從身邊走過，小聲地說，「同學，這道題用拉格朗日中值定理試試」，該同學豁然開朗，抬頭一看，大媽早已深藏功與名。

那麼，這個定理說的是啥？請看下面的表述：

當然，這樣的描述還是很抽象，我們依舊需要藉助函數圖像來輔助理解。

如果你稍微思考一下就會發現，拉格朗日中值定理其實就是羅爾定理的更一般情況，把羅爾定理的函數圖像傾斜一下不就得到了拉格朗日中值定理了？或者說羅爾定理就是當A=B時的拉格朗日中值定理，兩者其實是相通的。

除了上述幾個定理之外，還有柯西中值定理、泰勒中值定理等等，這些定理本質上其實都差不多，掌握一個其他的也就都能理解了，因此這裡我就不再過多介紹。

3. 積分

講完微分再來將積分就好理解多了，如果說微分是降維攻擊，那麼積分就是升維防禦，是微分的逆過程。一個點經過積分就成了一條線，一條線積分就變成一個面，一個面再積分就是一個體，總之，越來越牛逼。

不過積分還分為兩種，一種是用來求面積的，叫定積分，還有一種是用來求原函數的，叫不定積分。因此定積分是一個數，不定積分是函數的全體原函數。

我們來看一下百度百科的解釋：

定積分是積分的一種，是函數f(x)在區間[a,b]上的積分和的極限。這裡應注意定積分與不定積分之間的關係：若定積分存在，則它是一個具體的數值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個函數表達式，它們僅僅在數學上有一個計算關係（牛頓-萊布尼茨公式），其它一點關係都沒有！

所以定積分和不定積分只是名字有點像而已，兩者根本就不搭嘎，只不過在求解定積分時可以用被稱為微積分基本定理的牛頓-萊布尼茨公式來計算而已。

那麼，很自然的，我們就得來了解一下這個傳說中牛逼叉叉的公式了。不過在此之前，我們還得先了解一下什麼是原函數。

3.1 原函數

已知函數f(x)是一個定義在某區間的函數，如果存在可導函數F(x)，使得在該區間內的任一點都有若F(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，則在該區間內就稱函數F(x)為函數f(x)的原函數，f(x)稱為F(x)的導函數。

比如對F(x)=sinx求導得到f(x)=cosx，那麼sinx就是cosx的原函數。此外，由於常數的導數等於零，因此在原函數的基礎上加上任意常數構成的函數，對其求導後也還是會得到同樣的導函數，所以就會出現一個導函數對應無數個原函數的情況。

如果用爸爸與兒子的關係來理解原函數與導函數，那麼可以說一個爸爸只能生出一個兒子，而一個兒子則有無窮多個爸爸。

很奇怪是不是？事實上爸爸還是那個爸爸，只不過穿上了價格不一樣的衣服，常數C就是爸爸的衣服，剝掉它爸爸還是同一個。

3.2 牛頓-萊布尼茨公式

這一公式左邊是f(x)在區間[a,b]上的定積分，右邊是其原函數在a、b兩點處函數值之差，原本毫無關係的定積分和不定積分就這樣聯繫起來了，並且形式還如此簡潔，不得不說數學真的太美了！

有了這個公式，求定積分就變成了求原函數，因此這個公式在微積分中具有極其重要的意義，被稱為微積分基本公式。

值得一提的是，這個公式的背後有一個科學史上著名的公案，即牛頓和萊布尼茨的微積分創始人之爭，由於文章篇幅限制我就不展開介紹了，感興趣的可以自行百度一下，挺有意思。

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