從天文中的聲速說開去

09-04

從天文中的聲速說開去

來自專欄龍尾伏辰60 人贊了文章

儘管本文的目標讀者是物理/天文本科生和低年級研究生，並且出現了一些公式，不過主要目的是介紹「為什麼會出現聲速」這一問題，不涉及到太多技術細節，非專業的讀者跳過公式也無妨：）

〇、引言

第一次上《天文激波》(Astronomical Shocks)這門課時，我連紙筆都沒帶，手持保溫杯找個位置坐下，開始聽課。事實證明不帶紙筆是個錯誤的決定，課件上滿屏的公式讓人昏昏欲睡，我也有一搭沒一搭得聽著。當老師講到馬赫數 $M=v/c_s$ ( $v$ 為擾動源的速度， $c_s$ 為介質中的聲速)時，我心想，怎麼突然出現了聲速？不僅如此，在對吸積過程的介紹中，聲速 $c_s$ 也是個存在感很高的參數。我又想起正在做的關於星系氣體盤的穩定性研究，其中有個很重要的判據——圖姆爾穩定性判據(Toomres stability criterion)：當圖姆爾參數 $Q=frac{c_skappa}{pi GSigma}>1$ 時，星系氣體盤是穩定的。「穩定」意味著星系盤不會在自身引力的作用下塌縮。看，聲速在這裡也出現了。

我有些困惑。聲速是聲音在介質中傳播的速度。為什麼會出現在天文研究的不同場合中？

一、如何理解聲速？

說起聲速，我們最容易聯想到的是聲音在空氣中的傳播速度，約為 340米/秒。但把這個概念照搬到天文中，就感覺很奇怪。我幹嘛要研究聲音在宇宙中的傳播速度？有人去聽嗎？因此首先應該弄清楚聲速的物理概念。我們聽到的聲音是怎麼產生的？喉嚨（聲源）的振動擾動空氣，以聲波的形式傳播。聲音的本質是一種機械波，空氣作為介質傳播這種機械波。進一步講，聲速是機械擾動（或者說機械波）在介質中的傳播速度。

可是宇宙不是真空的嗎？哪來的介質來傳播機械波？其實在一個星系系統中，恆星與恆星之間存在著由氫分子、氫原子氣體等組成的星際介質(Interstellar medium,簡稱ISM)，以及更小尺度、密度稍大的分子雲。這些氣體都能夠作為傳播「聲音」的介質。

（前方公式預警）在物理上，對流體動力學的歐拉方程做微擾，聲速的出現是自然而然的事情。歐拉方程的基本原理是守恆，想一想在物理中出鏡率最高的守恆律是什麼——質量守恆，動量守恆，能量守恆。在這裡我們只需要用到遵循質量守恆和動量守恆的歐拉方程：

$frac{partial ho}{partial t}+ ablacdot( ho vec{v})=0$

$ho frac{partial vec{v}}{partial t}+ ho vec{v}cdot ablavec{v}=- abla p$

其中， $ho$ 為流體密度； $vec{v}$ 為流體的速度矢量，我們將分量記為 $u,v,w$ ； $p$ 為壓強。對方程做微擾，令 $ho= ho_0+ ho,p=p_0+p,u=u_0+u$ ，代入上述方程，進行一系列忽略二階小量等常規操作，得到波動方程：

$frac{partial^2 ho}{partial t^2}-frac{partial p}{partial ho} abla^2 ho=0$

相信物理系的朋友們經常跟它打交道：）

這個波動方程的通解為 $ho(x,t)= ho_1(x+sqrtfrac{partial p}{partial ho}t)+ ho_2(x-sqrtfrac{partial p}{partial ho}t)$ ，其中 $sqrtfrac{partial p}{partial ho}$ 代表著波的行進速度！因此，方程第二項 $abla^2 ho$ 前面的係數的物理含義是聲速 $c_s$ 的平方， $c_s=sqrt{frac{partial p}{partial ho}}$ .

我們可以更進一步解讀：聲速是微弱擾動在流場（介質）中的傳播速度。這種微弱擾動通常是由流場中某個位置的壓力產生微小變化引起的。聲速的大小跟介質本身的性質有關，在絕熱條件下 $c_sproptosqrt{T}$ .

在溫度10K的分子氣體中，聲速約每秒240米；溫度為 $10^4$ K左右的暖中性介質(warm neutral medium)中，聲速約每秒10公里[1]。

二、超音速激波

好啦，我知道星際介質的聲速了。但是天文學家拿這個參數幹嘛用呢？

恆星表面噴出的物質流，形成星風(stellar wind)，速度約為每秒200-300公里；超新星拋射物(Supernova ejecta)的速度約為每秒1000公里；超大質量黑洞風(SMBH wind)的速度約為每秒3萬公里；活動星系核噴流(AGN jet)約為每秒30萬公里。可見它們的速度都遠遠超過了星際介質的聲速。當它們作為擾動源注入星際介質中，就以超音速運動。超音速外向流(outflow)在天文中是很常見的現象。

超音速會引發什麼現象？我們可以把以聲速傳播的擾動看作一種「信息」，當前面的氣體接收到擾動信息後，壓強、密度會發生相應改變。但是當擾動源的速度超過聲速時，靠近擾動源前面的氣體還沒接收到信息，來不及做出反應，就受到了擾動源的強壓縮，壓力迅速積聚起來，這時激波(shocks)就形成了。

左至右：速度小於聲速、等於聲速、大於聲速產生的壓力波波前。

氣體的性質（如密度、壓強）在經過激波時發生變化，而激波的厚度很薄，約為幾個分子自由程大小，因此我們可以認為氣體的性質在激波前後發生突變。當宇宙中某些劇烈的事件（比如星風、超新星爆炸、噴流等等）發生後，大量物質和能量以超音速拋出，形成激波。激波還與能量耗散有關，在激波行進的過程中，動能轉化成熱能，逐漸冷卻。

T-38C飛機在莫哈韋沙漠以超音速飛行形成的激波。圖片來源：NASA.

