電磁感應與斯托克斯公式之禪

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經典斯托克斯公式(Stokes Formula)

是棲息於高樹上已逾百年的老妖，

因其身世詭異，在某乎上總被頻頻問候。

兩年前有緣答了一個關於此式的提問，

蒙諸君讚賞與認可，幸甚，

現在決意將它整理成文，以饗諸君。

0) 一次凝望

先平復呼吸，氣沉丹田，

凝望一眼斯托克斯公式的本尊：

左側，

是向量場 的旋度 於曲面 內積分

右側，

是向量場 於曲面 的邊界 上求環量

諸君對斯托克斯公式的理解常止於此

而疑問卻還是山重水複橫亘於前：

環量從何來？旋度是何物？

旋度為何是梯度運算元叉乘向量？

環量與旋度在何種因緣下纏到一起？

念眾生惶惶如斯，老夫實不忍坐視，

今日便來開壇說法，引善男信女步出輪迴。

1) 電磁感應、環量與旋度

依老夫之愚見，

凡多年妖孽，必可化作幻相以惑眾生，

或為蛙、或為狐、或為猿、或為人……

而斯托克斯公式，身為高樹上的百年老妖，

也必有其幻化之形。

諸君是否記得，

電磁學中有個法拉第電磁感應定律：

變化磁場中閉合線圈的電動勢，

正比於它所包圍面積內磁通量變化率。

即：

話說這電動勢的由來，可這樣理解：

磁場的變化，催生了某種骨骼清奇的電場，

閉合線圈置於此電場中，即生電動勢。

而此電動勢，即是電場在線圈上的環量，

亦即電場向量繞線圈行曲線積分後所得：

老夫便來道一道何謂「骨骼清奇的電場」

此處所說的「骨骼清奇」，

數學上稱作有旋，亦即旋度不為 。

反之，如果電場無旋，旋度處處為 ，

將線圈置於其中，則無電動勢生成，

亦無眼耳鼻舌身意，無色聲香味觸法……

(這一句請忽略)

有此認識，便可參一參旋度之要義了。

如果不求嚴謹，電場旋度可這樣理解：

越小的面積上(線圈圍成的區域面積)

產生越大電動勢的能力。

不妨想像小狗一隻，在小屋中轉圈，

小狗可在越小的屋中轉得越歡快，

便知它身體越靈活，

場的旋度即類於小狗的靈活度。

那麼現在便來敘敘，旋度大小如何算得。

如果將線圈縮至足夠小，

則其所圍區域大小，可視作一面積微元，

此時線圈上的電動勢，亦成一微元。

有此便可得旋度大小之式：

然而此公式所說的並非旋度本身……

因為此式只道出了旋度大小而已，

而旋度是一個向量，雖然血統不正，

(血統之事，老夫今後再敘)

但它終究還是一個向量。

除去有大小，它還應有方向。

此方向便與電場所在平面之法向相同，

亦即垂直於電場平面，

諸君且認為這是數學家欽定的結果。

說到此處，旋度的幾何意義即大白於世，

然而「大小加方向」終究是中學生的童言，

已沐浴過高數線代聖光的諸君，

應當以坐標分量形式描述向量。

而旋度之坐標分量形式是何面目？

這便引出了下一個問題：

2) 旋度因何是梯度運算元叉乘向量？

依慣例，還是來看骨骼清奇的有旋電場。

現於電場中隨手放置一正方形小線圈，

其面積為 。

又設電場方向平行於線圈所在平面，

且先考慮它們皆位於 平面的情形。

如下圖。

現有一問題請諸君思量：

如果平面上電場強度分布函數為

此正方形小線圈上電動勢當如何算得？

----此處為一炷香思考時間留白----

此問題不難，我等只需先求得

每條邊上電場強度投影與邊長之積，

亦即每條邊上的電動勢，

再將四邊上電動勢求和即可。

計算如下：

(以逆時針方向為正方向)

四邊電動勢之和，

即為全迴路上電動勢微元：

則旋度大小為：

其方向為 平面之法向，即 方向。

則此特殊情形下，旋度向量即為：

同理可推知，

如果電場與正方形小線圈

位於 平面之上，則旋度為：

位於 平面之上，則旋度為：

但前述三種電場，皆在特殊坐標平面上，

若電場及線圈不與任一坐標平面共面，

諸君又當如何算得？

----此處為一炷香思考時間留白----

此問亦不難，我等只需

將電場在 三個特殊方向分解，

分別求得旋度後，再重新求和即可

(因旋度是向量，依從向量求和基本法)，

則旋度之式便化為：

梯度運算元叉乘向量的形式由此得來。

得此要義，老夫便與諸君直上清都，

去尋找斯托克斯公式的終極禪意。

3) 斯托克斯公式之禪

此處且略去數學推導、捨去嚴謹說法，

僅以直觀語言，解釋斯托克斯公式要義。

假設今又在有旋電場 之中

放置一有邊界之曲面金屬網，

(請取網狀漏勺一把細細觀摩……)

觀此漏勺，可見其中網格密布，

每個網格邊界，皆可圍成一小線圈，

而漏勺自身亦有邊界，

其邊界亦可視作一大線圈。

則今又有一疑問，與諸君共賞：

漏勺內部各網格邊界小線圈電動勢，

與漏勺邊界大線圈之電動勢，有何關聯？

若解得此問，即可悟得斯托克斯公式之禪。

我等便從網格邊界電動勢說起罷。

欲求此電動勢，尚需解一小問：

諸君知道，此金屬網為曲面，

則各網格所在平面各不相同

於是各網格未必皆與電場共面，

此情形下，各網格電動勢當如何算得？

----此處為一炷香思考時間留白----

此問亦不難，

吾等只需使電場投影於網格所在平面，

以電場投影分量算得旋度大小即可。

而此法又等價於：使電場旋度向量，

投影於網格法向上，再乘以網格面積。

亦即電場旋度與微元面積法向量做內積。

則諸網格邊界電動勢即可由下式算得：

此時，請與老夫一起細究兩個相鄰網格，

細細觀摩，可知兩相鄰網格必有一共同邊。

請看下圖。

圖中網格1之逆時針方向，

投影在共同邊上，為垂直向上；

而圖中網格2之逆時針方向，

投影在共同邊上，為垂直向下。

則網格1在此邊上的電動勢為，

而網格2在此邊上的電動勢為，

若將兩個相鄰網格電動勢相加，

則共同邊上電動勢便在計算中消去。

再進一步，若將所有微元電動勢累加，

則漏勺內部一切網格邊界，

必為某兩個相鄰網格的共同邊界，

於是內部金屬線上的電動勢皆被消去，

最終僅存漏勺邊界大線圈上的電動勢。

以數學語言表達上文，即是：

將所有網格電動勢累加，

即各網格電動勢在漏勺曲面上積分：

其中 為漏勺曲面

而漏勺邊界的電動勢，

即電場在邊界上的環量：

兩式合一即得：

此即斯托克斯公式。

其義即為：

旋度與曲面中微元法向量做內積，

得微元邊界環量(金屬網諸網格的電動勢)：

再將各微元環量全數累加(左側積分)：

內部環量即悉數寂滅，

而最終所得，僅余曲面邊界環量

(金屬網邊界電動勢，即右側積分)：

5) 後記

沒有後記，一切皆已瞭然。

諸君且散去罷，有緣必會再見。

(完)