讀Holzapfel的連續體運動學（5/8）

08-28

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總結一下之前四節的內容：

連續介質運動學，在兩種坐標系下描述問題，並想辦法研究其聯繫。

參考構型中的任意一個物質點P，可以用一個幾何點來描述X，當連續介質運動起來時，物質點P運動到另一個幾何位置，用幾何點x來描述。這裡把最開始X所佔據的集合稱作參考構型，用 $Omega$ 加下表0表示，而把x所佔據的集合稱作當前構型，要注意的是參考構型有一個，而當前構型有無數個，每一個時刻t都對應著一個當前構型。說清楚了兩種構型，對應的X與x的關係可以用所謂的「運動」來表達，即 $x=chi(X,t)$ ，在這裡，如果已經知道了這個關係式，並且知道了參考構型中物質所處的空間區域 $Omega_0$ ，則，任意時刻物質的當前構型都可以刻畫出來，接下來介紹了不同的描述方式，一種稱作物質描述，一種稱作空間描述，所謂物質描述就是用物質坐標X_A進行描述，而空間描述就是用x_a進行描述。這裡有一個我想強調的點，對於當前構型中的一個物質點P，如果用 $chi(X,t)$ 描述就應該稱作物質描述，如果直接用x描述就應該稱作空間描述。這裡，我們定義一個新的概念稱作位移，那麼，自然而然的，定義位移有兩種方式，一種稱作物質描述，位移應該表達為 $U(X,t)=chi(X,t)-X$ ，而另一種，就稱為空間描述下的位移 $u(x,t)=x-chi^{-1}(x,t)$ ，這一段就很好的體現了所謂物質描述與空間描述的表示上的差異。在研究一個物質點運動的時候，如果控制物質點X保持不變，那麼用U(X,t)僅僅對時間求導數，即 $D（U(X,t)）/Dt$ ，應該得到的結果是速度，用物質描述的速度，這裡為什麼可以用D這個導數符號來表示呢，因為X不是時間的函數，故有了 $V(X,t)=D（U(X,t)）/Dt=dot U$ ，另外，對於加速度 $A(X,t)=D^2（U(X,t)）/Dt^2=ddot U$ ，這裡相當於提前預告了一個概念，即物質導數，這裡的概念是這樣的，對於用物質坐標所描述的場變數，控制其物質坐標不變，對時間求導數，所以即使在第二節中，物質場描述的速度與加速度的定義時，還沒有提出物質導數的感念，但其實就是物質導數，接下來就是一種利用「逆運動」的思想，如果想得到空間坐標所描述的速度，加速度場，完全可以在物質坐標求解出來後，進行變數代換。另外，定義了局部導數，局部導數的概念相對清晰，首先，給定一個用空間坐標描述的場變數，控制空間坐標不變，對時間求導數，就得到了局部導數，注意，這裡為什麼說是局部導數呢，因為事實上，空間坐標x也是時間t的函數，但是這裡不去處理，而固定x對時間t求導，即固定空間位置對時間求導，注意這裡一定是偏導數。前面兩個定義都是清晰的，一個是X描述，控制X對t求導數，一個是x描述，控制x對t求導，但是還有一種情況，如何對空間坐標所描述的物理量求解物質導數呢，這裡Holzapfel給出的思路是，首先將x描述的物理場，通過「運動」映射到X描述的物理場，固定X，對時間t求導數，之後，在將X映射會x，就得到了空間坐標描述物理場的物質導數，思路是這樣的，推導的結果就是：物質導數 $dot F =frac{partial F}{partial t}|_x+grad(F)cdot v$ ，這個描述也是聯繫起了空間坐標所描述的物理量的物質導數和局部導數的關係。這裡有一個很有意思的事情需要注意， $x=chi(X,t)$ 已經給出，那兩邊同時對時間t取偏導數，左邊得到的是 $v(x,t)$ ，而右邊得到的是 $V(X,t)$ ，其實 $V=v$ ，是通過這個逆運動轉化的 $V(chi^{-1}(x,t),t)=v(x,t)$ 。第四節的整體都是圍繞著「變形梯度」展開的，變形梯度 $F(X,t)$ 描述了兩個微分線段的線性變換關係，即 $dx=FdX$ ，除此之外，還有 $dv=det(J)dV$ 這個體積變換關係，最後一個引出的就是Nanson公式，它是面積的變換關係， $ds=JF^{-T}dS$ 。前四篇的鏈接如下：

MapleStory：讀Holzapfel的連續體運動學（1/8）

MapleStory：讀Holzapfel的連續體運動學（2/8）

MapleStory：讀Holzapfel的連續體運動學（3/8）

MapleStory：讀Holzapfel的連續體運動學（4/8）

寫在前面，由於前四篇已經做了非常詳細的翻譯，所以在這之後就不再對翻譯方面做過多批註，僅對理解的部分及需要總結的部分做一些批註。

We have learnt from the preceding section that the deformation gradient is the fundamental kinematic (second-order) tensor in finite deformation kinematics that characterizes changes of material elements during motion.

The aim of this section is to determine these changes in the form of (second-order) strain tensors related to either the reference or the current configuration.

Note that unlike displacements, which are measurable quantities, strains are based on a concept that is introduced to simplify analyses.Therefore, numerous definitions and names of strain tensors have been proposed in the literature.We discuss (and compare) the most common definitions of strain tensors established in nonlinear continuum mechanics.

