大道至簡，應是如此——Miss老楊聊相對論第二期

08-31

來自專欄 Miss老楊聊相對論4 人贊了文章

前言

上一篇文章當中我們說道，邁克爾遜-莫雷實驗失敗後，預示著一個新物理即將誕生。究竟是伽利略速度疊加公式有問題，還是在光速後面的經典電磁學有瑕疵？實驗已經無法告訴我們更多，同時理論上對以太的修修補補也大多以失敗告終。對理論進行大的重構，已經來到諸多科學家（希爾伯特、龐加萊等）的黑板上。

表面上來看，是速度疊加公式在關於電磁學問題上不再適用，但本質上來講速度疊加公式是伽利略變換的直接推論，是絕對時空觀的等價品。因而擺在理論家面前的有三條路：拋棄絕對時空觀；拋棄電磁學；拋棄絕對時空觀和電磁學。對於一個物理學家而言，不論走哪一條路都是困難的，一方面絕對時空觀不僅和我們日常生活經驗高度一致，而且其上建立的經典力學，歷時二百餘載歷久彌新；另一方面電磁學雖然後起之秀，但短短几十年就把世界變了個底朝天，尤其是其還以強大實力收購了最古老的學科之一——光學。擺在20世紀初物理學家面前的路是難以抉擇的，即使是那些當時公認最聰明的腦袋，大家都認為凶多吉少，誰又敢想最後是瑞士專利局的三等技術專業贏得幸運女神的芳澤？

行文至此，大部分主觀性抒情文字結束。後文將會夾雜大量數學推導和物理實在的說明。為了使得文章不顯得詰屈聱牙，在某些部分會穿插人物逸事或是小傳。但也僅此而已，我不希望我的讀者沉醉於那些才子佳人之類刀光斧影的故事，或是文人墨客誇張的修辭當中去。

狹義相對論的基本假設與洛倫茲變換

人們很早就意識到宇宙的道理是簡潔的，可惜庸俗之士把其庸俗化為簡單的。還好愛因斯坦不是，愛因斯坦受歐幾里得影響很深，他希冀通過提出幾條公理來推理世間萬物，而不是像往常那樣採用歸納法。在審視了諸多物理現象和公式之後，愛因斯坦提出了以下兩條公設：

一切物理定律在慣性系中等價（狹義相對性原理）
光在真空中以恆定的速度c傳播，與光源運動無關（光速不變原理）

我們先來看狹義相對性原理，這是較為被接受的，因為我們無法想像一個相對於地面以速度 $v$ 前進的觀察者和相對於地面靜止的觀察者通過實驗得出了不同的自由落體公式或者是電磁場方程組。為了便於後文理解，我們用更加數學化的語言將其描述下：對於一組描述物理現象的等式，左右兩邊同左乘以同一矩陣（相當於變換了參考系），等式形式不發生任何變化。以後，我們就能看到相應的例子，以便我們更加深刻理解這所謂洛倫茲不變性。

其次，光速不變原理則是很難讓人理解的，這也是相對論經常受人攻擊的地方。但當後來人們發現光速不變對應著沒有任何物質、能量、信息可以超光速之後，有智之士就緘默不言了。

以上兩條原理是簡潔的，但卻一點也不簡單。接下來我們要做的第一件事情就是以以上原理建立一個新的坐標變換：洛倫茲變換。

假設有兩個參考系 $K$ 和 $K$ ，兩坐標系各坐標軸對應平行。 $K$ 相對於 $K$ 以速度 $v$ 朝x方向運動。

顯然有

考慮參考系之間最一般的變換

我們考慮 $K$ 繫上一特殊點其坐標原點 $x=0$ ，可得

顯然我們可不妨設

接下來我們使用狹義相對性原理，對於 $K$ 而言 $K$ 是以 $-v$ 運動的，則有：

綜合上面兩式，消去 $x$ ，易得：

為求得γ的值，我們繼續使用光速不變原理。

假設有一束光在 $K$ 系看來經由 $dt$ 時間從 $x$ 處傳遞到 $x+dx$ ，在 $K$ 系看來經由 $dt$ 時間從 $x$ 處傳遞到 $x+dx$ ,光速為c保持不變，那麼就有：

