玻色化方法（三）——泛函方法

09-04

玻色化方法（三）——泛函方法

來自專欄 Condensed Matter Field Theory學習心得6 人贊了文章

Altland在書中習題給了一個非常不一樣的玻色化方法——純泛函方法，因為他答案的一個可能的typos，我還沒有完全重複出來結果。我已經發郵件尋求他的幫助了，所以這是一個初版，之後會更新。

3.1非相對論系統的協變記號

在這一節，我們用最基本的泛函方法去展示實現玻色化。我們現有的知識僅僅在於，自由費米子的格林函數和自由玻色子的格林函數之間有一個關係。在之前的章節，我們利用了自由哈密頓去玻色化整個理論，這裡，我們從解耦相互作用出發。

我們按照之前的章節寫下相互作用部分：

$egin{equation} {S_{operatorname{int} }} = frac{1}{2}int {d au dx} { ho _i}{g_{ij}}{ ho _j} end{equation}$ ，默認了求和約記：對於場 $i,j = {+,-}$ 對於矩陣 $i,j = {1,2}$ ，並且有： $g_{11} = g_{22} = g_2, g_{12} = g_{21} = g_4$

我們接下來引入兩個輔助場 $phi$ 來解耦系統，利用HS變換 $exp left[ { - { ho _m}{V_{mn}}{ ho _n}} ight] = int {mathcal{D}phi } left[ { - frac{1}{4}{phi _m}V_{mn}^{ - 1}{phi _n} - i{phi _m}{ ho _m}} ight]$

我們有：

$Sleft[ {phi ,ar psi ,psi } ight] = int {dx d au } left[ {frac{1}{2}{phi _i}g_{ij}^{ - 1}{phi _j} - i{phi _i}{ ho _i} + {psi^dagger _i}{{left( { - i{sigma _3}{partial _x} + {sigma _0}{partial _ au }} ight)}_{ij}}{psi _j}} ight]$

我們發現，守恆流不再是顯然的。但是我們知道，這個系統是從「狄拉克型」相對論哈密頓量出發的，因此有一些內在的對稱性可以輔助計算，我們引入記號 $x_1 = au, x_2 = x, dx = dx_1 dx_2$ 以及「旋量」， $psi = {left( {{psi _ + },{psi _ - }} ight)^T},ar psi = {left( {{sigma _1}psi } ight)^dag } = left( {psi _ - ^dag ,psi _ + ^dag } ight)$ 以及重新規定我們的輔助場：

${phi _1} = frac{1}{2}left( {{phi _ + } + {phi _ - }} ight),{phi _2} = frac{1}{{2i}}left( {{phi _1} - {phi _2}} ight)$

我們就有：

$egin{equation} Sleft[ {ar psi ,psi ,phi } ight] = frac{1}{2}int {{d^2}x{phi ^T}{g^{ - 1}}phi } - int {{d^2}x} ar psi left( {{sigma _mu }{partial _mu } - i{sigma _mu }{phi _mu }} ight)psi end{equation}$

3.2 求解系統得到玻色作用量

利用協變的記號，現在我們看到，輔助場就如同一個矢量場一樣耦合進了我們的理論。我們很想知道的是，我們能不能用一個規範變換去把二次費米子場里的規範場 $phi$ 給拿出來？顯然，我們把規範場 $phi$ 做一個分解，分解為一個無旋場和一個無散場相加： $phi_mu = - (partial_mu chi + iepsilon_{mu u}partial _ u eta)$ ,合併、吸收進對費米子的導數里，對應如果做變換 $ar psi o arpsiexp(-i chi sigma_0- ieta sigma_3)$ 以及 $psi o exp(-i chi sigma_0- ieta sigma_3)psi$ 就能夠移除掉其中的規範場，對應的作用量是不變的——這對應著axial symmetry和vectorial symmetry。我們能否用這樣兩個對稱性去移除掉規範場呢？答案是不行，因為這個變換不是保泛函積分測度的——因而我們雖然在經典層面可以有這兩個守恆量，但是由於我們對於量子漲落的積分測度不同，我們無法積分掉。這在粒子物理里，叫做手征反常。

