數論（8）——類域論

09-02

數論（8）——類域論

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Part I：拓撲群的投射完備化和無限Galois理論

在無限次Galois擴張 $L/K$ 中， $L/K$ 的中間域與Galois群 $Gal(L/K)$ 的子群的一一對應關係不再成立：子群比中間域更多！但是呢，可通過考慮Galois群 $Gal(L/K)$ 的Krull拓撲挽救這個關係： $L/K$ 的中間域一一對應 $Gal(L/K)$ 的閉子群. 這個Krull拓撲是這樣定義的：

定義1（Krull拓撲）：設 $L/K$ 是Galois擴張，賦予 $Gal(L/K)$ 拓撲結構使得它在任一元素 $sigma$ 處的鄰域基為
$sigma Gal(L/M)$ , $M/K$ 是有限Galois子擴張
稱之為 $Gal(L/K)$ 的Krull拓撲.

直觀地說，Krull拓撲的效果就是： $Gal(L/K)$ 的兩個元素 $sigma, au$ 充分近是指存在有限Galois子擴張 $M/K$ 使得 $sigma|_{K}= au|_{K}$ . 易知 $Gal(L/K)$ 關於Krull拓撲成為一個拓撲群.

定義2（投射有限群）：一個投射有限群（profinite group） $G$ 是指一些有限群的投射極限. 賦予這些有限群離散拓撲再在拓撲空間範疇里取投射極限使得 $G$ 成為拓撲群. 一個拓撲群是投射有限的 $iff$ 它是緊緻且完全不連通的 $iff$ 它是Hausdorff緊群且單位元 $1$ 處有一組由正規子群組成的鄰域基.

設 $G$ 是拓撲群，則它的投射有限完備化是指

$widehat{G}:=varprojlim_{U}G/U$

其中 $U$ 取遍 $G$ 的所有具有有限指數的正規開子群. 說白了， $widehat{G}$ 就是包含 $G$ 的最小的投射有限群啦！用範疇化的語言說，我們有一個自然的連續同態 $G o widehat{G}$ （不必單射）使得所有 $G$ 到投射有限群的連續同態都通過 $widehat{G}$ 唯一分解唄. 但是，

我們認為 $G$ 幾乎同構於 $widehat{G}$ ： $G$ 的指數有限的開子群和 $widehat{G}$ 的指數有限的開子群是一一對應的！而事實上我們關心的是 $L/K$ 有限Galois子擴張，它對應的恰好是 $Gal(L/K)$ 的指數有限的開子群！

回到Galois群 $Gal(L/K)$ ，事實上它就是投射有限群：

$Gal(L/K)simeq varprojlim_{M/F: ext{有限Galois子擴張}}Gal(M/K),qquad sigmamapsto (sigma|_{M})_{M}$

它滿足

當 $L/K$ 是有限擴張時， $Gal(L/K)$ 的Krull拓撲就是離散拓撲.
對任意有限子擴張 $M/K$ , 子群 $Gal(L/M)$ 是開集.
$Gal(L/K)$ 的任意開子群 $H$ 也是閉集且 $(G:H)<infty$ .
對任意子擴張 $M/K$ ，子群 $Gal(L/M)$ 是閉集.

（無窮Galois對應）設 $L/K$ 是Galois擴張，則

${ ext{中間域}M}leftrightarrows { ext{閉子群}Hsubset Gal(L/K)}$

$M/Klongrightarrow Gal(L/M)$

$L^{H}/Klongleftarrow H$

且滿足

反序： $H_{1}subset H_{2}iff L^{H_{1}}supset E^{H_{2}}$ 且 $M_{1}subset M_{2}iff Gal(L/M_{1})supset Gal(L/M_{2})$ .
Galois子擴張 $M/K$ 一一對應於正規子群 $H riangleleft Gal(L/K)$
對任意中間域 $M$ 都有雙射 $Gal(L/K)/Gal(L/M)simeq Hom_{K}(M,L),~sigma cdot Gal(L/M)mapsto sigma|_{M}$ 且當 $M/K$ 是Galois擴張時誘導拓撲群同構 $Gal(L/K)/Gal(L/M)simeq Gal(M/K)$
有限子擴張對應開子群

Part II：有限域的Abel擴張

我們先以類域論平行的方式敘述類域論的Baby版本——有限域 $mathbb{F}_{q}$ 的Abel擴張，將之作為類域論的前奏.