將其代入我們一般的變換式子中去。得：

則易得

這便是大名鼎鼎的洛倫茲變換，當v>c時，上式右邊將出現虛數，這說明我們變換到相對於原參考系超光速的參考系，這也是為什麼相對論不允許超光速的，另外我們也無法變換到光速參考系，因為這時候分母為零了，事實上以後我們會看到光速是零靜止質量粒子的特權。當光速趨於無窮大時，洛倫茲變換退化為伽利略變換，換而言之伽利略變換是洛倫茲變換的低速近似。

緊接著洛倫茲變換本應該是關於尺縮和鐘慢兩大效應，但考慮如此文章將會冗餘，故略去。讀者可以在其它地方很容易找到相關推導，接下來我們將會敘述為何我們要用四維來描述我們的時空。或者是為什麼說我們的時空是四維的。

速度疊加公式與加速度

對洛倫茲變換取全微分：

定義

不難得到

或

當c趨於無窮大時，上式退化成經典的速度合成公式，如果 $v$ 和 $v$ 同向，則上式簡化為

可見，兩速度小於光速，和速度亦不會超過光速，同時若其中一個速度是光速，和速度也是光速。這說明沒有任何物質能量和信息可以超光速。

同理，再對速度變換公式再做全微分，不難得到加速度變換公式，但此時的式子將變得異常冗餘，再此不再列出。這也是為什麼現代物理學不喜歡力的原因之一，因為我們要是為了遷就牛頓第二定律，會有一大半人退出物理行業。與之對比的是接下來我們會看到四維繪景下，物理圖像將變得異常清晰。

四維空間

我們首先得引入事件這一概念，即某時某地來描述。不妨在一個四維空間中，其中一個軸是時間軸，剩餘三個描述位置坐標。那麼一個事件就是四維空間的一個點，稱為世界點。在四維空間中，每個實物粒子都對應一條線，稱為世界線。顯然勻速直線運動的粒子對應的世界線是一條直線。

光速不變性給出了四維時空一條很重要的性質：間隔不變性。我們接下來，就要證明這個性質，之後我們還會看到四維時空當中其它各式各樣的的不變性或者不變數（這也是為什麼愛因斯坦更喜歡自己的理論被叫做不變論而非相對論。我們後面會大量提到不變二字）。

我們考慮如下兩個事件：一束光在某點激發，傳播到另一點被吸收。在K系中這兩個事件被記為 $(x_1,y_1,z_1,t_1)$ 和 $(x_2,y_2,z_2,t_2)$ ，兩點之間的距離平方為 $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2$ 或者 $c^2(t_2-t_1)^2$ 。

那麼就有：

假設兩事件距離很近，我們可以將上式改寫成微分形式：

同理，在 $K$ 系當中有：

我們定義任意兩事件 $(x_1,y_1,z_1,t_1)$ 和 $(x_2,y_2,z_2,t_2)$ 之間的間隔 $s_{12}$ 為：

對與相距很近的兩個事件間隔，則有：

這個式子很像歐幾里得空間的距離，除了符號不全為正以外。在數學上，具有這樣距離的空間稱之為偽歐幾里得空間，是由閔科夫斯基為相對論首先引入物理的，所以又稱閔科夫斯基空間。閔科夫斯基是愛因斯坦在大學時期的數學老師，但在校時閔科夫斯基並不怎麼看好這個學生。《論動體的電動力學》發表之後，閔科夫斯基就意識到四維偽空間引入後狹義相對論將具有簡潔的形式。在某天晚上工作之時，閔科夫斯基突發闌尾炎離開了人世。

顏歸正傳，上面的討論告訴我們如果某一參考系的間隔為零，其在所有的參考系都為零。又考慮到洛倫茲變換是以線性變換，那麼不同參考系的間隔必為同階的無窮小量，即：

考慮到不同時間不同地點物理定律是一樣的，比例係數α無時間空間無關。並且由於各向同性，其只可能是相對速度絕對值的函數。

可以嚴格證明比例係數α為一常數，且值為1.此處略去，留作練習題。

綜上：兩事件間隔在所有慣性參考系裡都是一樣的，即當從一個慣性參考系變換到另一個慣性參考系時，其數值不變。這就是數學形式的光速不變。舉個例子，某時某地某甲成為美國總統為事件A，另某時某地某乙成為日本首相為事件B。不管是相對地球靜止的觀察者，還是在宇宙飛船上的觀察者……只要是觀察者們採用的是慣性參考系，那麼他們得到的這兩個事件A和B的間隔就是一模一樣的，一個小數點都不差。

