俄羅斯輪盤概率問題?

09-03

AB二人約定採用俄羅斯輪盤賭方式進行挑戰。
規則：
由C在左輪手槍中放入1顆子彈，隨機旋轉後，並分別向AB二人各開一槍。（無論第一槍是否擊發，必須向剩下的另一人開一槍）。此刻規則公平，AB二人中槍的幾率均為1/6。（不計較前後開槍的心理壓力）。
經過：
C首先向A開槍，槍沒有響，然後C將槍口對向了B。

B立刻提出將輪盤重新旋轉複位的要求，理由是：輪盤複位後中槍幾率仍然是1/6，規則公平。
A提出質疑：現在的輪盤只有5個彈位沒有使用，子彈在其中的一個彈位，就是說B中槍的幾率為1/5，輪盤不能重新旋轉複位。
請問B有權利要求輪盤重新旋轉複位嗎？為什麼？（請從數學概率和邏輯思路的方法解答）
樓下王贇 Maigo給出了我個人認可的解答，表示感謝！一併感謝參與的天堂之光、陳俊年等人！
補充回答：
原始規則可能產生的結果：1.AB二人都未中槍；2.AB二人的其中一人中槍；
第二規則可能產生的結果：1.AB二人都未中槍；2.AB二人的其中一人中槍；3.AB二人全部中槍；（有興趣的同學可以分別算算這3個結果的概率）
導致的結果不同，因此這是二個概率事件，不能比較，更不能談公平，是B在詭辯。
其實在發布這個問題的時候，我已經知道答案了，為什麼還問呢？是為了引出後面的問題：

此故事重新進行：
C首先向A開槍，槍沒有響，然後C將槍口對向了B。（根據前面的解答，我們都認可B的中槍幾率為1/5）
此時意外發生了，C發現手槍出現了故障，無法繼續使用。好在萬能的C居然找到了一把五輪手槍，放入一顆子彈，複位後對B進行射擊。此刻B的中槍幾率為1/5，比賽公平。
基於以上規則推理，故事再度重新開始：
AB二人約定採用俄羅斯輪盤賭方式進行挑戰。
中間人C拿出一把六輪手槍和一把五輪手槍，分別推入一顆子彈，旋轉複位後告訴AB二人：我先用六輪手槍射擊A，再用五輪手槍射擊B。二人中槍的幾率相等，比賽公平。假定前面AB二人因為通過學習數學概率，成績優異，表示同意。（不計較前後開槍的心理壓力）
C將六輪手槍對準A，扣動扳機，槍響了，A倒地身亡。
然後C將五輪手槍的槍口對向了B，B表示抗議：既然A已經死亡，比賽就應該結束。而A的兒子卻表不服：我老爸先受槍，已經承擔了風險（1/6中槍率），而B也應該相應的承擔一次風險（1/5中槍率）。
請問C應該對B開槍嗎？為什麼？
附加問題解答，請參見三樓評論。

總結我的觀點：原始規則的俄羅斯輪盤賭從數學概率上是不公平的，先受槍的人承受心理壓力，但中槍概率更低！歡迎辯答、指正！

否。

在原始的規則中，A死、B死這兩個事件雖然概率都是1/6，但兩個事件不是獨立的。

在A沒死的條件下，按照規則，B死的概率就應該是1/5。

另一種公平的規則是：先打A，然後不管A死沒死，都先確保槍里有一顆子彈（即如果A死了，要再裝一顆子彈），然後隨機旋轉輪盤，再打B。這樣A死、B死兩個事件獨立，且概率均為1/6。

在打A的時候，B已經享受了「如果A死則不再打B」的規則（儘管並沒有享受到結果），中途想換規則就是耍賴了。

==== 針對延伸 ====

我先用六輪手槍射擊A，再用五輪手槍射擊B。二人中槍的幾率相等，比賽公平。

這句話有錯，漏掉了關鍵條件：

我先用六輪手槍射擊A，如果A沒死，再用五輪手槍射擊B。二人中槍的幾率相等，比賽公平。

所以，如果A死了，就不應該再打B了。

B不能將手槍複位。

解釋：

如果先向A開槍那麼A被擊斃的概率為 $P(A)=frac{1}{6}$

相應的A存活的概率即為 $P(-A)=frac{5}{6}$

再來討論B：

如果手槍不複位，B被擊斃的概率為： $P(B)=frac{5}{6} imes frac{1}{5} +frac{1}{6} imes 0=frac{1}{6}$

即如果A先被擊斃那麼B被擊斃的可能性為零。

但如果手槍中途複位，則B被擊斃的概率就變成了 $P(B*)=frac{5}{6} imes frac{1}{6}+frac{1}{6} imes 0=frac{5}{36}$

顯然，B被擊斃的可能性減小了 $frac{1}{36}$ .

