ct8 隨機過程布朗運動筆記

09-01

ct8 隨機過程布朗運動筆記

summary：

stochastic process
Markov processes
white noise， random walk
brownian motion， standard brownian motion
diffusion process
GBM, OU, square root, CIR, Lévy process
Itós Lemma

所有的內容通過上面的關係展開，幫自己理清楚一下邏輯，我一直掙扎在講這個是為了什麼講這個又是要幹嘛。

Stochastic process

隨機過程是一個關於時間t對的方程，這個時間可連續也可以離散。我們可以用它來做金融工具和derivative 的模型。

性質

increment： $X({t_2})-X({t_1})$ ；老師說這個東西雖然叫increment，但是它的值也可以是negative，只是一般情況都是上升的
$X({t_2})-X({t_1})$ ， $X({t_3})-X({t_2})$ $,....,X({t_2n})-X({t_2n-1})$ 對於length沒有重疊的間隔，他們都是相互獨立的；比如說t3-t2 和 t6-t5 他們的間隔是沒有重疊的部分的，所以他們互相獨立，簡單來說只和length有關和其他無關
stationary increment（這裡的stationary 是strong stationary $Rightarrow$ same distribution; distribution of $X(t_{2+h})-X(t_{1+h})$ is the same for all h; 再次印證來只和length有關，因為不管h怎麼變，他們的length都是 $t_{2}-t_{1}$

Exercise 1一個process有stationary的mean和covariance over time。這個跟我們上面提到的stationary比哪個更strong？當然是上面提到的更strong，一個只是二階矩相同，一個是distribution都一樣，那就是n階矩都相同

Markov Process

滿足下面Markov性質的隨機過程=Markov process

$P((X_{t})=a|X( t_{n})=x_{n},...,X( t_{1})=x_{1})$ = $P(( X_{t})=a|X(t_{n})=x_{n})$ 用大白話說：預測這個東西，跟之前的情況一點關係沒有，只和他前一刻的信息有關；就是考試前做再多努力都是白費，只跟臨時抱佛腳有關，想來有點美滋滋；但是人類進步的軌跡並不符合Markov property有點可惜。

然後老師舉了四個例子的Markov process：

discrete time，discrete state space(CRR model)
discrete time, continuous state space (AR model)
continuous time, discrete state space(poisson process)
continuous time, continuous state space(Brownian Motion in this unit)

然後簡單來解釋一下連續和離散的概念：我覺得老師解釋的特別好借用一下「離散就是可數，連續就是不可數；

然後我用上面的四個type作為例子來應用一下：

CRR :這個模型就是一個預測股價的模型，每個時間點要麼up 要麼down；所以時間點都是可數的，state space{up,down}; $Rightarrow$ 所以說它是 離散時間；離散state space。

AR model: 不同時點構成的序列不同；所以這個時點是countable；但是state space無窮無盡（uncountable）

poisson process: 這個就比較熟悉一點了；一段時間間隔里上車的人數；他不是時間點，是一個interval，所以時間不可數（continuous time），但是上車的人數是可以數的（discrete state space）

brownian motion：下面詳細講

然後到這裡我知道回憶stochastic process，Markov process是幹什麼了 $Rightarrow$ 引出今天的主題brownian motion，它也屬於Markov process的一種。

white noise， random walk

$varepsilonsim N(0,sigma^{2})$

cov{ $varepsilon_{t},varepsilon_{s}$ )=0 $t e s$

cov( $varepsilon_{t},varepsilon_{s}$ )= $sigma^{2}$ t=s

這是white noise的性質，只要 $t e s$ ,他們就是相互獨立的，cov=0; 反之，如果cov=0,並不能說明他們獨立。

然後介紹來white noise。

$x_{1}=x_{0}+z_{1}$

$x_{2}=x_{1}+z_{2}$

$x_{n}=x_{n-1}+z_{n}=sum_{i=1}^{n}{}z_{i}$ n=1,2....

$z_{i}$ are $i.i.d$

老師是這麼解釋random walk的「之前的信息（previous）+new information）， $z_{i}$ 是不同時間點的new information；{ $z_{i}$ } 是一個隨機過程吧，所以他滿足increment identical。

Brownian Motion

前面介紹random walk就是為了引出 brownian motion，random walk是一個離散時間，連續state space的隨機過程，現在我們用連續時間的視覺去看待它 $ightarrow$ 就是把隨機遊走的時間切的很小很小，在這個賊小的時間裡，這個時間就可以看作continuous的了。

notation：

displacement： $Delta x$

$z_{i}$ :length of the ith step taken in small time interval $Delta t$

p{ $z_{i}= Delta x$ }=p

p{ $z_{i} = -Delta x$ }=q

p+q=1 0<p<1

p is independent of x and t;

老師解釋了一下為什麼只有兩個state：因為我們假設分割的非常小，只能up 和 down；更重要的這只是一個model，我們就是用來方便的，你一堆state 還怎麼玩下去。

$E(Z_{i})=p*Delta x-Delta x*q$ (離散變數的求期望）

$var(Z_{i})=E(Z_{i}^{2})-[E(Z_{i})]^2=4pq*(Delta x)^2$

前面說了我們通過把random walk（discrete time，continuous state space）的時間切割成n小塊來等化成布朗運動（continuous time， continuous state space）。

這裡有一堆公式懶得打了，反正就是求期望求方差求MGF。

然後求出了brownian motion(BM): $dX_{t}=mu dt+e_{t}sigmasqrt{dt}$

BM的性質：

$x_{0}=0$
$x_{t}$ has stationary and independent increments
$X_{t}sim N( mu t,sigma^{2}t)$
$M_{X_{t}}( heta)=E(e^{ heta X_{t}})=e^{mu t heta+frac{1}{2}sigma^{2}t heta^{2}}$

然後下面講了幾個特殊的例子

Standard Brownian Motion
Geometric Brownian Motion

未完待續