2015年7月5日的天文每日一圖。蛇夫座ζ星風產生的弓形激波(bow shock)，來源：NASA.

天文學家通過什麼研究激波呢？其中之一就是引言中提到的馬赫數， $M=v/c_s$ ，其中 $v$ 表示擾動源的速度， $c_s$ 就是本文的主角聲速了。聲速相當於一根標尺，衡量激波的劇烈程度。馬赫數是衡量氣體壓縮率的無量綱參數，馬赫數越高，氣體壓縮性影響就越高，一般情況下，密度也就越高。高密度的氣體能做什麼？當然是形成新的恆星：）

順帶提一下大名鼎鼎的jump condition。我們知道在激波前後氣體密度發生突變，jump condition可以計算出兩種極端狀態下，氣體密度的比值。在絕熱狀態下， $ho_1/ ho_2=(gamma+1)/(gamma-1)=1/4,gamma=5/3,$ 意思是無論擾動源的速度多大，氣體最多被壓縮四倍；在等溫狀態下， $ho_1/ ho_2=1/M^2$ （ $M$ 為馬赫數），當擾動源的速度足夠大， $M ightarrow infty$ ，氣體能近似看作被無限壓縮。星系盤上的星際介質可以近似成等溫，因為冷卻機制有效，在短時間內輻射掉內能。

在研究中，馬赫數也可以估算能量耗散率，即動能轉化成熱能的比值。

1Mpc(~3.2億光年)尺度上，星系暗物質暈內氣體溫度和受激波影響的馬赫數分布。來源：宇宙學數值模擬項目illustris-TNG.

三、金斯判據和圖姆爾判據

許多天體都是在引力的作用下，氣體塌縮形成的，因此天文學家對氣體系統的穩定性很感興趣。回到引言中的圖姆爾穩定性判據，它的研究對象是旋轉的星系盤。在圖姆爾參數 $Q=frac{c_skappa}{pi GSigma}$ 中也出現了聲速。為什麼聲速又用來研究一個天體系統穩不穩定呢？

倘若想了解圖姆爾穩定性判據，還得從金斯判據講起，金斯判據是天文中最基礎的關於穩定性的研究。

假設有一團彌散的星雲，如果它要形成恆星，必然要經過引力坍縮。而在星雲內部還存在因分子運動產生的熱壓力，倘若熱壓力足夠高，能夠克服引力，那麼星雲就是穩定的。如果引力大於氣體的壓力，那麼星雲就會在引力的作用下坍縮形成恆星。這就是金斯不穩定性理論，它在數學上的表述就是金斯判據。其中一個金斯判據的表述為：當自由下落時標 $t_{ff}$ 小於壓力傳播時標 $t_{sound}$ 時，就會發生引力坍縮。假設這個星雲的半徑為 $R$ 、密度為 $ho$ ，自由下落時標的意思是不考慮壓力，只有引力的作用下星雲邊緣坍縮到星雲中心的時間，為 $simfrac{1}{sqrt{G ho}}$ ；而 $t_{sound}$ = $frac{R}{c_s}$ ，這裡再次出現了聲速。還記得聲速的物理意義嗎？壓力擾動的傳播速度！在時間 $t_{sound}$ 內，壓力傳過星雲，並重新建立壓力平衡的系統。比較 $t_{ff}$ 和 $t_{sound}$ 兩個時標，就是看引力和壓力誰跑得更快。如果 $t_{ff}<t_{sound}$ ，引力取勝，星雲坍縮。通過臨界條件 $t_{ff}=t_{sound}$ 推導出的金斯質量 $frac{pi}{6}c_s^3sqrt{frac{pi^3}{G^3 ho}}$ 和金斯波長 $c_ssqrt{frac{pi}{G ho}}$ 都包含了聲速。

聲速在這裡作為壓力的「代言人」，抗衡引力。

（從時標出發推導金斯質量是比較討巧的方式，讀者們有興趣可以讀一讀《星系動力學》第五章，從歐拉方程和柏松方程出發推出金斯質量。）

圖姆爾判據中出現聲速的原因跟金斯判據類似。它的研究對象是轉動的星系氣體盤。在圖姆爾模型中，壓力不是孤軍奮戰，還有因轉動產生的離心力一起對抗引力。星系的轉動並不是剛體轉動，而是較差轉動，即在不同半徑處，轉動的角速度不同。因此對於較差轉動的星系系統的穩定性分析比較複雜，關於圖姆爾判據我將在下一篇文章中做具體介紹：）

（主要是寫到一半發現小篇幅講不清楚，忍不住爛尾了……）

需要注意的是，對於星系的恆星盤，圖姆爾參數中的聲速要換成速度彌散，以速度彌散來抵抗引力帶來的密度微擾。

總而言之，聲速來源於流體力學，在天文某些領域中是非常重要的參數。

參考文獻：

[1] Erlangung des Doktorgrades, Shocks In The Interstellar Medium

[2] McKee, C. F., Hollenbach, D. J. Interstellar shock waves. 1980, ARA&A, 18, 219

[3] Astronomical shocks, 課件

[4] 《星系動力學》詹姆斯·賓尼 & 特里梅因，第5章、第6章