我們將AB兩時間的間隔寫成如下形式：

假設存在一參考系K使得美國總統和日本首相加冕在同一地點，即 $Delta l=0$ ，不難得到 $Delta s^2>0$ 。若我們想要找到一參考系K使得美國總統和日本首相加冕在同時間，即 $Delta t=0$ ，不難得到 $Delta s^2<0$ 。故而在四維空間當中存在三種間隔，（平方）大於零的，小於零的，和等於零的。分別稱為類時間隔、類空間隔、類光間隔。由光速不可以超越性可以證明，同一粒子上任意兩個事件都是類時的。過程留作習題。也就是說如果某甲和某乙是同一人，我們無法看到其在同一時刻既成為美國總統，又稱為日本首相，除非美日合併。

上述討論就已經涉及到相對論的因果律。我們把四維時空略去yz軸，畫成一個二維的示意圖（閔科夫斯基圖）。

對於處在0時刻的某個粒子而言，O為其現在。Odb為其絕對過去，也就是說只有Odb區域內發生的事情能夠影響O的現在；同理絕對未來區域Oac是O時刻粒子所能影響到的地方。而Oad和Ocb區域則屬於相對區域，這些區域在某些參考系下會出現在O的未來，有些則反之。顯然O的世界線只可能經過其絕對未來或絕對過去。

為形象生動說明問題，我們考慮O為此刻的美國總統，在絕對過去Odb內有兩事件A、B：美國總統登基和日本首相辭職，在絕對未來Oac內有一事件C、D：美國總統退位和日本首相再上任。在二者之外有事件E：此刻的日本首相。那麼此刻的美國總統O會受到自己登基和日本首相卸任AB兩事件影響，而無法被影響其它三事件影響；且會影響到自己退位和日本首相再上任CD兩時間，而無法影響其它三事件。而此刻的美國總統和此刻的日本首相則無所謂誰在未來誰在過去，因為這兩個事件相隔「較遠」以至於「來不及交流」。顯然絕對過去在任何時候都不會出現在絕對未來前面，這就是相對論因果律：具有因果性的事件，都是類時的。

下面到了破除依靠相對論延長自己壽命的時候了，並順帶介紹一個很重要的概念固有時。假設有一塊鍾隨我們運動或者相對於我們觀察者靜止，其上的時間就稱之為固有時，記作τ。顯然有 $ds^2=c^2d au ^2$ 。物理上的鐘是廣義的鐘，萬事萬物皆可以稍加改造稱為一個種：原子的衰變、細胞的周期、天體的運行、心跳……比如說人的一生可以心可以跳3153600000下，那麼不管你上天下海，翻跟頭、做瑜伽、或者邊走鋼絲邊唱歌，每個人看來你的心臟都只跳了3153600000下，除非你心臟不好受不了劇烈刺激。所以藉助狹義相對論不能延年益壽，不過確實能讓你看到你曾孫子抱上大兒子。

四維矢量

上面說了一大堆，其實還沒有進入相對論正題。接下來我們要介紹四維矢量的定義，以及其上的運算，還有常見的幾個四維矢量。這些東西是十分有用的，在後面的部分我們還會不斷看到，它們是我們後文的數學基礎。

一個事件的坐標我們可以寫成 $(ct,x,y,z)$ 。我們將他看成是四維矢量，各分量記作 $x^i$ 。 $i$ 可以取0、1、2、3。注意儘管狹義相對論不區分協變矢量和逆變矢量，但為了廣義相對論附近行文，我們將坐標的標號記在上方。

它的長度

顯然在四維空間轉動（由於時空是偽空間，所以轉動是雙曲轉動）情況下是不變的。我們前文討論知道間隔s在洛倫茲變換下是不變的，所以洛倫茲變換是一種特殊的四維空間轉動。用更數學的話說叫洛倫茲群是四維偽空間轉動群的一個子群。