我們繼續我們的工作。

一個簡單而直接的想法是積分掉費米子場，因而我們有：

${S_{eff}}left[ phi ight] = frac{1}{2}int {{d^2}x} {phi ^T}{g^{ - 1}}phi - ext{Tr}ln {mathcal{G}^{ - 1}}left[ phi ight]$

其中， ${mathcal{G}^{ - 1}}left[ phi ight] = {sigma _mu }{partial _mu } - i{sigma _mu }{phi _mu }$

然後我們把Trln項做泛函展開：

$Trln {mathcal{G}^{ - 1}}left[ phi ight] = underbrace {Trln left( {{sigma _mu }{partial _mu }} ight)}_{ o 0} - iunderbrace {Trleft( {{{left( {{sigma _mu }{partial _mu }} ight)}^{ - 1}}{sigma _mu }{phi _mu }} ight)}_0 + frac{1}{2}underbrace {Trleft( {{{left( {{sigma _mu }{partial _mu }} ight)}^{ - 1}}{sigma _mu }{phi _mu }{{left( {{sigma _mu }{partial _mu }} ight)}^{ - 1}}{sigma _mu }{phi _mu }} ight)}_{ e 0}$

直覺告訴你，再高階的項不會給出任何貢獻，事實也是這樣，這被一個叫做Closed loop theorem的定理所保證。其中的物理是什麼呢？其實是，被玻色化到自由玻色場的理論，自然是二次的，因而任何高於二次的展開式最後的計算結構可以想像都是0.

為了計算最後一項，我們做松原求和：

$egin{gathered} Trleft( {{{left( {{sigma _mu }{partial _mu }} ight)}^{ - 1}}{sigma _mu }{phi _mu }{{left( {{sigma _mu }{partial _mu }} ight)}^{ - 1}}{sigma _mu }{phi _mu }} ight) hfill \ = sumlimits_{p,k} {{{left( {{sigma _mu }{p_mu }} ight)}^{ - 1}}{sigma _mu }{phi _{mu , - k}}left( {{sigma _mu }{{left( {p + k} ight)}_mu }} ight)^{-1}{sigma _mu }{phi _{mu ,k}}} hfill \ end{gathered}$

上面寫得指標有些混亂...但是兩個兩個求和這樣。。

那麼我們的有效作用量就是

$egin{gathered} {S_{eff}}left[ phi ight] = frac{1}{2}int {{d^2}x} {phi ^T}{g^{ - 1}}phi - frac{1}{2}Trleft( {{{left( {{sigma _mu }{partial _mu }} ight)}^{ - 1}}{sigma _mu }{phi _mu }{{left( {{sigma _mu }{partial _mu }} ight)}^{ - 1}}{sigma _mu }{phi _mu }} ight) hfill \ = frac{T}{{2L}}sumlimits_k {{phi _{ - k,i}}left( {g_{ij}^{ - 1} + {delta _{ij}}{Pi _{i, - k}}} ight){phi _{k,j}}} hfill \ {Pi _{s,-k}} = int {frac{{dpdvarepsilon }}{{4{pi ^2}}}frac{1}{{left( {varepsilon + isp} ight)left( {varepsilon + omega + isleft( {p - k} ight)} ight)}}} hfill \ end{gathered}$

第二行寫在了松原求和里，核矩陣的積分是發散的，我們取一個動量的小截斷 $Lambda$ 就有：

${Pi _{s,-k}} = int_{ - Lambda }^Lambda {frac{{dpdvarepsilon }}{{4{pi ^2}}}frac{1}{{left( {varepsilon + isp} ight)left( {varepsilon + omega + isleft( {p - k} ight)} ight)}}} = frac{1}{{2pi }}frac{k}{{isomega + k}}$

也就是： $Pi_k = frac{1}{2pi}left(egin{array}{cc} frac{k}{-iomega+k} & 0 \ 0 & frac{k}{iomega + k} end{array} ight)$

到這裡我們應該可以說玻色化成功了——我們成功的得到了一個自由費米子理論。但等等，兩個系統之間的映射還沒有完成——我們沒有添加含源頭項，驗證兩個理論之間的關聯函數之間的關係。

Altland的書在這個地方之後寫得有些不清晰，我發了郵件問他，但願會回復我這個菜雞兒吧。。回復了之後我就回來更新。