張量運用-矢量分析

08-31

張量運用-矢量分析

來自專欄電動力學導論4 人贊了文章

在電動力學導論中，第一章的標題就是矢量分析，所以可知這對我們學習後面知識的重要性。

因此作為開端我將對我最近總結了一些知識進行闡述。

對學習過一般的數學知識而言，基本上對矢量這個定義有一定的概念，因此我也就沒有怎麼總結這方面的內容，反而是側重總結一些對後面課程學習具有重大幫助的知識點：

梯度
散度
旋度

這三方面在計算過程中的總結，顯然這三個概念對數學公式的推導要有一定的認知，但是往往在這裡可能有一些人感覺比較複雜，因此我將從這一點出發，推薦一種簡單的方法並給予一定的解釋，從而使初學者（以及我自己）能夠快速的理解。

Tensor Calculation

為了介紹這個方法，我將引入一些新的知識點。

Einstein 求和約定

凡在某一項內，重複一次且僅重複一次的指標，表示對該指標在它的取值範圍內求和，並稱這樣的指標為啞指標。如：

$a_{i}x_{i}left( i=1,2,...,n ight)Rightarrow \a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...a_{n}x_{n}=sum_{i=1}^{n}{a_{i}x_{i}}$

注意：

求和約定僅對字母指標有效
重複不止一次的指標，求和約定失效
同一項內二對啞指標應使用不同指標
啞標可以換用不同的字母指標

順便引入一些求導記號的縮寫約定:

$frac{partial}{partial x_{i}}=partial_{i} ,frac{partial u}{partial x_{i}}=u_{,i}$

克羅內克（ $Kronecker-delta$ ）符號

定義：

$egin{equation} delta_{ij}=left{ egin{aligned} 1 & quad ext{when};i=j \ 0 & quad ext{when}; i e j \ end{aligned} ight. end{equation}$

性質：

$egin{eqnarray*} && delta_{ij}delta_{ij}=delta_{ii}=delta_{11}+delta_{22}+delta_{33}=3 \&&A_{ij}delta_{jk}=A_{ik} \&& delta_{ij}delta_{jk}=delta_{ik} \&& frac{partial x_{i}}{partial x_{j}}=x_{i,j}=delta_{ij} end{eqnarray*}$

矢量的點乘和叉乘：

$vec{a}cdotvec{b}=a_{i}e_{i}cdot b_{j}e_{j}= a_{i}b_{j}delta_{ij}=a_{i}b_{i}$

$vec{a} imesvec{b}=varepsilon_{ijk}a_{j}b_{k}pmb e_{i}$ (這個公式可參考下式旋度的推導)

六個積規則的張量證明

對梯度有兩個：

$abla(fg)=f abla(g)+g abla(f) \ abla(mathbf{A cdot B})=mathbf{A} imes( abla imes mathbf{B})+mathbf{B} imes( abla imes mathbf{A})+(mathbf{A} cdot abla )mathbf{B}+(mathbf{B} cdot abla )mathbf{A}$

對散度有兩個：

$abla cdot (f mathbf A)=f( abla cdot mathbf A)+mathbf A cdot ( abla f) \ abla cdot (mathbf B imes mathbf A)=mathbf A cdot ( abla imes mathbf B)-mathbf B cdot ( abla imesmathbf A)$

對旋度有兩個：

$abla imes (f mathbf A)=f( abla imes mathbf A)-mathbf A imes ( abla f) \ abla imes (mathbf A imes mathbf B)=(mathbf B cdot abla)mathbf A-(mathbf A cdot abla)mathbf B+mathbf A ( ablacdotmathbf B) -mathbf B ( ablacdotmathbf A)$

（一般我們都將黑體加粗字母認為是矢量，而非黑體加粗字母為標量）

現在我們利用張量計算由簡單到複雜推導上述公式。

哈密頓運算元（梯度運算元）

$abla = frac{partial}{partial x_{i}}pmb{e_{i}}=pmb{e_{i}}partial x_{i}$

Hamilton運算元具有張量的屬性，相當於一階張量。

梯度

標量場： $abla f=pmb{e_{i}}partial x_{i}f=pmb{e_{i}}f_{,i}$

矢量場： $abla u=pmb{e_{i}}partial x_{i}u_{j}pmb{e_{j}}=u_{j,i}pmb{e_{i}}pmb{e_{j}}$

散度

矢量場： $abla cdot mathbf u=pmb{e_{i}}partial x_{i}cdot u_{j}pmb{e_{j}}=u_{j,i}delta_{ij}$

旋度

矢量場： $abla imesmathbf u=left|egin{array}{cccc} pmb{e_{1}} & pmb{e_{2}} & pmb{e_{3}} \ partial _{1} & partial _{2} &partial _{3}\ u_{1} & u_{2} & u_{3} end{array} ight|=varepsilon_{ijk}u_{k,j}pmb{e_{i}}$

其中 $varepsilon_{ijk}$ 高等代數裡面定義行列式中那個（-1）的指數項，現在對這個定義進行介紹：

三元排列ijk中，2與3形成的數對23，小的數在前，大的數在後，此時稱這一對數構成一個順序，反之為逆序。一個n元排列中逆序的總數稱為逆序數（任意兩數若相同，則不能稱為逆序），逆序數為奇數的排列為奇排列，逆序數為偶數的排列稱為偶排列。

所以可定義： $varepsilon_{ijk}egin{equation} =left{ egin{aligned} 1 & quad 偶排列 \ -1 & quad 奇排列 \0&quad 非奇偶排列 end{aligned} ight. end{equation}$

以及還可得出： $varepsilon_{kij}varepsilon_{klm}=(delta_{il}delta_{jm}-delta_{im}delta_{jl})$

$varepsilon_{ijk}$ 是萊維-齊維塔（Levi-Civita）符號。

根據此定義我們可以展開上述的三階行列式，便可以得出我們的結論。

（上式六個積規則的張量證明將在下一次給出。）