從傅科擺到諧振式陀螺儀

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微機電(MEMS)諧振陀螺儀也許大家並不熟悉，每次我跟人解釋說自己目前在做什麼，都是拿出來手機一歪，屏幕也就跟著翻轉了，能測量這個手機姿態動作的感測器，就叫做微機電陀螺儀。說起來它的原理，其實跟一個著名的科普實驗，傅科擺，都是利用了科里奧利力。

一個單擺，如果大地是靜止不動的，那麼單擺的軌跡在地面上的投影也應該是一條直線。但是由於地球的自轉，它的投影的軌線其實是一個規則的曲線。如下兩圖均來自維基百科。

科里奧利力就是造成這種現象的原因，簡單來說，如果一個物體在xy平面上如果有一個速度v，當z軸上有旋轉的時候，會在xy平面內產生另一個力，如下圖所示。

如果把這個擺看做一個兩自由度的彈簧振子模型，理想情況下，它的數學模型可以表示為

傅科擺是利用了這個系統的自由響應，為了簡化說明，假定x軸上在有一定初速度/位置的情況下，它的運動軌跡如下圖所示

就是一個簡諧振蕩的振子。

當z軸上發生了旋轉的時候，它的軌跡就會發生變化：

如果我們能觀察到它的運動xy軸上的分量，那麼我們就可以反算出這個運動軌跡的相對於xy軸的夾角，我們就得到了一個角度感測器。

儘管這一套理論幾百年前大家就理解了，但是離它變成一個廣泛實用的旋轉類感測器，也就是最近三十年不到的事情，為什麼呢？主要是因為阻尼的存在，傅科擺是一個利用自由響應的系統，當初始能量耗散完了，它也就停機了。

傅科擺的擺線總是很長，根據單擺周期公式

反過來說，線越長，單擺的諧振頻率就越小，大家如果回去翻線性系統的書，阻尼一定的情況下，諧振頻率越小，二階系統的ring down時間就越長。換句話說，線越長，它能震蕩的時間也越久。線越長，體積也就越大，那就很少能有他應用的場合，所以長期以來傅科擺只是用來做科普存在於博物館裡-博物館裡的傅科擺也是有自動充能的，不然不能一直振動下去。在需要姿態測量的應用里，之前一直是飛輪式的陀螺儀在佔據主導位置。

到了90年代左右，微加工技術有了長足的進步，就有人想用微米尺度的振子彈簧系統來做角度旋轉類的感測器，但是想利用自由響應，還是非常之困難，mems的諧振頻率動輒數百數千hz以上，它的自由響應能量在幾個毫秒內就可以耗散完畢了。那麼學博物館裡那種利用控制系做反饋充能的辦法呢？當然理論上是可以，但是由於種種複雜性，這個到目前仍沒有成熟的解決方案（也是我目前的研究方向之一）。大家於是就妥協利用了它的受迫響應。如下圖所示，在兩個自由度上，對一個自由度x上施加一個力不停的激勵它，不停的給它充能，那麼另一個自由度y上一樣也會有對旋轉的感知。只要檢測y方向上的位置變化，一樣可以檢測到旋轉的變化，但是它不再是一個角度感測器，而是一個角速度感測器。

我之前寫過一篇專欄，講的其實就是如何把其中一個模態鎖定到諧振頻率上。