由有限域的Galois理論可知有限域的最大Abel擴張 $mathbb{F}_{q}^{ab}$ 就是代數閉包 $overline{mathbb{F}_{q}}=igcup_{n}mathbb{F}_{q^{n}}$ ，且絕對Galois群

$Gal(overline{mathbb{F}_{q}}/mathbb{F}_{q})simeq widehat{mathbb{Z}}:=varprojlim_{ngeq 1}mathbb{Z}/nmathbb{Z}$

其中右邊按 $nmid n implies mathbb{Z}/nmathbb{Z} woheadrightarrow mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ 定義逆向極限. 具體來說，對 $dmid n$ ，考慮交換圖

於是由無限Galois理論可知

${mathbb{F}_{q} ext{的有限Abel擴域}}leftrightarrows {Gal(mathbb{F}_{q}^{ab}/mathbb{F}_{q}) ext{的開子群}}leftrightarrows {widehat{mathbb{Z}} ext{的開子群}}$

事實上，存在如下幾乎同構的同態：

$ho_{mathbb{F}_{q}}:mathbb{Z} o Gal(mathbb{F}_{q}^{ab}/mathbb{F}_{q}),qquad rmapsto sigma_{q}^{r}$

其中 $sigma_{q}in Gal(mathbb{F}_{q}^{ab}/mathbb{F}_{q})$ 定義為 $sigma(a)=a^{q}$ . 於是得到複合映射

$mathbb{Z} o Gal(mathbb{F}_{q}^{ab}/mathbb{F}_{q})simeq widehat{mathbb{Z}}:=varprojlim_{ngeq 1}mathbb{Z}/nmathbb{Z},qquad rmapsto (r+nmathbb{Z})_{n}$

綜上，我們得到如下一一對應

${mathbb{F}_{q} ext{的有限Abel擴域}}leftrightarrows {Gal(mathbb{F}_{q}^{ab}/mathbb{F}_{q}) ext{的開子群}}leftrightarrows {mathbb{Z} ext{的指數有限的子群}}$

其中第二個一一對應由 $Umapsto ho_{mathbb{F}_{q}}^{-1}(U)$ 給出.

總結一下：「易於了解的群」 $mathbb{Z}$ 起著 $Gal(mathbb{F}_{q}^{ab}/mathbb{F}_q)$ 那樣的作用.

Part III：局部類域論

設 $K$ 是局部域. 局部類域論說存在一個唯一的幾乎同構的連續同態

$heta_{K}:K^{ imes} o Gal(K^{ab}/K)$

（稱之為局部Artin映射）滿足如下條件

若 $K$ 是非阿局部域，則下圖交換

其中 $Gal(K^{unr}/K)simeq Gal(k^{sep}/k)simeq hat{mathbb{Z}}$ 且第二行是第一行的投射有限完備化.

2. （函子性）設 $L/K$ 是有限擴張， $N_{L/K}:L^{ imes} o K^{ imes}$ 是范映射，則下圖交換

3. 一一對應

${K ext{的有限Abel擴域}}leftrightarrows {Gal(K^{ab}/K) ext{的開子群}}leftrightarrows {K^ imes ext{的指數有限的開子群}}$

$Lleftrightarrows(Gal(K^{ab}/K) o Gal(L/K) ext{的核})leftrightarrows (K^{ imes} o Gal(L/K) ext{的核})=N_{L/K}L^{ imes}$

且複合同態

$K^{ imes } o Gal(K^{ab}/K) woheadrightarrow Gal(L/K)$

是滿射，且核為 $N_{L/K}L^{ imes}$ ，故 $heta_{K}$ 誘導同構 $K^{ imes}/N_{L/K}L^{ imes}simeq Gal(L/K)$ .

作為推論，

Part IV：整體類域論

設 $K$ 是整體域， $v$ 是 $K$ 的一個位（非平凡賦值等價類），則完備化 $K_{v}$ 是一個局部域. 如果 $v$ 是非阿的， $mathcal{O}_{v}$ 表示 $K$ 的賦值環；如果 $v$ 是阿基米德的， $mathcal{O}_{v}$ 表示 $K_{v}$ .

