Langlands綱領一瞥

08-31

Langlands綱領一瞥

來自專欄數論漫談4 人贊了文章

1983年，美國科學院為美國總統的科學技術委員會提交了一份「理論數學的進步」年度報告，在綜述部分有這樣的兩段話：

1872年，克萊因在他的愛爾蘭格綱領所透徹闡釋的幾何學中，群對稱的統一作用導致一個世紀的數學進步. 與愛爾蘭格綱領相媲美的後繼應當是Langlands綱領，它是用李群的無窮維表示來闡釋數論.
Langlands綱領是用 $GL_{n}$ 的無窮維不可約表示來刻畫 $n$ 次數域的性狀，而他更宏偉的猜想是提出一系列使人眼花繚亂的問題，這些問題的解決會使我們對於表示論、數論和代數幾何有更好的理解. 雖然這方面已經取得了引入注目的進展，但還有更多的事情留給了未來.

Langlands綱領是從1967年起，由數學家Langlands以一系列猜想的形式提出的. 這些猜想的本質是試圖發現復的和 $p$ 進李群的無窮維表示理論、調和分析、代數幾何與數論的深層聯繫。

Part I：解方程

Deligne：有限域上的方程——互反律?

zhuanlan.zhihu.com

Part II：自守形式

現在我們介紹自守形式.

模群 $Gamma(1):=SL_{2}(mathbb{Z})$ 通過分式線性變換作用在復上半平面 $mathbb{H}={zin mathbb{C}~|~ ext{Im}(z)>0}$ 上：

$f$ 在尖點處全純 $implies a_{n}=0(n<0)$ ；稱一個模形式 $f$ 為尖點形式，若 $lim_{z o iinfty}f(z)=0iff a_{0}=0$ .

註記：係數 $a_{n}$ 常蘊含微妙的算術信息.

兩個自守形式的例子：

模群 $Gamma_{0}(N)$ 對復上半平面 $mathbb{H}={zin mathbb{C}~|~ ext{Im}(z)>0}$ 的作用，可參見下圖

模群對復上半平面的作用

商空間 $Gamma_{0}(N)ackslash mathbb{H}$ 是黎曼面；記 $ar{mathbb{H}}=mathbb{H}cup mathbb{Q}cup {iinfty}$ ，則 $Gamma_{0}(N)ackslash ar{mathbb{H}}$ 是一個緊黎曼面，記為 $X_{0}(N)$ .

記全體水平為 $N$ , 權為 $k$ 的模形式組成的 $mathbb{C}$ -線性空間為 $M_{k}(Gamma_{0}(N))$ , 全體水平為 $N$ , 權為 $k$ 的尖點形式組成的 $mathbb{C}$ -線性空間為 $S_{k}(Gamma_{0}(N))$ . 這些空間具有一族稱為Hecke運算元的自同態.

Heckes key idea was to characterize the properties of an automorphic form in terms of a corresponding Dirichlet series.

Part III： $L$ -函數

所謂 $L$ -函數，它是一個狄利克雷級數，即可以寫成

$L(s)=sum_{n=1}^{infty}a_{n}n^{-s}$

的形式，並滿足

它滿足函數方程
它滿足歐拉積
它的係數增長有某嚴格界限，以及只在 $s=1$ 處有一個有限階的極點.

設 $L/K$ 是有限Galois擴張， $ho:Gal(L/K) o GL_{n}(mathbb{C})$ 是 $n$ 維復表示. 除了有限個例外情形， $mathcal{O}_{K}$ 的素理想 $mathfrak{p}$ 在 $L$ 中非分歧，Frobenius元素 $F_{mathfrak{p}}$ 是 $Gal(L/K)$ 的一個共軛元素類. 由有限群的表示理論，這個共軛類由它們的共同特徵多項式 $det(I_{n}- ho(F_{mathfrak{p}})N(mathfrak{p})^{-s})^{-1}$ 所完全決定的. Artin引進Galois擴張 $L/K$ 的 $L$ -函數（稱為Artin L-函數）