數學分析筆記（五）——積分

09-02

數學分析筆記（五）——積分

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前言

積分通常分為不定積分和定積分，對於不定積分（或原函數）在上一篇文章中已經介紹過，本文主要講定積分，具體而言是黎曼積分.

不定積分主要研究的是找出原函數，原函數存在定理指出：「若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續，則在 $[a,b]$ 上存在原函數。」只是有一些原函數可以用初等函數表出，而有些則不能。其中的一些細節在上篇文章中已經討論過了。

而定積分主要研究的是可積性以及一些運算.它與不定積分通過微積分基本定理建立聯繫，應注意，有原函數的函數未必可積，可積函數也未必有原函數.至於具體的反例，這裡推薦一本書，《實分析中的反例》-汪林.了解反例有助於理解定義、定理的細節.

本文的脈絡如下：

黎曼可積函數的介紹在定義中出現
先講關於可積性的一些條件，包括一個必要條件，一個充分條件及其三個推論，還有就是兩個充要條件.希望讀者能注意到其內在的關聯.另外，可積函數的集合 $mathcal R[a,b]$ 是一個向量空間，這裡還要基於向量空間的角度分析其性質，最後通過測度的概念再介紹一個可積的充要條件.
接著講定積分的一些性質，包括線性性（同一區間中的兩個可積函數），可加性（一個可積函數在兩個相鄰區間中）和單調性（區間內兩函數的大小關係限制著積分的大小關係）.最後通過單調性及其推論引出積分第一中值定理，再通過阿貝爾變換及其推論引出積分第二中值定理.
然後介紹積分與導數，這部分先通過變上限積分來介紹原函數存在定理，然後通過牛頓-萊布尼茨公式指出不定積分與定積分的關係，隨後通過分部積分引出帶積分余項的泰勒公式，最後講通過變數替換計算積分的原理.
最後講反常積分，這裡比較重要的就是關於收斂性的判別，首先指出綱領性的柯西判別法，進而討論絕對收斂相關的命題.最後基於積分第二中值定理，討論積分收斂性的阿貝爾-狄利克雷準則.
最後的最後，作為應用，會介紹道路及其相關的概念，這些主要出現在定義部分.一個相關的命題就是說換元不會改變道路的長度.

這裡之所以特別摘錄道路的概念，是因為在隨後的多元函數的相關章節中會被頻繁提及.

1. 定義

閉區間 $[a,b]$ 的分劃 $P$ 指的是由這個區間的有限多個點 $x_0,cdots,x_n$ 做成的點組，其中 $a=x_0<x_1<cdots<x_n=b.$
區間 $[x_{i-1},x_i](i=1,cdots,n)$ 叫做分劃 $P$ 的區間.
分劃 $P$ 的最大區間長 $lambda(P)$ 叫做分劃 $P$ 的參數.
如果 $P$ 是閉區間 $[a,b]$ 上的一個分劃，而且在它的每個區間 $[x_{i-1},x_i]$ 中選定了一個點 $xi_iin[x_{i-1},x_i] (i=1,cdots,n)$ ，則說給出了區間 $[a,b]$ 的一個帶標誌點的分劃 $(P,xi)$ .數組 $(xi_1,cdots,xi_n)$ 用 $xi$ 表示.

給定閉區間 $[a,b]$ ，在其帶標誌點的分劃的集合 $mathcal P$ 中考察基 $mathcal B={B_d}$ .其元素 $B_d(d>0)$ 是區間 $[a,b]$ 的一切滿足條件 $lambda(P)<d$ 的帶標誌點的分劃 $(P,xi)$ 的集合.則 ${B_d}$ 是 $mathcal P$ 的基.

如果函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上定義，而 $(P,xi)$ 是這個區間的一個帶標誌點的分劃，則 $sigma(f;P,xi):=sum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_i$ 叫做函數 $f$ 在 $[a,b]$ 上對應於帶標誌點的分劃 $(P,xi)$ 的積分和，其中 $Delta x_i=x_i- x_{i-1}.$
設 $f$ 是給定區間 $[a,b]$ 上的函數.如果對於任何 $varepsilon>0$ 可以找到 $delta>0$ 使對區間 $[a,b]$ 的任何帶標誌點的分劃 $(P,xi)$ ，只要其參數 $lambda(P)<delta$ 就有 $Big|I-sum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_iBig|<varepsilon$ , 就稱數 $I$ 是函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上的黎曼積分.

對於函數 $f$ ,積分和 $sigma(f;P,xi)$ 是定義在 $mathcal P$ 上的函數 $Phi(p)=sigma(f;p)$ ，這裡 $p=(P,xi)$ 跑遍區間 $[a,b]$ 上帶標誌點的分劃的集合 $mathcal P$ .這樣，黎曼積分的定義等價於 $I=lim_mathcal BPhi(p)$ ，自然可以用 $lambda(P) ightarrow 0$ 表示基 $mathcal B$ ，於是積分定義可改寫為 $I=lim_{lambda(P) ightarrow 0}sum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_i.$