如果B想要第一次射擊後複位手槍的話，那麼第一步就應該讓C隨機選擇一個人進行射擊。

=====================問題的延伸======================

C不應該對B射擊。

A兒子的邏輯：我老爸先受槍，已經承擔了風險（1/6中槍率），而B也應該相應的承擔一次風險（1/5中槍率）。

因為如果六輪手槍不故障的情況下，按照規則B被擊斃的概率是：

$P(B)=frac{5}{6} imes frac{1}{5} +frac{1}{6} imes 0=frac{1}{6}$

注意：也就是說那把六輪手槍如果不故障的話在A被擊斃的情況下B是百分百存活的。

但是這時當A被擊斃之後B依然要承擔1/5的死亡風險，那麼顯然B被擊斃的可能性上升了。

所以這裡使問題看起來很莫名其妙的原因在於：A為什麼要100%的先受槍呢……

(如果你願意可先看最後一段綜上的結論)

如最高票回答，若隨機選擇A和B第一個開槍，那麼無論先開槍和後開槍中彈的概率分布如何不合理，AB死亡概率都是相同的。只要保證最初的隨機決定順序足夠隨機。但一旦順序產生了，概率立刻塌陷到當前順序中，開槍複位規則也就直接決定此後死亡概率是否相等。往極端說，如果第一個開槍必然死，第二個開槍必然活，通過隨機決定順序也能保證總體概率相等，但一旦抽籤結束結果立現，遊戲過程不再有意義和懸念。所以，為了滿足人類對刺激的需求，還是要盡量使順序決定後先開槍者和後開槍者死亡概率相同才好玩對不對。

所以決定了A先B後之後，有兩種方案:

1.A開槍後B複位再開槍

2.A開槍後B不複位就繼續開槍。

兩種方案似乎都有道理，但實際上取決於一條潛在規則:

若A中彈，B是否向手槍里添加一枚新子彈。

1.若添加，則無論A結果如何B必須複位。這樣保證A是否中彈的情況下B中彈概率都是六分之一，與A相等。AB中彈是獨立事件互不影響。

2.若不添加，則無論A結果如何B必須不複位。因為AB中彈不是獨立事件，相互依賴，就像快速向AB連續開兩槍，直覺告訴我們概率必定相等(簡單條件概率計算也可得出，這裡偷懶引入直覺，雖然對於概率問題通常情況下intuition is the last thing we should turn to)。所以中途讓B複位相當於部分破壞了兩事件之間的依賴關係，自然改變概率以致不再相等。

綜上，一把左輪手槍，只要AB開槍順序隨機，中彈概率永遠相等。但若想讓A先B後順序決定之後兩人中彈概率仍然相等，只有這兩種選擇: 如果默認A中彈後B上新子彈，則無論A結果如何B需複位；如果默認A中彈後B不上新子彈，則無論A結果如何B不能複位。

好像是一年多以前的問題。偶然翻到了。我是同意你不太認可的答案。

你說的什麼心理壓力放一邊。心理壓力跟概率有什麼關係。或者說。概率算明白了才不會覺得不公平。

我只算了前兩槍的概率。咱就說前兩槍。A死了結束B不被打。這樣的話AB挨打的概率都是6分之1。那個兄弟列出算式了。

然後你的伸延。換槍的事兒。也得是A死了完事兒B不挨搶才算倆人死的概率都是六分之一。

關於兒子那事兒啊~兒子出來說。為嘛我爸承受6分之1的概率。你就不承受5分之1的概率呢。

這個人應該回答。因為規則就是你爸死算拉倒。我承受5分之1的概率是建立在你爸得到6分之5的結果上所以才公平。如果不拉倒。為嘛你爸承受6分之1的概率我就得承受5分之1的概率呢？這才不公平。

現在總結公平形式。（我只算了前兩槍哈）

1傳統規則。死了就完事兒

2一個6發左輪一個5發左輪。死了完事兒

3 兩個6發左輪。一人一槍。這個死那個也得打。

反正概率是這麼算的。這麼整就是公平。心理壓力的事兒我不懂。不管壓力大不大。活著的概率一樣。

看到題目想歪了