$K$ 的阿黛爾環（adele ring） $mathbb{A}_{K}$ 定義為限制直積（restricted direct product）

$mathbb{A}_{K}:=prod_{v}(K_{v},mathcal{O}_{v}):=leftlbrace (a_{v})in prod_{v}K_{v}~|~ ext{除了有限個以外 }a_{v}in mathcal{O}_{v} ight brace$

這是一個拓撲環，它的拓撲使得 $prod_{v}mathcal{O}_{v}$ （賦予乘積拓撲）是 $mathbb{A}_{K}$ 的開子集. 對角映射 $Khookrightarrowmathbb{A}_{K}$ 就好像 $mathbb{Z}hookrightarrow mathbb{R}$ 那樣： $K$ 是 $mathbb{A}_{K}$ 的co-compact的離散子群.

$K$ 的伊黛爾群（idele group） 定義為 $mathbb{A}_{K}$ 的單位群 $mathbb{A}_{K}^{ imes}$

$mathbb{A}_{K}^{ imes }:=prod_{v}(K_{v}^{ imes},mathcal{O}_{v}^{ imes}):=leftlbrace (a_{v})in prod_{v}K_{v}^{ imes}~|~ ext{除了有限個以外 }a_{v}in mathcal{O}_{v}^{ imes} ight brace$

這是一個拓撲群，它的拓撲使得 $prod_{v}mathcal{O}^{ imes}_{v}$ （賦予乘積拓撲）是 $mathbb{A}_{K}^{ imes}$ 的開子集. 對角映射 $K^{ imes}hookrightarrowmathbb{A}_{K}^{ imes}$ 就好像 $mathbb{Z}^{ imes}hookrightarrow mathbb{R}^{ imes}$ 那樣： $K^{ imes}$ 是 $mathbb{A}_{K}^{ imes}$ 的離散子群，但拓撲群 $C_{K}:=mathbb{A}_{K}^{ imes}/K^{ imes}$ （稱為伊黛爾類群（idele class group））不是緊的.

伊黛爾類群 $C_{K}:=mathbb{A}_{K}^{ imes}/K^{ imes}$ 在整體類域論中充當著類似局部類域論中 $K^{ imes}$ 的角色. 也就是說，設 $K$ 是整體域，整體類域論說存在一個唯一的幾乎同構的連續同態

$heta_{K}:C_{K} o Gal(K^{ab}/K)$

（稱之為整體Artin映射）滿足如下條件

$heta_{K}$ 誘導拓撲群同構 $widehat{C_{K}}simeq Gal(K^{ab}/K)$ .
（函子性）設 $L/K$ 是有限擴張，范映射 $N_{L/K}:C_{L} o C_{K}$ 由

$N_{L/K}:mathbb{A}_{L}^{ imes} o mathbb{A}_{K}^{ imes},qquad (a_{w})_{w}mapsto left(prod_{w|v}N_{L_{w}/K_{v}}(a_{w}) ight)_{v}$

誘導，則下圖交換

3. 一一對應

${K ext{的有限Abel擴域}}leftrightarrows {Gal(K^{ab}/K) ext{的開子群}}leftrightarrows {C_{K} ext{的指數有限的開子群}}$

$Lleftrightarrows(Gal(K^{ab}/K) o Gal(L/K) ext{的核})leftrightarrows (C_{K} o Gal(L/K) ext{的核})=N_{L/K}C_{L}$

且複合同態

$C_{K} o Gal(K^{ab}/K) woheadrightarrow Gal(L/K)$

是滿射，且核為 $N_{L/K}C_{L}$ ，故 $heta_{K}$ 誘導同構 $C_{K}/N_{L/K}C_{L}simeq Gal(L/K)$ .

4. （局部與整體的關係）設 $v$ 是 $K$ 的一個位. 下圖交換

也就說整體Artin映射 $heta$ 決定了局部Artin映射 $heta_{v}$ . 反之，假設我們已經知道了所有局部Artin同態 $heta_{v}$ ，則可以構造整體Artin映射 $heta:C_{K} o Gal(K^{ab}/K)$ 如下：設 $L/K$ 是有限Abel擴張，定義

$mathbb{A}_{K}^{ imes} o Gal(L/K),qquad (a_{v})_{v}mapsto prod_{v} heta_{v}(a_{v})$