函數 $f$ 在區間 $[a,b]$ 上的積分用符號 $int_a^bf(x)dx$ 表示.數 $a,b$ 分別叫做積分的下限和上限； $f$ 叫做被積函數， $f(x)dx$ 叫做被積表達式， $x$ 叫做積分變數.那麼 $int_a^bf(x)dx:=lim_{lambda(P) ightarrow 0}sum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_i.$
如果對於函數 $f$ ，極限 $lim_{lambda(P) ightarrow 0}sum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_i$ 存在，就稱 $f$ 是 $color{red}{黎曼可積函數}$ .（下面用「積分」代替「黎曼積分」，用「可積函數」代替「黎曼可積函數」）
在區間 $[a,b]$ 上一切可積的函數所成的集合用 $color{red}{mathcal R[a,b]}$ 表示.
設 $f:[a,b] ightarrowmathbb R$ 是定義在 $[a,b]$ 上的有界實值函數， $P$ 是區間 $[a,b]$ 的一個分劃， $Delta_i(i=1,cdots,n)$ 是分劃 $P$ 的區間.設 $m_i=inf_{xinDelta_i}f(x)，M_i=sup_{xinDelta_i}f(x)(i=1,cdots,n).$ 那麼和式 $s(f;P)=sum_{i=1}^nm_iDelta x_i$ 以及 $S(f;P)=sum_{i=1}^nM_iDelta x_i$ 分別叫做 $f$ 在 $[a,b]$ 上對應於分劃 $P$ 的下積分和與上積分和.
如果對於任何 $varepsilon>0$ ，存在集合 $E$ 的由最多可數個開區間組成的覆蓋 ${I_k}$ ，且這些區間的長度和 $sum_{k=1}^infty|I_k|$ 不超過 $varepsilon$ ，就稱集合 $Esubsetmathbb R$ （在勒貝格意義下）有零測度，或稱它是一個零測度集.
在集合 $X$ 上，如果除去零測度集的點，某一性質都成立，就說該性質在集合 $X$ 上幾乎處處成立，或說在集合 $X$ 的幾乎所有點具備該性質.
設每個由閉區間 $[a,b]$ 的點 $alpha,eta$ 組成的有序點對 $(alpha,eta)$ 對應於一個數 $I(alpha,eta)$ ，而且對於任意三點 $alpha,eta,gammain[a,b]$ 成立等式 $I(alpha,gamma)=I(alpha,eta)+I(eta,gamma)$ .那麼函數 $I(alpha,eta)$ 就叫做包含於 $[a,b]$ 中的區間上定義的定向區間的可加函數.（積分是積分區間的可加函數）
設 $f$ 是閉區間 $[a,b]$ 上的可積函數.考慮這個區間上的函數 $F(x)=int_a^xf(t)dt$ ，把它叫做變上限積分.
對於區間上的連續函數 $xmapstomathcal F(x)$ 和函數 $xmapsto f(x)$ ，如果除去有限多個點以外，在區間上成立關係 $mathcal F』(x)=f(x)$ ，就稱 $mathcal F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函數（廣義原函數）.
設函數 $xmapsto f(x)$ 定義在區間 $[a,+infty)$ 上，且在任何包含在這個區間內的閉區間 $[a,b]$ 上可積.如果下式右端極限存在， $int_a^{+infty}f(x)dx:=lim_{b ightarrow+infty}int_a^bf(x)dx.$ 那麼它就叫做函數 $f(x)$ 在區間 $[a,+infty)$ 上的反常黎曼積分，或簡稱為反常積分.（ $int_a^{+infty}f(x)dx$ 本身也叫反常積分，存在就叫做收斂的反常積分，反之就叫做發散的反常積分）
設函數 $xmapsto f(x)$ 定義在區間 $[a,B)$ 上，而在任何閉區間 $[a,b]subset[a,B)$ 上可積.如果下式右端極限存在， $int_a^Bf(x)dx:=lim_{b ightarrow B-0}int_a^bf(x)dx$ ，就稱之為 $f$ 在 $[a,B)$ 上的反常積分.
設 $[a,omega)$ 是有限或無限區間， $xmapsto f(x)$ 是定義在這個區間上的函數，而且他在每個區間 $[a,b]subset[a,omega)$ 上可積.那麼，如果下式右端極限存在， $int_a^omega f(x)dx:=lim_{b ightarrowomega}int_a^bf(x)dx$ ，就稱之為函數 $f(x)$ 在區間 $[a,omega)$ 上的反常積分.（今後若無聲明，提及反常積分時，採取上述定義）
如果積分 $int_a^omega|f(x)|dx$ 收斂，就稱反常積分 $int_a^omega f(x)dx$ 絕對收斂.
反常積分如果收斂，但不絕對收斂，則說它是條件收斂的反常積分.

2. 重要的結論和定理

$color{red}{2.1 關於可積性}$

命題 1（可積性的必要條件）

$(finmathcal R[a,b])Rightarrow(f在[a,b]上有界).$

證明提要：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上無界，則可找到 $[x_{i-1},x_i]$ 是函數在該區間內無界，這意味著可以找到點 $xi_iin[x_{i-1},x_i]$ 使 $f(xi_i)$ 任意大，進而可使積分和 $sigma(f;P,xi)$ 任意大，沒有極限.

命題 2（可積性的充分條件）

為使閉區間 $[a,b]$ 上的有界函數 $f$ 這個區間上可積，只要對於任意的 $varepsilon>0$ 都存在 $delta>0$ ，使對區間 $[a,b]$ 的參數 $lambda(P)<delta$ 的分劃 $P$ 總成立關係 $Big|sum_{i=1}^nomega(f;Delta_i)Delta x_iBig|<varepsilon.$

證明提要：通過構造一個分劃以及其開拓（由原分劃添加點得到新的分劃），並對二者所形成的積分和做差，發現此差的絕對值不大於原分劃每個區間的振幅之和.而由條件，振幅之和是受 $varepsilon$ 限制的，進而由絕對值不等式可知，任意兩種分劃的積分和之差都受 $varepsilon$ 限制，那麼由柯西準則，隨著 $lambda(P)$ 縮小，積分和所成的序列是柯西列.意味著極限 $lim_{lambda(P) ightarrow 0}sum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_i$ 存在， $finmathcal R[a,b].$
證
設 $P$ 是區間 $[a,b]$ 的一個分劃， $ilde{P}$ 是分劃 $P$ 的開拓.下面估計二者積分和之差
$|sigma(f; ilde P, ildexi)-sigma(f;P,xi)|$ $=Big|sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{n_i}f(xi_{ij})Delta x_{ij}-sum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_iBig|$
$=Big|sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{n_i}f(xi_{ij})Delta x_{ij}-sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{n_i}f(xi_i)Delta x_{ij}Big|$
$=Big|sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{n_i}(f(xi_{ij})-f(xi_i))Delta x_{ij}Big|$
$leqslantsum_{i=1}^nsum_{j=1}^{n_i}| f(xi_{ij})-f(xi_i)|Delta x_{ij}$

$leqslantsum_{i=1}^nsum_{j=1}^{n_i}omega(f;Delta_i)Delta x_{ij}$ $=sum_{i=1}^nomega(f;Delta_i)Delta x_i$
註：其中 $color{brown}j$ 是每個 $color{brown}{Delta_i}$ 中點的序號（由開拓分劃形成的），即 $color{brown}{Delta x_i=sum_{j=1}^{n_i}Delta x_{ij}}$ .另外， $color{brown}{|f(xi_{ij})-f(xi_i)|leqslantomega(f;Delta_i)}.$
由條件，進一步發現對任何 $varepsilon>0$ 都有 $delta>0$ 使對 $[a,b]$ 的參數 $lambda(P)<delta$ 的分劃 $P$ 及其開拓 $ilde P$ ，及二者標誌點 $xi, ildexi$ 總有 $|sigma(f; ilde P, ildexi)-sigma(f;P,xi)|<frac{varepsilon}{2}$ .現任取 $[a,b]$ 上的兩個帶標誌點的分劃 $(P』,xi』),(P』』,xi』』)$ ，考察分劃 $ilde P=P』cup P』』$ （它是 $P』,P』』$ 的開拓），由上述事實，有
$|sigma(f; ilde P, ildexi)-sigma(f;P』,xi』)|<frac{varepsilon}{2},$
$|sigma(f; ilde P, ildexi)-sigma(f;P』』,xi』』)|<frac{varepsilon}{2}.$
那麼對於 $lambda(P』)<delta, lambda(P』』)<delta$ ，就有 $|sigma(f;P』,xi』)-sigma(f;P』』,xi』』)|<varepsilon.$ 於是，根據柯西準則，積分和的極限 $lim_{lambda(P) ightarrow 0}sum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_i$ 存在.

推論 1

$(fin C[a,b])Rightarrow(finmathcal R[a,b])$ .即閉區間上任何連續函數在這個區間上可積.

證明提要：閉區間上連續函數也一致連續，那麼對於任何 $varepsilon>0$ ，可找到 $delta>0$ 時，使任何區間 $Deltain[a,b]$ 只要 $Delta$ 的長度小於 $delta$ ，可以使 $omega(f;Delta)<frac{varepsilon}{b-a}.$ 這樣直接使用命題2即可完成證明.

