關於勒讓德變換的一些事情

來自專欄不懂數學的人的物理之路6 人贊了文章

這可能是這個專欄里第一篇真正意義上和物理有關的文章了。

說起來其實我很早以前就想寫這部分內容，但是這兩個星期幫我很喜歡的一位女神學姐一個小忙，再加上最近也開始在ubuntu上搗鼓lammps，所以就耽擱住了。

數學和物理的相關性其實真的是一件很神奇的事情——我們完全沒有任何理由指出數學應當和物理具有相關性，正所謂「宇宙的最不可理解之處在於它是可理解的」。物理學本是也本應當是一門實驗科學，我們應該像所有的化學家那樣去總結「推球定律」而不是簡單地寫下F=ma（這姑且算是一個很有名的關於物理和化學的小笑話，有興趣的話大家可以去百度）

然而事實並非如此：物理定律完美地滿足了空間平移對稱和時間平移對稱，使得（就目前為止）物理定律在數學上都是成立的。這也正是我為什麼這麼喜歡理論力學的原因：它基於一條原理，用完整（可能不算太）嚴密的推導，搭建起了自拉格朗日以來近現代物理學的體系。

所以今天我就姑且算是準備大體上介紹一下一個在物理學中十分常用的數學變換：Legendre Transformation（勒讓德變換）

首先我們給出勒讓德變換的定義：

設y=f(x)為一凸函數，也即f的二階導數大於0，對給定的p，考慮直線y=px，對每個p值

函數px-f(x)=F(p,x)在x=x(p)時對x有最大值，定義g(p)=F(p,x(p))為f的勒讓德變換。

它具有一些比較基本的性質，比如對合性，即f和g互為勒讓德變換，這些數學上的東西我們在這裡不多深究。

說到底，勒讓德變換就是下面這個式子：

對上式做個簡單的變形：

這就是對應於xdy的一個勒讓德變換了。

下面我們簡單地基於上面的式子做一些關於勒讓德變換的應用。

Part 1.由拉格朗日函數導出哈密頓函數及哈密頓正則方程

首先我們寫出作為坐標和速度的拉格朗日函數：

它的全微分為：

按定義，我們有

所以

對上式最右項做勒讓德變換：

代入上式，整理：

稱左式微分變數為系統的哈密頓函數，其定義為：

則上微分等式可以寫成：

這樣我們就可以得出正則方程：

一般地，在質點動力學裡，我們有：

Part 2.由熱力學基本方程得出其他三個熱力學方程

首先我們知道熱力學基本方程是：

先對pdV做勒讓德變換：

代入上式：

再對Tds做勒讓德變換：

代入第一個方程：

再將兩個勒讓德變換一同帶入第一個方程：

於是我們得到了四個熱力學方程：

稱H=U+pV為焓，F=U-Ts為亥姆霍茲自由能，G=U+pV-Ts為吉布斯自由能。

雖然這種變換似乎只是做了簡單的變數改變，但是在物理上，通過這種變換定義了很多新的物理量，也使得一些計算變得更加便捷。總體來說是很實用的，了解一下也沒什麼壞處。

參考資料：

1. 阿諾德. 經典力學的數學方法[M]. 北京:高等教育出版社, 2006.
2. 朗道. 力學[M]. 北京:高等教育出版社, 2007.
3. 林宗涵. 熱力學與統計物理學[M]. 北京:北京大學出版社, 2007.

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