因為 $v$ 在 $L/K$ 中分歧和 $a_{v}in mathcal{O}_{v}^{ imes}$ 推知 $heta_{v}(a_{v})=1$ ，故上述定義其實是有限積. 對所有這樣的 $L$ 取逆向極限得到連續同態

$mathbb{A}_{K}^{ imes} o Gal(K^{ab}/K)$

Artin互反律說它的核就是 $K^{ imes}$ ，於是我們得到整體Artin映射

$heta:C_{K} o Gal(K^{ab}/K)$

推論1：設 $K$ 是整體域， $L/K$ 是有限Abel擴張， $H$ 是 $L$ 對應的 $C_K$ 中指數有限的開子群. 再設 $v$ 為 $K$ 中的素點，考慮複合映射 $ho:K_{v}^{ imes} o C_{K} o C_{K}/H$ ，則

$v$ 在 $L$ 中完全分解 $iff ho(K_{v}^{ imes})={1}$ .
$v$ 在 $L$ 中非分歧 $iff ho(mathcal{O}_{v}^{ imes})={1}$ .
設 $v$ 在 $L$ 中非分歧， $pi_{v}$ 為 $K_v$ 的素元. 那麼在類域論的同構 $C_{K}/H simeq Gal(L/K)$ 中， $ho(pi_{v})$ 恰好對應Frobenius元素 $Frob_{v}in Gal(L/K)$ .

證明：設 $w$ 為 $v$ 上在 $L$ 中的素點. 由賦值理論可知 $w$ 的分解群 $G_{w}=Gal(L_{w}/K_{v})$ . 由整體類域論可知下圖交換

由局部類域論知上圖第一行的複合映射是滿射. 於是由交換圖可得 $ho(K_{v}^{ imes})={1}iff Gal(L_{w}/K_{v})={1}iff v$ 在 $L$ 中完全分解.

剩下的陳述可由交換圖和局部類域論得到.

推論2：設 $K$ 是數域， $mathcal{O}_{K}$ 為其整數環， $mathfrak{a}$ 為 $mathcal{O}_{K}$ 的非零理想.

存在唯一的 $K$ 的有限擴域 $K(mathfrak{a})$ 具有如下性質：設 $mathfrak{p}$ 為 $mathcal{O}_{K}$ 的非零素理想，如果 $mathfrak{p} mid mathfrak{a}$ ，則 $K$ 在 $K(mathfrak{a})$ 中非分歧，且滿足 $mathfrak{p}$ 在 $K(mathfrak{a})$ 中完全分解 $iff$ 存在全正的 $alpha in mathcal{O}_{K}$ 使得 $mathfrak{p}=(alpha),~alpha equiv 1 ext{ mod }mathfrak{a}$
$K(mathfrak{a})$ 為 $K$ 的Abel擴域且 $K$ 的任何一個有限Abel擴域都包含在某個 $K(mathfrak{a})$ 中.
設 $mathfrak{b}$ 為 $mathcal{O}_{K}$ 的非零理想滿足 $mathfrak{b}subset mathfrak{a}$ ，則 $K(mathfrak{b})supset K(mathfrak{a})$ .
設 $L/K$ 是有限Aebl擴張，則存在使滿足 $Lsubset K(mathfrak{a})$ 的 $mathcal{O}_{K}$ 的非零理想 $mathfrak{a}$ 的最大者. 此時，若 $mathfrak{p}in ext{Spec}(mathcal{O}_{K})$ ,則 $mathfrak{p}$ 在 $L$ 中分歧 $iff mathfrak{p}mid mathfrak{a}$ .

推論3：設 $L$ 是數域.

設 $N$ 為自然數，素數 $p mid N$ . 則素數 $p$ 在分圓域 $mathbb{Q}(zeta_{N})$ 非分歧，且 $p$ 在 $mathbb{Q}(zeta_{N})$ 中完全分解 $iff$ $pequiv 1 ext{ mod }N$ .
設 $N$ 為自然數，則 $Lsubset mathbb{Q}(zeta_{N}) iff$ 素數 $p$ 在 $L$ 中完全分解與否由 $p~ ext{ mod }N$ 決定.
$L/mathbb{Q}$ 為Abel擴張 $iff$ 存在某個自然數 $N$ 使得 $Lsubset mathbb{Q}(zeta_{N})$
設 $L/mathbb{Q}$ 為Abel擴張，取包含 $L$ 的最小的分圓域 $mathbb{Q}(zeta_{N})$ ，對素數 $p$ ，則

$p$ 在 $L$ 中分歧 $iff pmid N$ .