推論 2

如果定義在閉區間 $[a,b]$ 上的有界函數 $f$ 在該區間上最多除有限多個點以外是連續的，則 $finmathcal R[a,b].$

證明提要：對 $[a,b]$ 照分劃不誤，但要把間斷點用其鄰域與其他部分分開，分別討論.對於連續的部分，由一致連續性可將分劃所得區間的振幅和進行 $varepsilon$ 限制；而對於間斷點部分，注意到其振幅有界（因為函數有界），利用這個界限逐個構造鄰域，只要限制了分劃的區間長度，便也可將這部分的振幅和限制在 $varepsilon$ 之內.由這兩點即可斷定滿足f可積的充分條件（命題2）.

證
設 $omega(f;[a,b])leqslant C<infty$ ， $f$ 在 $[a,b]$ 上有 $k$ 個間斷點.
對於給定的 $varepsilon>0$ ，取 $delta_1=frac{varepsilon}{8Ccdot k}$ 並對每個間斷點做 $delta_1$ 鄰域.注意到這些鄰域關於 $[a,b]$ 的補集是由有限個閉區間組成的，且在每個區間上連續，因而一致連續.因為這些閉區間數目有限，對 $varepsilon>0$ 可指定 $delta_2>0$ ，使在任何這些區間 $Delta$ 上，只要其長度小於 $delta_2$ ，就有 $omega{f;Delta}<frac{varepsilon}{2(b-a)}$ （一致連續）.現在取 $delta=min{delta_1,delta_2}$ .設 $P$ 是 $[a,b]$ 的一個分劃，且 $lambda(P)<delta$ ，那麼這個分劃所得的區間可分成兩部分，一部分滿足：這些區間與間斷點的 $delta_1$ 鄰域無公共點.另一部分則是剩下的部分.對於第一部分，每個區間的振幅滿足 $omega(f;Delta_i)<frac{varepsilon}{2(b-a)}.$ 那麼振幅和 $Sigmaomega(f;Delta_i)Delta x_i<frac{varepsilon}{2(b-a)}SigmaDelta x_i$ $leqslantfrac{varepsilon}{2(b-a)}(b-a)=frac{varepsilon}{2}.$
對於另一部分，區間長度和為 $2delta_1k<4delta_1k=4frac{varepsilon}{8Ccdot k}cdot k=frac{varepsilon}{2C}.$ 因此，其振幅和 $Sigma』』omega(f;Delta_i)Delta x_i<CSigma』』Delta x_i<Ccdotfrac{varepsilon}{2C}=frac{varepsilon}{2}.$ 那麼當 $lambda(P)<delta$ 時，得到 $sum_{i=1}^nomega(f;Delta_i)Delta x_i<varepsilon.$ 這也就滿足了f可積的充分條件，因此 $finmathcal R[a,b].$

推論 3

閉區間上的單調函數在該區間上可積.

證明提要：這是一個對振幅和放縮的伎倆.對 $varepsilon$ 取 $lambda(P)<delta=frac{varepsilon}{|f(b)-f(a)|}$ ，根據 $f$ 的單調性 $sum_{i=1}^nomega(f;Delta_i)Delta x_i<deltasum_{i=1}^nomega(f;Delta_i)=varepsilon.$

命題 3（可積性的充要條件）

有界實值函數 $f:[a,b] ightarrowmathbb R$ 在閉區間 $[a,b]$ 上可積的充要條件是 $underline I=lim_{lambda(P) ightarrow 0}s(f;P)$ 與 $overline I=lim_{lambda(P) ightarrow 0}S(f;P)$ 存在且相等.這個值就是積分 $int_a^bf(x)dx.$

證明提要：根據上、下積分和的定義顯然有 $s(f;P)leqslantsigma(f;P,xi)leqslant S(f;P)$ 進而易證 $s(f;P)=inf_xisigma(f;P,xi)$ 以及 $S(f;P)=sup_xisigma(f;P,xi).$
充分性：由已知以及極限的性質即可推得 $underline I=lim_{lambda(P) ightarrow 0}sigma(f;P,xi)=overline I.$
必要性：如果 $finmathcal[a,b]$ ，那麼由定義，存在極限 $lim_{lambda(P) ightarrow 0}sigma(f;P,xi)=I$ ，進而可知 $lim_{lambda(P) ightarrow 0}s(f;P)=underline I=I$ ，同理可對上積分和進行證明.

由此可精確化命題 2：

為使閉區間 $[a,b]$ 上的有界實值函數 $f:[a,b] ightarrowmathbb R$ 在該區間上可積，的充要條件是 $lim_{lambda(P) ightarrow 0}sum_{i=1}^nomega(f;Delta_i)Delta x_i=0.$

命題 4 （關於向量空間 $mathcal R[a,b]$ 的性質）

若 $f,ginmathcal R[a,b]$ ，則

$(f+g)inmathcal R[a,b].$
$(alpha f)inmathcal R[a,b].$

將它們改寫成積分和的形式即可推得結論.

$|f|inmathcal R[a,b].$

注意到 $omega(|f|;E)leqslantomega(f;E)$ ，用振幅和可進行判定.

若又有 $[c,d]subset[a,b]$ ，則] $f|_{[c,d]} inmathcal R[c,d].$

先做 $[c,d]$ 的分劃 $pi$ ，再補一些點形成 $[a,b]$ 的分劃 $P$ ，並使 $lambda(P)leqslantlambda(pi)$ .
$[c,d]$ 上 $pi$ 分劃的振幅和顯然不超過 $[a,b]$ 上 $P$ 分劃的振幅和，這樣只要 $lambda(pi) ightarrow 0$ ，就有 $lambda(P) ightarrow 0.$ 那麼觀察振幅和的情況，有上述精確化的命題2可推得 $f$ 在 $[c,d]$ 上可積.

$(fcdot g)inmathcal R[a,b].$

可先證明 $f^2$ 的情況
$f$ 可積，則 $f$ 有界，設在 $[a,b]$ 上 $|f(x)|leqslant C<infty.$
$|f^2(x_1)-f^2(x_2)|$
$=|(f(x_1)+f(x_2))(f(x_1)-f(x_2))|$
$leqslant 2C|f(x_1)-f(x_2)|.$
$omega(f^2;E)leqslant 2Ccdotomega(f;E)$ ，其中 $Esubset[a,b].$
於是 $(finmathcal R[a,b])Rightarrow(f^2inmathcal R[a,b])$

對於 $fcdot g$ ，利用等式 $(fcdot g)(x)=frac{1}{4}[(f+g)^2(x)-(f-g)^2(x)]$
這樣，由前兩個斷語以及上述結論即可完成證明.

命題 5 （關於零測度集的命題）

一個點或有限多個點的集合是零測度集.

一個點的覆蓋可根據選取的 $varepsilon$ 進行覆蓋.有限多個點進一步縮小覆蓋即可.

有限多個或可數多個零測度集的並是零測度集.

