音樂理論1 十二平均律

09-05

音樂理論1 十二平均律

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讓我們從音高說起。

「do re mi fa sol la si」，你會感覺到從do到si越來越「高」。在物理上，音高是由頻率決定的。頻率越大，音就越高。儘管我們知道sol比do高，但具體高多少還未曾學習。所謂律制 tunning system，就是設計一種方案，確定這些音的精確音高關係。

一、音的序列

觀察鋼琴鍵盤，會發現它呈周期性重複。在一個周期內，有十二個鍵，它們依次分別是：

C C# D D# E F F# G G# A A# B

不同周期的音用數字區別。如第一個周期的C記做C1，第二個周期的C記做C2，以此類推。將這些音無限延伸，就可以得到一個序列（記為序列①）：

... C1 C1# D1 D1# E1 F1 F1# G1 G1# A1 A1# B1 C2 C2# D2 D2# E2 F2 F2# G2...

我們把一個周期稱為八度 octave，相鄰兩個音稱為半音 semitone。更正式地說，

定義如果兩個音在序列①中有12個音的間隔，那麼這兩個音構成八度；
如果兩個音在序列①中有1個音的間隔，那麼這兩個音構成半音。

二、十二平均律

如果把序列①看成數列，那麼律制就是這個數列的通項公式。回想我們曾經做過的數列題：

已知 $a_{n}=2a_{n-1}$ ， $a_4=1$ ，求 $a_n$ 的通項公式。

我們發現，只要知道數列的其中一項（ $a_4=1$ ）和項之間的關係（ $a_{n}=2a_{n-1}$ ），就能唯一地確定這個數列了。類似地，律制的確定，只需要如下兩步：

第一步確定其中一個音的音高

第二步確定音之間的音高關係

這裡介紹一種最簡單的律制——十二平均律 equal temperament：

定義十二平均律按如下方式確定：
第一步 A4的頻率是440Hz
第二步半音的頻率之比是 $2^{frac{1}{12}}$

根據這兩步，我們發現，序列①其實是某一項為440Hz的等比數列，公比是 $2^{frac{1}{12}}$ .

定理1.1 在十二平均律下，兩個音在序列①中有 $x$ 個音的間隔，當且僅當其頻率之比是 $2^{frac{x}{12}}$

證明：如果兩個音在序列①中有 $x$ 個音的間隔，那麼根據等比數列的性質，其頻率之比是 $(2^{frac{1}{12}})^x=2^{frac{x}{12}}$ ；反過來，如果頻率之比是 $2^{frac{x}{12}}$ ，易知在序列①中間隔著 $x$ 個音。

定理1.2 在十二平均律下，兩個音構成八度，當且僅當其頻率之比是2

證明：在定理1.1中讓 $x=12$ 並結合八度的定義即得。

推論在十二平均律下，兩個音構成 $n$ 個八度，當且僅當其頻率之比是 $2^n$ （ $n in mathbb{N_+}$ ）

證明：對定理1.2進行數學歸納法即得。

※三、音分與最接近音

下面我們引入音分 cent與距離 interval的概念：

定義如果兩個音的頻率分別是 $a$ 和 $b$ ，那麼從 $a$ 到 $b$ 的音分 $c(a,b)={1200log_2frac{b}{a}}$ ；
兩個音 $a$ 和 $b$ 的距離 $d(a,b)=left|{c(a,b)} ight|$ （以音分為單位）

由定義立即知道：在十二平均律下，八度的音分是1200，半音的音分是100.

下面定義最接近音的概念。非正式地說，在序列①中離 $f$ 最近的那個音就是 $f$ 的最接近音。

定義給定一個音的頻率是 $f in mathbb{R_+}$ .設數列 $left{{a_n} ight}$ 表示序列①中每個音的頻率（ $nin mathbb{Z}$ ）.如果某個 $min mathbb{Z}$ 滿足 $d(a_m,f)=mathrm{inf} left{{d(a_n,f):nin mathbb{Z}} ight}$ ，那麼稱 $a_m$ 對應的音為 $f$ 的最接近音，稱 $c(a_m,f)$ 為 $f$ 的最接近音分，記為 $c(f)$ 。
定理1.3 任何一個音 $fin mathbb{R_+}$ 的最接近音有1個或2個。
定理1.4 任何一個音 $fin mathbb{R_+}$ 的最接近音分 $c(f)$ 有1個或2個，且在十二平均律下，每個 $c(f)$ 都滿足 $-50leq c(f)leq 50$

我們不證定理1.3和1.4。下面介紹求最接近音和最接近音分的演算法：