證明：此時 $K=mathbb{Q},mathfrak{a}=(N),K(mathfrak{a})=mathbb{Q}(zeta_{N})$ .

推論4：高次互反律

Langlands

Part V：整體類域論的 $L$ -函數版本和Langlands綱領一瞥

設 $G$ 是局部緊Abel群，稱 $G$ 到複平面的單位圓 $S^{1}$ 的全體連續同態為 $G$ 的特徵（character），全體特徵組成的集合記為 $G^{ast}$ ，它也是一個局部緊的Abel群，稱之為 $G$ 的對偶群（或特徵群）. 我們有著名的

（Pontrjagin對偶定理）：設 $G$ 為局部緊Abel群，則
$Gsimeq (G^{ast})^{ast},qquad gmapsto (G^{ast} o S^{1}:~chimapsto chi(g))$
是拓撲群的同構.

這表明研究局部緊Abel群和研究它的對偶群是一回事. 因此，為了研究 $C_{K}$ 和 $Gal(K^{ab}/K)$ ，我們可以等價地去研究它們的對偶群. 我們把 $C_{K}$ 的特徵稱為Hecke特徵.

設 $K$ 是整體域. 則有如下一一對應
$Gal(K^{ab}/K)^{ast} ightleftarrows {C_{K} ext{的階數有限的特徵}}$
$chi mapsto chi circ heta_{K}$

證明：

因為每個 $1$ -維表示 $chi:Gal(K^{sep}/K) o GL_{1}(mathbb{C})=mathbb{C}^{ imes }$ 的像都落在 $S^{1}$ 中且通過 $Gal(K^{ab}/K)$ 分解，所以特徵和 $1$ -維表示是一回事.

一個native的想法是考慮高維的情形. 絕對Galois群 $Gal(K^{sep}/K)$ 的 $n$ 維Galois表示是指連續同態 $Gal(K^{sep}/K) o GL_{n}(mathbb{C})$ . 記伊黛爾類群 $C_{K}$ 為

$C_{K}=mathbb{A}_{K}^{ imes}/K^{ imes}=GL_{1}(K)ackslash GL_{1}(mathbb{A}_{K})$

Langlands猜想：存在一一對應

${GL_{n}(K)ackslash GL_{n}(mathbb{A}_{K}) ext{的自守表示}} ightleftarrows {Gal(K^{sep}/K) ext{的}~n~ ext{維Galois表示}}$

設 $L/K$ 是有限Galois擴張， $ho:Gal(L/K) o GL_{n}(mathbb{C})$ 是 $n$ 維復表示. 除了有限個例外情形， $mathcal{O}_{K}$ 的素理想 $mathfrak{p}$ 在 $L$ 中非分歧，Frobenius元素 $F_{mathfrak{p}}$ 是 $Gal(L/K)$ 的一個共軛元素類. 由有限群的表示理論，這個共軛類由它們的共同特徵多項式 $det(I_{n}- ho(F_{mathfrak{p}})N(mathfrak{p})^{-s})^{-1}$ 所完全決定的. Artin引進Galois擴張 $L/K$ 的 $L$ -函數（稱為Artin L-函數）

$L(s, ho)=prod_{mathfrak{p}} det(I_{n}- ho(F_{mathfrak{p}})N(mathfrak{p})^{-s})^{-1}$

（對於例外情形的 $mathfrak{p}$ 需要稍微修正一下）.

（整體類域論）：設 $L/K$ 是Abel擴張且 $ho$ 是 $G$ 的 $1$ -維表示， $L(s, ho)$ 是對應的Artin $L$ -函數. 則存在唯一的 $C_{K}$ 的Hecke特徵 $chi$ 使得

$L(s, ho)=L(s,chi)$ .

（Langlands第一猜想）設 $L/K$ 是Galois擴張，每個 $Gal(L/K)$ 的 $n$ 維不可約復表示 $ho$ 的Artin $L$ -函數 $L(s, ho)$ 一定是 $GL_{n}(mathbb{A}_{K})$ 對某個自守表示 $pi$ 的 $L$ -函數 $L(s,pi)$ ：