無非就是縮小覆蓋.至於可數多個的情形，不妨分別用 $frac{varepsilon}{2^n}$ 限制，進而實現 $sum_{k=1}^infty|I_k|leqslantfrac{varepsilon}{2}+frac{varepsilon}{2^2}+cdots+frac{varepsilon}{2^n}+cdots=varepsilon.$

零測度集的子集本身也是零測度集.

由零測度集和覆蓋的定義直接推得.

當 $a<b$ 時，區間 $[a,b]$ 不是零測度集.

只需證明覆蓋 $[a,b]$ 的開區間之和的長度不小於 $b-a$ 即可，利用歸納法證明.

黎曼-勒貝格定理（Riemann–Lebesgue theorem）（可積性的充要條件）

定義在閉區間 $[a,b]$ 上的函數 $f$ ，當且僅當它在 $[a,b]$ 上有界且幾乎處處連續時，它在該區間上可積.即 $(finmathcal R[a,b])Leftrightarrow(f在[a,b]上有界)wedge(f在[a,b]上幾乎出處連續).$

也稱之為黎曼可積性的勒貝格判別法.

$color{red}{2.2 線性性,可加性,單調性}$

2.2.1 線性函數的積分

定理（線性性）

如果 $f$ 和 $g$ 都是閉區間 $[a,b]$ 上的可積函數，則其線性組合 $alpha f+eta g$ 也是 $[a,b]$ 上的可積函數，且 $int_a^b(alpha f+eta g)(x)dx=alphaint_a^bf(x)dx+etaint_a^bg(x)dx.$

證明提要：可改寫為 $sum_{i=1}^n(alpha f+eta g)(xi_i)Delta x_i=alphasum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_i+etasum_{i=1}^ng(xi_i)Delta x_i.$ 當 $lambda(P) ightarrow 0$ 時等式兩端相等.

2.2.2 可加函數的積分

引理（可加性）

若 $a<b<c，finmathcal R[a,c]$ ，則 $f|_{[a,b]}inmathcal R[a,b]，f|_{[b,c]}inmathcal R[b,c]$ 且 $int_a^cf(x)dx=int_a^bf(x)dx+int_b^cf(x)dx.$

證明提要：由上節命題4知 $f$ 在 $[a,b],[c,d]$ 上都可積，那麼在 $[a,c]$ 上做分劃 $P$ ，且分劃包含點 $b$ ，那麼 $P$ 可視為 $[a,b]$ 上的分劃 $P』$ 與 $[b,c]$ 上的分劃 $P』』$ 的並.注意到 $lambda(P』)leqslantlambda(P)$ 以及 $lambda(P』』)leqslantlambda(P)$ ，以積分和的形式觀察引理的等式兩端，那麼當 $lambda(P)$ 充分小時，積分和就充分接近於所述積分.

定理

設 $a,b,cinmathbb R$ ， $f$ 是在以這些點為端點的最大區間上的可積函數，則 $f$ 在另外兩個區間上也可積.且成立 $int_a^bf(x)dx+int_b^cf(x)dx+int_c^af(x)dx=0.$

證明提要：假設 $a<b<c$ ，約定 $int_a^bf(x)dx:=-int_b^af(x)dx$ ，即可由引理推得結論.

2.2.3 中值定理

$color{brown}{第一部分：關於積分第一中值定理}$

定理1

證明提要：觀察積分和形式，注意到 $Big|sum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_iBig|leqslantsum_{i=1}^n|f(xi_i)|Delta x_ileqslant C(b-a).$ 令 $lambda(P) ightarrow 0$ 就得到結論.

定理2

如果 $aleqslant b$ ， $f_1,f_2inmathcal R[a,b]$ 且在 $[a,b]$ 上成立 $f_1(x)leqslant f_2(x)$ ，則 $int_a^bf_1(x)dxleqslantint_a^bf_2(x)dx.$

藉助積分和形式觀察比較，最後令 $lambda(P) ightarrow 0$ 推得結論.

推論1

如果 $aleqslant b$ ， $finmathcal R[a,b]$ ，且在 $[a,b]$ 上成立 $mleqslant f(x)leqslant M$ ，則 $m(b-a)leqslant int_a^bf(x)dxleqslant M(b-a).$ 如果在 $[a,b]$ 上又有 $0leqslant f(x)$ ，那麼 $0leqslantint_a^bf(x)dx.$

推論2

如果 $finmathcal R[a,b]$ ， $m=inf_{xin[a,b]}f(x)，M=sup_{xin[a,b]}f(x)$ ，則存在 $muin[m,M]$ 使 $int_a^bf(x)dx=mu(b-a).$

證明提要：對於 $a e b$ ，令 $mu=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)dx.$ 使用上述推論即可驗證.

推論3

如果 $fin C[a,b]$ ，則存在 $xiin[a,b]$ 使 $int_a^bf(x)dx=f(xi)(b-a).$

證明提要：由連續函數的介值定理和推論2即可驗證.

推論 3 常被稱為 $color{brown}{積分第一中值定理}$ ，下面介紹更具一般性的表述：

設 $f,ginmathcal R[a,b]$ ， $m=inf_{xin[a,b]}f(x)，M=sup_{xin[a,b]}.$ 如果函數 $g$ 在 $[a,b]$ 上非負（或非正），則 $int_a^b(fcdot g)(x)dx=muint_a^bg(x)dx$ ，其中 $muin[m,M].$ 如果還有 $fin C[a,b]$ ，則存在 $xiin[a,b]$ 使 $int_a^b(fcdot g)(x)dx=f(xi)int_a^bg(x)dx.$

證明提要：對於 $a<b$ ， $g(x)geqslant 0$ 的情況.
對於第一個斷語，重要的是要找出滿足條件的 $mu$ ，對於 $int_a^bg(x)dx=0$ 的情況是顯然成立的，而對於不等於零時， $mu$ 的形式就是提及 $mu$ 的斷語的變形式，然後去驗證 $muin[m,M].$ 注意到 $mg(x)leqslant f(x)g(x)leqslant Mg(x)$ ，對其積分，並做變換處理即可判斷.
而對於第二個斷語，由上述 $mleqslantmuleqslant M$ ，並注意到 $fin C[a,b]$ （極值定理），根據介值定理即可推得結論.

$color{brown}{第二部分：關於積分第二中值定理}$

阿貝爾變換(Summation by parts)

$sum_{i=1}^na_ib_i=(A_nb_n-A_0b_1)+sum_{i=1}^{n-1}A_i(b_i-b_{i+1})$

其中 $A_k=sum_{i=1}^ka_i$ ，並令 $A_0=0.$

這是因為 $sum_{i=1}^na_ib_i=sum_{i=1}^n(A_i-A_{i-1})b_i$ $=sum_{i=1}^nA_ib_i-sum_{i=1}^nA_{i-1}b_i=sum_{i=1}^nA_ib_i-sum_{i=0}^{n-1}A_ib_{i+1}$ $=A_nb_n-A_0b_1+sum_{i=1}^{n-1} A_i(b_i-b_{i+1})$
代入先前設定的 $A_0=0$ 即可得到阿貝爾變換.

