FLUENT中的「湍流模型」是什麼東西？

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眾所周知流體的流動狀態有層流和湍流的分別。工程中大部分的流動都是湍流，所以用CFD軟體模擬工程中的流動的時候，往往要運用「湍流模型」，例如k-ε模型、SA模型等等。但是，這些模型是怎樣模擬湍流流動的呢？

我們來看一個例子。我們用k-ε模型計算二維射流流動。當流體從一個狹縫向靜止流體中噴射的時候，如果狹縫的長度比寬度大得多，那麼就可以近似地看做是二維射流。二維射流理論上的流動圖像如圖1所示。由於粘性作用，射流與周圍流體之間進行動量交換，並把周圍流體不斷「卷吸」到射流中去，使得沿著流動方向射流的寬度不斷向外擴展。

圖1 二維射流。

假設縫隙的寬度h=1m，噴射速度U=1m/s，流體的密度ρ=1kg/m3，粘性係數μ=10-5Pa?s，則流動雷諾數Re=ρUh/μ=105。用FLUENT算出的速度分布如圖2所示；可以看出沿著流動方向射流的寬度不斷向外擴展。從圖3所示的不同截面處的速度分布曲線也可以看出這一點。

圖2 速度分布

圖3 不同截面處的速度分布曲線

從定性上看，粘性導致的動量交換使得沿著流動方向射流的寬度不斷向外擴展，這是容易理解的。從定量上看又如何呢？我們選取流場中的幾個位置，計算一下動量方程中各項的數值。所選取的三個點如圖4所示。

圖4 點的位置

我們知道，流體運動的動量方程是Navier-Stokes方程組，對於本問題中的二維不可壓縮流動，Navier-Stokes方程組的形式為

式中u是速度的x方向分量，v是速度的y方向分量，p是壓強。由於本問題考慮的是定常流動，所以對時間的偏導數的項等於零，方程簡化為

由於射流是往x方向噴射的，所以我們只計算x方向的動量方程，結果如表1所示。顯然，動量方程的左邊不等於右邊，而且數量級相差甚遠。

表1 x方向動量方程左邊和右邊的數值

這是什麼回事呢？原來，FLUENT在計算湍流流動的時候，並不是直接求解Navier-Stokes方程組。

要理解這個問題，必須先了解湍流運動的特點。從下面的湍流射流的視頻可以看出，湍流中存在不規則的非定常的旋渦運動。研究表明，湍流中的這些旋渦運動的尺度範圍是非常寬廣的，最大的旋渦與最小的旋渦的尺度之比正比於流動雷諾數的3/4次方。最大的旋渦從平均流中吸收動能，然後將動能傳遞給小一級的旋渦，小一級的旋渦又將動能傳遞給更小一級的旋渦，就這樣一級一級地往下傳遞，直到動能傳遞至最小尺度的渦時，才被粘性耗散轉變為熱能。這就是湍流中所謂的「能量傳遞的級串原理」。

由於湍流中旋渦運動的尺度範圍非常寬廣，直接運用Navier-Stokes方程組對它進行模擬是非常困難的，特別是高雷諾數湍流。舉一個直觀的例子，一輛以105km/h行駛的轎車，其前擋風玻璃表面的湍流邊界層中的最小渦的尺度約為0.004毫米[3]。試想，如果要對這輛汽車的繞流流動進行直接模擬，那麼計算域應該包含整輛汽車，而網格尺寸卻又要小於最小渦的尺度，其計算量簡直是天文數字，目前世界上運算速度最快的超級計算機也望塵莫及。

因此，目前在工程中運用CFD軟體來模擬湍流時，普遍採用的是雷諾平均的方法，也就是將湍流中的非定常的旋渦運動（湍流脈動）取平均運算，得到湍流的平均運動。從下面的視頻中可以獲得對平均運算的直觀理解。

FLUENT在計算湍流流動的時候，實際上求解的是湍流的平均運動。我們在觀看計算結果的雲圖時，圖中所顯示的速度、壓力其實都是平均運動的速度和壓力。

但是這帶來一個問題。我們知道，在層流流動中，根據牛頓內摩擦定律，粘性切應力等於速度梯度乘以粘性係數；這種粘性切應力產生的原因是存在分子不規則運動的動量交換以及分子間的吸引力。但是，在湍流流動中，用平均運動的速度梯度乘以粘性係數來計算切應力是不恰當的。這是因為，在湍流流動中，非定常旋渦運動使得相鄰的流體層之間有很強的動量交換效應，這種動量交換效應要遠遠強於分子不規則運動導致的動量交換。所以，不能直接用Navier-Stokes方程組來計算湍流的平均運動。目前最流行的辦法就是，在計算湍流的平均運動時，將Navier-Stokes方程組中的粘性係數換成一個大得多的「湍流粘性係數」，以反映湍流中非定常旋渦運動導致的動量交換效應（這就是湍流模擬中所謂的「Bousinessq湍流粘性係數假設」）。

對於文章開頭的那個二維射流的例子，我們可以在後處理中顯示出湍流粘性係數的分布（圖5、圖6）。可以看出，湍流粘性係數要比流體本身的粘性係數（μ=10-5Pa?s）大幾個數量級。

圖5 顯示「湍流粘性係數」

圖6 湍流粘性係數的分布

如果將表1中的粘性係數換成「湍流粘性係數」μt重新計算，動量方程左邊和右邊的數值就很接近了（表2）。

表2 x方向動量方程左邊和右邊的數值。考慮湍流粘性係數

湍流模型的作用就在於計算這個「湍流粘性係數」。不同的湍流模型，如k-ε、SA、k-ω，它們的差別就在於計算湍流粘性係數的具體方法有所區別。但是，目前所有這些湍流模型都建立在某種簡化假設或者經驗性模型的基礎之上，所以都不是十分精確，而且存在普適性差的問題。對於一個湍流模型，即使它預測某個特定的流動問題很準確，但是，如果換一個流動，也許就會誤差很大。

關於上述幾個湍流模型分別適用於計算哪些流動（即湍流模型的選擇問題），在FLUENT的Users Guide中有詳細的介紹。（在Users Guide中的「Choosing a Turbulence Model」這一節中的第一小節「Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS) Turbulence Models」）

文章來自技術鄰