將整序變數放入函數的情形(2)

09-04

將整序變數放入函數的情形(2)

來自專欄《微積分學教程》數學筆記

如果一元函數適用於變成整序變數的情形，那麼多元函數當然也適用。

一、簡單的說明

其實在上篇文章中，有一點筆者並沒有直接點出來。仔細讀過文章的讀者，應該會隱隱地感覺到某些東西。

首先，我們先引用魏爾斯特拉斯定理：

有界數列必含有收斂子列。

容易理解，如果我們將這裡的數列替換成函數，那麼定理依舊成立：

有界函數必含有收斂子列。

依據這條定理，如果我們想求得某一有界函數的極限，便只需求得該函數的收斂子列的極限。函數問題便轉化為了數列問題，這使得更多的方法可以被我們所利用。數列的方法與函數的方法進行了有機的結合。

例如之前所提到的 O.Stolz 定理，該定理在函數層面收到了限制，在數列層面卻有巨大的威力，運用這種思想轉換後，便可以直接使用原版的 O.Stolz 定理，發揮出它原本的力量。

當然，筆者可能說得誇張了些。最重要的，是這種數學思想使得數列與函數更好地結合在了一起，幫助我們對兩者的本質有了更深一步的理解。

二、例題

（1）、假定一定義於除 x = 0 ; y = 0 外的全平面的多元函數，討論其極限：

$lim_{x ightarrow 0\y ightarrow0}{frac{xy}{x^2+y^2}}$

解：
正常解法：
正常解法的思路還是很一般的。
遇到分式，上下齊次，該式便變成了單元函數題：

$lim_{x ightarrow 0\y ightarrow0}{frac{xy}{x^2+y^2}}=lim_{x ightarrow 0\y ightarrow0}{frac{frac{y}{x}}{1+frac{y^2}{x^2}}}=lim_{t ightarrow a}{frac{t}{1+t^2}}$
無疑，t 一定是趨於一個數 a 的。但是 a 具體是多少，這卻是不穩定的。因為 x、y並非兩個穩定的常數，而是兩個變數無窮小，所以 t 的值也是不斷變化的。
所以該多元函數無極限。
思路很簡單，但是如果沒有將其齊次化的話，討論起來就複雜了。而相對之下，運用整序變數來解決，就很簡單了。

運用整序變數：
不妨設兩點列：

$left{ M_kleft( frac{1}{k},frac{1}{k} ight) ight}、left{ M_{k}left( frac{1}{k},frac{2}{k} ight) ight}$
易得，當 k 趨於 ∞ 時，兩變數趨於 0 。
又因為，代入兩點列得：
$fleft( M_k ight)=f( frac{1}{k},frac{1}{k})=frac{1}{2}、f(M_{k})=f( frac{1}{k},frac{2}{k})=frac{2}{5}$

所以極限不存在。

（2）、假定一定義於除 x = 0 ; y = 0 外的全平面的多元函數，討論其極限：

$lim_{x ightarrow 0\y ightarrow0}{frac{x^2y}{x^2+y^2}}$

解：
正常解法：
均值不等式直接就弱化了問題：
$left| frac{x^2y}{x^2+y^2} ight|leqleft| frac{x^2y}{2xy} ight|=frac{1}{2}left| x ight|$
所以，極限為 0 。
如果你不用均值不等式來弱化問題，這題目就麻煩了。
那麼，這個題目可以用整序變數來解嗎？

答案是「不能」。

因為我可以從這個多元函數中找到無窮的子列，使得他們趨於極限 0 。但你永遠無法保證所有的子列都趨於極限 0 。

換而言之，整序變數適合用來證明函數式不存在極限。因為證明極限不存在，只需要找到兩個極限不同的子列就行了，而這是很方便的。但是，當極限存在時，我們無法保證所有的子列都趨向於這一極限，也就無法證明極限的存在。

這便是這一方法的不足之處。

三、後續例題

筆者為大家找了兩道例題作為本篇的結尾。其中一道存在極限，另一道不存在，所以本文章所介紹的方法只能解決其中一道。

建議讀者在答題過程中，對於整序變數不適用的例題，要理清不適用的緣由，探索問題的本質。

（3）、

（4）、