引理1

若 $A_k=sum_{i=1}^ka_i (k=1,cdots,n)$ 滿足不等式 $mleqslant A_kleqslant M$ ，而 $b_i(i=1,cdots,n)$ 非負且 $b_igeqslant b_{i+1} (i=1,cdots,n-1)$ ，則 $mb_1leqslantsum_{i=1}^na_ib_ileqslant Mb_1.$

引理2

若 $finmathcal R[a,b]$ ，則對於 $xin[a,b]$ 可定義函數 $F(x)=int_a^xf(t)dt$ ，且 $Fin C[a,b].$

證明提要： $(finmathcal R[a,b])wedge([a,x]subset[a,b])Rightarrow Finmathcal R[a,x].$ 對於連續性，注意到 $|f(x)|leqslant C<infty$ ，並設 $x,x+hin[a,b]$ ，由積分可加性和本節定理1知 $|F(x+h)-F(x)|leqslant C|h|.$ 這就意味著 $F$ 在 $[a,b]$ 的任意點連續.

引理3

如果 $f,ginmathcal R[a,b]$ ，而 $g$ 在 $[a,b]$ 上非負，不增，則存在 $xiin[a,b]$ 使 $int_a^b(fcdot g)(x)dx=g(a)int_a^xi f(x)dx.$

證明提要：在 $[a,b]$ 上取分劃 $P$ ，用積分和形式表示積分，注意到 $int_a^b(fcdot g)(x)dx=sum_{i=1}^nint_{x_{i-1}}^{x_i}(fcdot g)(x)dx$ $=sum_{i=1}^ng(x_{i-1})int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx+sum_{i=1}^nint_{x_{i-1}}^{x_i}[g(x)-g(x_{i-1})]f(x)dx$ ，這就很清楚了，一切要在 $lambda(P) ightarrow 0$ 時進行.
先證整體和式的後者趨於 $0$ ，利用 $|f|$ 的有界性，通過 $g$ 的振幅判定即可完成證明.

另一方面，令 $F(x)=int_a^xf(t)dt$ ，下面就是證明存在 $xiin[a,b]$ 使 $F(xi)=mu=frac{1}{g(a)}int_a^b(fcdot g)(x)dx$ （介值定理， $min_{xin[a,b]}F(x)leqslantmuleqslantmax_{xin[a,b]}F(x)$ ，不等式形式取於引理1）.
證
設 $P$ 是區間 $[a,b]$ 的一個分劃， $x_i$ 為分劃所用的點.先記下等式 $int_a^b(fcdot g)(x)dx=sum_{i=1}^nint_{x_{i-1}}^{x_i}(fcdot g)(x)dx$ $=sum_{i=1}^ng(x_{i-1})int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx+sum_{i=1}^nint_{x_{i-1}}^{x_i}[g(x)-g(x_{i-1})]f(x)dx.$
先證當 $lambda(P) ightarrow 0$ 時 $sum_{i=1}^nint_{x_{i-1}}^{x_i}[g(x)-g(x_{i-1})]f(x)dx ightarrow 0.$ 因為 $finmathcal R[a,b]$ ，所以 $|f(x)|leqslant C<infty$ 在 $[a,b]$ 上成立.那麼當 $lambda(P) ightarrow 0$ 時，有 $Big|sum_{i=1}^nint_{x_{i-1}}^{x_i}[g(x)-g(x_{i-1})]f(x)dxBig|leqslantsum_{i=1}^nint_{x_{i-1}}^{x_i}|g(x)-g(x_{i-1})||f(x)|dx$ $leqslant Csum_{i=1}^nint_{x_{i-1}}^{x_i}|g(x)-g(x_{i-1})|dxleqslant Csum_{i=1}^nomega(g,Delta x_i) ightarrow 0.$
這意味著 $int_a^b(fcdot g)(x)dx=lim_{lambda(P) ightarrow 0}sum_{i=1}^ng(x_{i-1})int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx.$
令 $F(x)=int_a^xf(t)dt$ ，由引理2知 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續，則可令 $m=min_{xin[a,b]}F(x)$ 以及 $M=max_{xin[a,b]}F(x).$ 注意到 $int_{x-1}^{x_i}f(x)dx=F(x_i)-F(x_{i-1})$ ，所以 $sum_{i=1}^ng(x_{i-1})int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx=sum_{i=1}^n[F(x_i)-F(x_{i-1})]g(x_{i-1})$ ，由於 $g$ 在 $[a,b]$ 非負不增，那麼根據引理1的不等式可得 $mg(a)leqslantsum_{i=1}^n[F(x_i)-F(x_{i-1})]g(x_i)leqslant Mg(a).$ 那麼在 $lambda(P) ightarrow 0$ 的情況就有 $mg(a)leqslantint_a^b(fcdot g)(x)dxleqslant Mg(a).$
對於 $g(a)=0$ 則結論顯然成立，對於 $g(a) e 0$ ，令 $mu=frac{1}{g(a)}int_a^b(fcdot g)(x)dx.$ 由於 $mleqslantmuleqslant M$ ，那麼根據 $F$ 的連續性知存在 $xiin[a,b]$ 使 $F(xi)=mu$ ，而這就是結論.

定理 $color{brown}{（積分第二中值定理）}$

如果 $f,ginmathcal R[a,b]$ 而 $g$ 在 $[a,b]$ 上單調，則存在點 $xiin[a,b]$ 使 $int_a^b(fcdot g)(x)dx=g(a)int_a^xi f(x)dx+g(b)int_xi^bf(x)dx.$

證
設 $g$ 不減，對於 $G=g(b)-g(x)$ ，它在 $[a,b]$ 上非負，不增，可積.則由引理3， $int_a^b(fcdot G)(x)dx=G(a)int_a^xi f(x)dx$ ，
考慮 $int_a^b(fcdot G)(x)dx=g(b)int_a^bf(x)dx-int_a^b(fcdot g)(x)dx$ ，以及 $G(a)int_a^xi f(x)dx=g(b)int_a^xi f(x)dx-g(a)int_a^xi f(x)dx$ ，由積分可加性即得結論.

$color{red}{2.3 積分與導數}$

2.3.1 積分與原函數

引理1

若 $finmathcal R[a,b]$ ，而 $f$ 在某點 $xin[a,b]$ 連續，則對於定義在 $[a,b]$ 上的變上限積分 $F(x)=int_a^xf(t)dt$ 在這個點可微，且 $F』(x)=f(x).$

證明提要：根據前述積分各種性質，令 $f(t)=f(x)+Delta(t)$ ，考慮 $F(x+h)-F(x)=int_x^{x+h}f(x)dt+int_x^{x+h}Delta(t)dt.$ 和式的前項即為 $f(x)h$ ，對於後項，令 $M(h)=sup|Delta(t)|$ ，那麼後項的絕對值不會大於 $M(h)|h|.$ 且注意到 $h ightarrow 0$ 時它也趨於零，那麼可改寫為 $alpha(h)h.$ 即 $F(x+h)-F(x)=f(x)h+alpha(h)h$ ，當 $h ightarrow 0$ 時 $alpha(h) ightarrow 0$ .這就完成了全部的討論.

