Bernoullis inequality的證明及簡單應用

08-31

來自專欄數學碎碎念4 人贊了文章

感謝木葉蓁蓁的指正，已將原文的Bernoulli inequation改成Bernoullis inequality.

我的英文太差，以後再不敢賣弄了。

Bernoullis inequality：

對於 $forall xgeq -1$ ，有 $(1+x)^nge 1+nx$ 成立。

我們用數學歸納法證明它。

當 $n=1$ 時，不等式顯然成立。

我們假設 $n=k-1$ 時不等式成立，則有 $(1+x)^{k-1}ge 1+(k-1)x$

現在我們證明 $n=k$ 時不等式成立。

當 $n=k$ 時， $(1+x)^{k}=(1+x)(1+x)^{k-1}ge(1+x)[1+(k-1)x]=1+x+(k-1)x+(k-1)x^{2}=1+kx+(k-1)x^{2}ge1+kx$

證畢。

下面看一個Bernoullis inequality的簡單應用。

證明： $lim_{n ightarrow infty}{frac{1}{a^{n}}}=0$ $(left| a ight|>1)$

我們的思路是這樣的：

$left|frac{1}{a^{n}}-0 ight| =left|frac{1}{a^{n}} ight|=frac{1}{|a|^{n}}=frac{1}{[1+(|a|-1)]^{n}}lefrac{1}{1+n(|a|-1)}<frac{1}{n(|a|-1)}<varepsilon$

可解得 $n>frac{1}{varepsilon(|a|-1)}$

故而我們可以取 $N=left[ frac{1}{varepsilon(|a|-1)} ight]+1$

得證。