我們規定一個量 $A^i$ 是矢量，當它在不同參考系下變換時類似於我們的位置矢量 $x^i$ 。即：

其長度為

顯然，這在不同參考系之間也是一個不變數，這種不變數稱之為標量。標量是相對論里唯一允許測量的量。

顯然這樣的寫法太麻煩了，而且不能反映物理實在，在此引入愛因斯坦求和約定，做一簡化。為此我們要引入度規張量 $g_{ik}$ 。關於度規張量的意義我們在廣義相對論部分會深入介紹（事實上，我們目前還沒有介紹張量），我們暫時只需記住，度規張量作用下矢量的坐標會從右上角挪到右下角，即從逆變矢量變為協變矢量，且對於i=1、2、3而言，要改變符號。即：

有些資料會給出相反的符號改變規則，即只有0標會改變。這是因間隔定義不同引起的。

而四維矢量的平方和：

人們通常略去求和符號記為，稱之為愛因斯坦求和約定。在約定中，求和指標必須為一上一下，否則不能求和。在狹義相對論中，拉丁字母i、j、k……表示遍歷0、1、2、3求和。（有些參考書會用希臘字母遍歷0、1、2、3）

比如，我們可以構造量矢量的標積或內積：

這也是一個不變數。概括的說，能用愛因斯坦求和約定將式子中的指標約去的量都是不變數。不變數是很重要的量，在下一篇有關電磁學的文章中我們會繼續加深這一印象。

類似於間隔，我們根據矢量的模方，將其定義為類時矢量、類空矢量和類光矢量。

下面引入兩個矢量：四維速度矢量和四維加速度矢量：

我們定義四維速度矢量為

請自行推導四維速度同三維速度的關係，不難驗證 $u^iu_i=1$ 。即所有粒子在四維空間速度的大小是一樣的，都為1（有些做c，是因為其四維速度採用固有時做分母）。

類似地，四維加速度：

不難驗證 $u^iomega_i=0$ 。即四維速度和加速度正交。對比前文的三維速度與加速度，四維空間的優勢在此就開始體現出來了。

接下來是關於張量的定義，兩個四維矢量的乘積構成了一個16個分量的集合，這便是二階張量。二階張量共有三種：協變張量的 $A_{ik}$ 、逆變張量的 $A^{ik}$ 和混合張量 $A^{space k}_{i}$ 或 $A_{space k}^{i}$ 。要注意區分最後一種究竟哪一個指標是協變，哪一個是逆變的，對於對稱張量而言則不必做這種區分。同樣我們可以用度規張量對不同類型的張量進行轉換，對1、2、3號指標升降時，要注意變號。

張量有一種特殊的運算，稱之為縮並。即 $A^i_i$ 。顯然它也是一個不變數。

下面介紹兩個以後要用到的張量：

單位張量 $delta^i_k$ ，其滿足：

其分量為

學過線性代數的朋友會馬上發現，這就是單位矩陣的矩陣元。

接下來是我們前文提到的度規張量 $g_{ik}$ ，我們前文已經提到：

不難發現：

事實上，二階張量就是矩陣，其逆變和協變是互逆的矩陣。關於張量暫時就介紹到這裡，我們在廣義相對論那邊還會再深入介紹。

小結與展望

行文至此，已經有五千多字了。若按照之前的計劃，把狹義相對論力學也寫進這篇文章當中，則本文就會顯得十分冗長，所以我考慮將原計劃大書特書的電磁學部分適當刪減，而將狹義相對論力學同電磁學部分寫進同一篇文章當中。同時為了體現四維空間的優美性質，狹義相對論力學和電磁學部分將會從哈密頓原理即最小作用量原理出發，這與一般的教科書授課的習慣不同，不過我們已然假定了讀者具備少許的電磁學知識與分析力學知識。當然大家也不必感到緊張，因為所涉及的分析力學知識是很基礎的，而電磁學部分我們則是從下往上重新構造一邊。

另外，關於雙生子佯謬及其變種我們暫時還沒有提到。作為狹義相對論與民科斗爭的重要領域，我們會在下一篇文章的最後部分提到。下一篇文章的規劃是：狹義相對論力學、電動力學、量子電動力學以及幾個著名佯謬。當然我暫時不知道，這四部分內容究竟能寫多長，所以以下一篇文章為準。目前來看，我企圖在十篇文章以內結束整個相對論部分的計劃有點託大。但一切文章篇幅的變動我都不會影響文章質量，即將其保持在最乾的乾貨狀態，能夠讓人通過這十多篇文章真正進入相對論的大門，而不是持幣觀望。