定理 1 （原函數存在定理）

閉區間 $[a,b]$ 上的每個連續函數 $f:[a,b] ightarrowmathbb R$ 在該區間上都有一個原函數，且 $[a,b]$ 上的函數 $f$ 的任意原函數都有 $mathcal F(x)=int_a^xf(t)dt+c$ 的形式，其中 $c$ 是常數.

證明提要：注意( $fin C[a,b])Rightarrow(finmathcal R[a,b]).$

定理 1』

在閉區間 $[a,b]$ 上定義的有界且僅有有限多個間斷點的函數 $f:[a,b] ightarrowmathbb R$ ，在該區間上有（廣義）原函數，且 $f$ 在 $[a,b]$ 上的任一原函數都形如 $mathcal F(x)=int_a^xf(t)dt+c.$

證明提要：這裡依然有 $finmathcal R[a,b].$ 注意到 $F(x)=int_a^xf(t)dt$ 連續，那麼對於 $f$ 的另一個原函數 $mathcal F(x)=int_a^xf(t)dt+c$ ， $mathcal F(x)- F(x)$ 也連續，且在每個連續的小區間當中都是常數.那麼 $mathcal F(x)- F(x) equiv const.$

牛頓-萊布尼茨公式

如果 $f:[a,b] ightarrowmathbb R$ 是有界且僅有有限個間斷點的函數，則 $finmathcal R[a,b]$ 且 $int_a^bf(x)dx=mathcal F(b)-mathcal F(a)$ .其中 $mathcal F:[a,b] ightarrowmathbb R$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的任一原函數.

2.3.2 分部積分、泰勒公式、變數替換

命題 1 （分部積分公式）

如果函數 $u(x)$ 和 $v(x)$ 在以 $a,b$ 為端點的閉區間上連續可微，則成立關係 $int_a^b(ucdot v』)(x)dx=(ucdot v)(x)Big|_a^b-int_a^b(vcdot u』)(x)dx.$ 常記為 $int_a^budv=ucdot vBig|_a^b-int_a^bvdu.$

證
根據函數乘積的微分規則 $(ucdot v)』(x)=(u』cdot v)(x)+(ucdot v』)(x).$ 由連續性，以牛頓-萊布尼茨公式可得 $(ucdot v)(x)Big|_a^b=int_a^b(ucdot v』)(x)dx+int_a^b(vcdot u』)(x)dx.$

命題 2 （帶積分余項的泰勒公式）

如果函數 $tmapsto f(t)$ 在以 $a$ 和 $x$ 為端點的閉區間上有直到 $n$ 階連續導數，則成立泰勒公式 $f(x)=f(a)+frac{1}{1!}f』(a)(x-a)+cdots+frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(x-a)^{(n-1)}+r_n(a;x).$ 其中 $r_n(a;x)=frac{1}{(n-1)!}int_a^xf^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}dt.$

證
$f(x)-f(a)=int_a^xf』(t)dt=-int_a^xf』(t)(x-t)』dt$ $=-f』(t)(x-t)Big|_a^x+int_a^xf』』(t)(x-t)dt$
$=f』(a)(x-a)-frac{1}{2}int_a^xf』』(t)((x-t)^2)』dt$
$cdotscdots$
$=f』(a)(x-a)+frac{1}{2}f』』(a)(x-a)^2$ $+cdots+frac{1}{2cdot 3cdotcdotscdot(n-1)}f^{(n-1)}(a)(x-a)^{n-1}$ $+color{red}{frac{1}{(n-1)!}int_a^xf^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}dt}.$

註：對 $f(x)-f(a)$ 使用牛頓-萊布尼茨公式，對被積函數進行適當變換，再對其使用分部積分，不停地重複上述後兩個步驟即得此公式.

命題 3 （弱化形式的變數替換）

如果 $varphi:[alpha,eta] ightarrow[a,b]$ 是從閉區間 $alphaleqslant tleqslanteta$ 到閉區間 $aleqslant xleqslant b$ 的連續可微映射，且 $varphi(alpha)=a，varphi(eta)=b$ ，則對於在 $[a,b]$ 上連續的任何函數 $f(x)$ ，函數 $f(varphi(t))varphi』(t)$ 在閉區間 $[alpha,eta]$ 上連續，且成立 $int_a^bf(x)dx=int_alpha^eta f(varphi(t))varphi』(t)dt.$

證
根據牛頓-萊布尼茨公式和複合函數微分法則 $int_a^bf(x)dx=mathcal F(b)-mathcal F(a)$ $= mathcal F(varphi(eta))-mathcal F(varphi(alpha))=int_alpha^eta f(varphi(t))varphi』(t)dt.$

定理（定積分中的變數替換）

設 $varphi:[alpha,eta] ightarrow[a,b]$ 是從閉區間 $alphaleqslant tleqslanteta$ 到閉區間 $aleqslant xleqslant b$ 的連續可微且嚴格單調映射，且 $varphi(alpha)=a，varphi(eta)=b$ 或 $varphi(alpha)=b，varphi(eta)=a$ ，則對於在區間 $[a,b]$ 上可積的任意函數 $f(x)$ ，函數 $f(varphi(t))varphi』(t)$ 在 $[alpha,eta]$ 上可積，且成立 $int_{varphi(alpha)}^{varphi{(eta)}}f(x)dx=int_alpha^eta f(varphi(t))varphi』(t)dt.$

證明提要：藉助積分和進行證明，利用拉格朗日定理把 $[a,b]$ 上 $f(x)$ 的積分和與 $[alpha,eta]$ 上 $f(varphi(t))varphi』(t)$ 的積分和聯繫起來.而對於因使用拉格朗日定理而額外出現的 $varphi( ilde au_i)$ ，要經變換（增刪項），構造 $sum_{i=1}^nf(varphi( au_i))(varphi』( ilde au_i)-varphi』( au_i))Delta t_i$ ，從而根據 $f$ 的有界、連續性以及 $lambda(P_t) ightarrow 0$ ，並通過用振幅和的方式處理掉（這種處理手段在證明積分第二中值定理-引理3時已經使用過）.剩下的事，只要注意到分劃 $P_x$ 的標誌點來源於分劃 $P_t$ 標誌點對於 $varphi$ 的像，就都是很自然的了.
證
由 $varphi$ 在 $[alpha,eta]$ 上嚴格單調，那麼 $[alpha,eta]$ 的任一分劃 $P_t(alpha=t_0<cdots<t_n=eta)$ 通過分化點的像 $x_i=varphi(t_i) (i=0,1,cdots,n)$ 做一個 $[a,b]$ 的分劃 $P_x$ ，可記作 $varphi(P_t)$ .並且 $varphi(alpha)=a$ 時 $x_0=a$ ,而 $varphi(alpha)=b$ 時 $x_0=b$ .由 $varphi$ 在 $[alpha,eta]$ 一致連續可知，若 $lambda(P_t) ightarrow0$ 則 $lambda(P_x)=lambda(varphi(P_t)) ightarrow 0.$
考慮積分和 $sum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_i=sum_{i=1}^n f(xi_i)(x_i-x_{i-1})$
$=sum_{i=1}^nf(varphi( au_i))varphi』( ilde au_i)(t_i-t_{i-1})$ （拉格朗日定理）
$=sum_{i=1}^nf(varphi( au_i))varphi』( ilde au_i)Delta t_i.$
（其中 $x_i=varphi(t_i)，xi_i=varphi( au_i)$ ， $xi_i$ 在以 $x_{i-1},x_i$ 為端點的區間中, $au_i$ 在以 $t_{i-1},t_i$ 為端點的區間中， $i=1,cdots,n$ ）
注意到 $sum_{i=1}^nf(varphi( au_i))varphi』( ilde au_i)Delta t_i$ $=sum_{i=1}^nf(varphi( au_i))varphi』( au_i)Delta t_i+sum_{i=1}^nf(varphi( au_i))(varphi』( ilde au_i)-varphi』( au_i))Delta t_i.$
觀察最後的這個和式，由 $finmathcal R[a,b]$ ，知 $fin C[a,b]$ ，設 $[a,b]$ 上有 $|f(x)|leqslant C$ ，那麼 $Big|sum_{i=1}^nf(varphi( au_i))(varphi』( ilde au_i)-varphi』( au_i))Delta t_iBig|leqslant Ccdotsum_{i=1}^nomega(varphi』;Delta_i)Delta t_i.$
（其中 $Delta_i$ 表示以 $t_{i-1},t_i$ 為端點的區間）
上式右端隨著 $lambda(P_t) ightarrow 0$ 時趨於零（ $varphi』$ 連續）.
這意味著 $sum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_i=sum_{i=1}^nf(varphi( au_i))varphi』( au_i)Delta t_i+alpha.$ 其中當 $lambda(P_t) ightarrow 0$ 時 $alpha ightarrow 0$ ，同時又有 $lambda(P_x) ightarrow 0$ ，也就是說上式左端符合 $sum_{i=1}^nf(xi_i)Delta x_i ightarrowint_{varphi(alpha)}^{varphi{(eta)}}f(x)dx$ ，而右端也是一樣.
最後，由 $sum_{i=1}^nf(varphi( au_i))varphi』( au_i)Delta t_i$ 可以看作帶標誌點 $au$ 的分劃 $P_t$ 的一個積分和，而任何點組 $au$ 又都可從分劃 $P_x=varphi(P_t)$ 的區間中的相應標誌點得到.那麼 $sum_{i=1}^nf(varphi( au_i))varphi』( au_i)Delta t_i$ 的極限是 $f(varphi(t))varphi』(t)$ 在 $[alpha,eta]$ 的積分，這就是要證的等式.

註：命題 3 與該定理的不同之處在於，條件中的 $f$ 為任意可積函數，而這並不蘊含著 $f$ 有有限個間斷點，例如本系列第三篇文章中提到黎曼函數 $mathcal R(x)$ 的間斷點並不是有限個而是可數多個，但根據黎曼可積性的勒貝格判別法，它是可積的；當然還有一個原因就是前者設定了 $aleqslant b$ 而這裡 $varphi(alpha)$ 和 $varphi(eta)$ 的大小關係是任意的.因此該定理無法用牛頓-萊布尼茨公式進行證明.

$color{red}{2.4 反常積分}$

2.4.1 基本性質

系列命題

設 $xmapsto f(x)$ 和 $xmapsto g(x)$ 是定義在區間 $[a,omega)$ 上且在閉區間 $[a,b]subset[a,omega)$ 上可積的函數，設對它們能定義反常積分 $int_a^omega f(x)dx,int_a^omega g(x)dx$ ，那麼

如果 $omegainmathbb R,finmathcal R[a,omega]$ ，則積分 $int_a^omega f(x)dx$ 無論理解做反常積分還是常義積分都是一樣的.

由 $mathcal F(b)=int_a^bf(x)dx$ 的連續性可知.

對於任何 $lambda_1,lambda_2inmathbb R$ ，函數 $(lambda_1f+lambda_2g)(x)$ 在反常積分意義下在 $[a,omega)$ 上可積，且成立 $int_a^omega(lambda_1f+lambda_2g)(x)dx=lambda_1int_a^omega f(x)dx+lambda_2int_a^omega g(x)dx.$

對 $bin[a,omega)$ ，由反常積分的定義（主要是那個趨近的表述）及積分線性性可知.

如果 $cin[a,omega)$ ，則 $int_a^omega f(x)dx=int_a^c f(x)dx+int_c^omega f(x)dx.$

對 $b,cin[a,omega)$ ,由反常積分的定義及積分可加性可知.

如果 $varphi: [a,gamma) ightarrow[a,omega)$ 是光滑（光滑的定義詳見第3篇文章），嚴格單調映射，且 $varphi(alpha)=a$ ，當 $etain[a,gamma)$ 且 $eta ightarrowgamma$ 時有 $varphi(eta) ightarrowomega$ ，那麼函數 $tmapsto(fcircvarphi)(t)varphi』(t)$ 在 $[a,gamma)$ 上的反常積分存在，且成立 $int_a^omega f(x)dx=int_a^gamma(fcircvarphi)(t)varphi』(t)dt.$

根據反常積分定義及定積分變數替換公式可知.

反常積分的分部積分

如果 $f,gin C[a,omega)$ ，且存在極限 $lim_{[a,omega) i x ightarrowomega}(fcdot g)(x)$ ，則函數 $fcdot g』$ 和 $f』cdot g$ 在區間 $[a,omega)$ 上在反常積分意義下同時可積或不可積，且當它們可積時，成立 $int_a^omega (fcdot g』)(x)dx=(fcdot g)(x)Big|_a^omega-int_a^omega (f』cdot g)(x)dx.$ 其中 $(fcdot g)(x)Big|_a^omega=lim_{[a,omega) i x ightarrowomega}(fcdot g)(x)-(fcdot g)(a).$

這由常義積分的分部積分公式和反常積分的定義可得.

2.4.2 關於收斂性

柯西判別法

如果函數 $xmapsto f(x)$ 定義在區間 $[a,omega)$ 上，且在任何閉區間 $[a,b]subset[a,omega)$ 上可積，則當且僅當對任何 $varepsilon>0$ 存在 $Bin[a,omega)$ 使對一切 $b_1,b_2in[a,omega)$ ， $B<b_1，B<b_2$ 成立關係 $Big|int_{b_1}^{b_2}f(x)dxBig|<varepsilon$ 時， $int_a^omega f(x)dx$ 收斂.

證
注意到 $int_{b_1}^{b_2}f(x)dx=int_a^{b_2}f(x)dx-int_a^{b_1}f(x)dx=mathcal F(b_2)-mathcal F(b_1).$ 那麼命題中的條件正是函數 $mathcal F(b)=int_a^bf(x)dx$ 當 $[a,omega) i b ightarrowomega$ 時極限存在的柯西準則的充要條件.

由柯西判別法知，絕對收斂的反常積分必收斂，那麼對絕對收斂性的研究就化為對非負函數的積分收斂性研究.於是就有如下論述.

命題

若函數 $f$ 在 $[a,omega)$ 上滿足反常積分定義的條件，且 $f(x)geqslant 0$ 在 $[a,omega)$ 上成立，則當且僅當 $mathcal F(b)=int_a^bf(x)dx$ 在 $[a,omega)$ 上有界時，該反常積分存在.

證
在 $[a,omega)$ 上， $f(x)geqslant 0$ ，意味著 $mathcal F(b)=int_a^bf(x)dx$ 不減，那麼當且僅當 $mathcal F(b)$ 有界時，它在 $[a,omega) i b ightarrowomega$ 時有極限.

級數收斂性的積分準則

如果 $xmapsto f(x)$ 是定義在 $[1,+infty)$ 上的非負不增，且在每個區間 $[1,b]subset[1,+infty)$ 上可積的函數，則級數 $sum_{n=1}^infty f(n)=f(1)+f(2)+cdots$ 和積分 $int_1^{+infty}f(x)dx$ 同時收斂或發散.

證
由條件，對任意 $ninmathbb N$ 成立 $f(n+1)leqslantint_n^{n+1}f(x)dxleqslant f(n)$ ，進一步得到 $sum_{n=1}^kf(n+1)leqslantint_1^{k+1}f(x)dxleqslantsum_{n=1}^kf(n).$ 即 $s_{k+1}-f(1)leqslantmathcal F(k+1)leqslant s_k.$ 其中 $s_k=sum_{n=1}^kf(n)， mathcal F(b)=int_1^bf(x)dx.$ 注意到 $s_k$ 和 $mathcal F(b)$ 都不減，由上述不等式即可推出結論.

反常積分的比較定理

設函數 $xmapsto f(x)，xmapsto g(x)$ 在區間 $[a,omega)$ 上定義，且在任何閉區間 $[a,b]subset[a,omega)$ 上可積.如果在 $[a,omega)$ 上有 $0leqslant f(x)leqslant g(x)$ ，則從 $int_a^omega g(x)dx$ 的收斂性可導出 $int_a^omega f(x)dx$ 的收斂性，且成立 $int_a^omega f(x)dx leqslantint_a^omega g(x)dx$ ；並可從 $int_a^omega f(x)dx$ 的發散性可導出 $int_a^omega g(x)dx$ 的發散性.

證
由條件，以及對與任何 $bin[a,omega)$ 的常義積分不等式 $mathcal F(b)=int_a^bf(x)dxleqslantint_a^bg(x)dxleqslantmathcal G(b)$ ，由 $mathcal F, mathcal G$ 在 $[a,omega)$ 上不減，即可推得結論.

結合前述的積分第二中值定理，可以推出另外一個判斷收斂性的準則.

積分收斂性的阿貝爾-狄利克雷準則

設 $xmapsto f(x),xmapsto g(x)$ 是定義在 $[a,omega)$ 上並在 $[a,b]subset[a,omega)$ 上可積的函數.設 $g$ 是單調函數.那麼，為使反常積分 $int_a^omega(fcdot g)(x)dx$ 收斂，只需成立下述兩組條件中的一組

積分 $int_a^omega f(x)dx$ 收斂.
函數 $g$ 在 $[a,omega)$ 上單調有界.

或

函數 $mathcal F(b)=int_a^bf(x)dx$ 在 $[a,omega)$ 有界.
函數 $g(x)$ 當 $[a,omega) i x ightarrowomega$ 時單調趨於零.

證明提要：對任何 $b_1,b_2in[a,omega)$ ，根據第二中值定理有 $int_{b_1}^{b_2}(fcdot g)(x)dx=g(b_1)int_{b_1}^xi f(x)dx+ g(b_2)int_xi^{b_2} f(x)dx.$ 其中 $xi$ 是 $b_1,b_2$ 之間的一個點，那麼根據柯西判別法即可推得結論.

3. 一個應用

關於道路的一些定義

設 $x(t),y(t),z(t)$ 是連續函數，則從定義區間到空間 $mathbb R^3$ 的映射 $tmapsto(x(t),y(t),z(t))$ 叫做 $mathbb R^3$ 中的一條道路.
如果 $tmapsto(x(t),y(t),z(t))$ 是一條道路.它的參數 $t$ 的變化範圍是閉區間 $[a,b]$ ，則稱 $mathbb R^3$ 中的點 $A=(x(a),y(a),z(a))，B=(x(b),y(b),z(b))$ 分別是該道路的起點和終點.
如果一條道路有起點和終點，且它們重合，就說這條道路是閉的.
如果 $Gamma:I ightarrowmathbb R^3$ 是一條道路，則區間 $I$ 在空間 $mathbb R^3$ 中的像 $Gamma(I)$ 叫做該道路的承載子.
設 $Gamma:I ightarrowmathbb R^3.$ 如果映射 $I ightarrowGamma(I)$ 是雙方單值的，則 $Gamma$ 叫做簡單道路或參數化曲線，其承載子叫做 $mathbb R^3$ 中的曲線.
如果道路 $Gamma:[a,b] ightarrowmathbb R^3$ 是簡單的，那麼它叫做簡單閉道路或簡單閉曲線.
設 $Gamma:[a,b] ightarrowmathbb R^3.$ 若能把區間 $[a,b]$ 分成有限多個區間，且在其中的每個區間上，映射 $Gamma$ 都有連續可微函數確定，就稱 $Gamma$ 是分段光滑的.
如果存在映射 $T:[alpha,eta] ightarrow[a,b]$ 使 $T(alpha)=a，T(eta)=b$ ，在 $[alpha,eta]$ 上有 $T』( au)>0$ ，那麼對於道路 $ildeGamma:[alpha,eta] ightarrowmathbb R^3$ ，且 $ildeGamma=Gammacirc T$ ，就稱 $ildeGamma$ 是從道路 $Gamma:[a,b] ightarrowmathbb R^3$ 藉助於參數的容許替換得出的.

命題

如果光滑道路 $ildeGamma:[alpha,eta] ightarrowmathbb R^3$ 是從光滑道路 $Gamma:[a,b] ightarrowmathbb R^3$ 藉助與參數的容許替換得出的，則這兩條道路的長相等.

證
$ildeGamma$ 由 $ilde aumapsto( ilde x( au), ilde y( au), ilde z( au))$ 給出， $Gamma$ 由 $tmapsto(x(t),y(t),z(t))$ 給出. $t=t( au)$ 是參數的容許替換，即 $ilde x( au)=x(t( au))， ilde y( au)=y(t( au))， ilde z( au)=z(t( au)).$ 那麼
$int_a^bsqrt{x』^2(t)+y』^2(t)+z』^2(t)}$
$=int_alpha^etasqrt{x』^2(t( au))+y』^2(t( au))+z』^2(t( au))}t』( au)d au$ $=int_alpha^etasqrt{[x』(t( au))t』( au)]^2+y』(t( au))t』( au)]^2+z』(t( au))t』( au)]^2d au}$ $=int_alpha^etasqrt{ ilde x』^2( au)+ ilde y』^2( au)+ ilde z』^2( au)}d au.$