（1）變形梯度張量是有限變形理論的核心，本節力圖用應變去描述變形；

（2）由於應變不像位移一樣可測，而是為了簡化分析所提出的概念，因此在非線性連續介質力學中有許許多多的張量定義；

Material strain tensors

We compute the change in length between two neighboring points X and Y, located in region $Omega_0$ ,occurring during a motion (see Figure 2.6).

By neighboring we mean that X is close to Y.

The geometry in the reference configuration is given by

$Y=Y-X+X=X+left| Y-X ight|cdot frac{Y-X}{left| Y-X ight|} =X+dvarepsiloncdot a_0 =X+dX$

We denote the (material) length of the material line element $dX=Y-X$ by $dvarepsilon$ .

It is the distance between the neighboring points $XinOmega_0$ and $YinOmega_0$ , i.e. $dvarepsilon=left| Y-X ight|$ with $dvarepsilon/left| X ight|ll1(left| X ight| e0)$ .The unit vector $a_0(left| a_0 ight|=1)$ ,at the referential position X describes the direction of the material line element (which may be imagined as a fiber),as illustrated in Figure 2.6.Hence, additionally, we find using (2.56), that

$dXcdot dX=dvarepsilon a_0 cdot dvarepsilon a_0 = (dvarepsilon)^2$

Note that the vector quantities dX and $a_0$ are naturally associated with the reference configuration of the body.

Certain motions transform the two neighboring points X and Y into their displaced positions $x=chi(X,t)$ and $y=chi(Y,t)$ of region $Omega$ ,respectively.We now ask how close is x to y.Using Taylors expansion according to (1.238), (1.239), y may be expressed by means of (2.55), (2.56) and the deformation gradient (2.39), as

$y=chi(Y,t)=chi(X+dX,t)=chi(X+dvarepsilon cdot a_0,t)$

$=chi(X,t)+dvarepsilon F(X,t) a_0 + o(Y-X)$

where the Landau order symbol 【大O符號，描述數量級】 $o(Y - X)$ refers to a small error that tends to zero faster than $(Y-X) ightarrow0$ .

With motion $x=chi(X,t)$ , and (2.56), it follows subsequently from (2.58) that

$y-x=F(X,t)(Y-X)+o(Y-X)$

which clearly shows that the term F(Y - X) linearly approximates the relative motion y-x.The more Y approaches X the better is the approximation, the smaller 【小於】is $dvarepsilon=left| Y-X ight|$ ·

利用Taylor展開的形式，聯繫Y-X與y-x，其中兩個向量的關係是F這個線性變換，當然，誤差是存在的，當 $dvarepsilon=left| Y-X ight|$ 越小的時候，近似程度越高，誤差是 $dvarepsilon=left| Y-X ight|$ 的高階小量。

重要說明：

這裡看起來是不是在哪裡見過，特別熟悉？

嗯，沒錯，對比一下兩個式子吧：

$dx=F(X,t)dX$

$y-x=F(X,t)(Y-X)+o(Y-X)$

一個是曲線上切向量的表達關係，一個是臨近點的表達關係，事實上兩者是幾乎等價的，因為二式也必須在 $Y-X ightarrow0$ 時才是成立的，就是所謂的臨近。

在這一節引入這些概念，是為了刻畫應變所提出的。

Next, we define the stretch vector $lambda_{a_0}$ in the direction of the unit vector $a_0$ at $XinOmega_0$ , i.e.

$lambda _{a_0}=F(X,t)a_0$ ,

with length , $lambda_{}=left| lambda_{a_0} ight|$ called stretch ratio or simply the stretch (see Figure 2.6). Then, the length of a spatial line element (originally in the direction of $a_0$ ), i.e. the distance between the two neighboring places x and y, is obtained from (2.59) by neglecting terms of order $dvarepsilon^2$ .Using definitions (1.15) and (2.60) we find with $y-x=F(X,t)a_0 dvarepsilon$ that

$left| y-x ight|=sqrt{(y-x)cdot(y-x)}=sqrt{(Fcdot a_0) cdot (Fcdot a_0)}dvarepsilon=sqrt{lambda_{a_0}cdotlambda_{a_0}}dvarepsilon$

$=sqrt{lambda_{a_0}cdotlambda_{a_0}}dvarepsilon =lambda dvarepsilon$

In summary: a material line element $dX$ at X with length $dvarepsilon$ at time $t = 0$ becomes the length $lambda dvarepsilon$ at time t. The stretch $lambda$ is a measure of how much the unit vector $a_0$ has stretched. We say that a line element is extended, unstretched or compressed according to $lambda>1,lambda=1,lambda<1$ , respectively.

特彆強調：

這裡的有一句話是不是寫的不那麼準確呢？

define the stretch vector $lambda_{a_0}$ in the direction of the unit vector $a_0$ at $XinOmega_0$

定義了拉伸矢量在 $a_0$ 矢量這個方向，這顯然是有問題的。

說一說我對拉伸矢量的理解，拉伸矢量是描述變化結果的矢量，它並不是與 $a_0$ 同方向，而是將變形梯度作用於單位方向矢量 $a_0$ 而得到的變形後當前構型上的一個矢量。

$dvarepsilon=left| Y-X ight|$ ， $lambda dvarepsilon=left| y-x ight|$ ，則另一個概念叫做伸長率，是拉伸矢量的模，為什麼叫伸長率，也是一目了然的，當伸長率的值大於一，等於一，小於一時，分別稱伸長，不伸長，壓縮，這個概念本身沒有什麼難點。

With definitions (1.15), (2.60) and property (1.81), the square【平方】 of $lambda$ is computed according to

$lambda^2=lambda_{a_0} cdot lambda_{a_0} = F(X,t)cdot a_0 cdot F(X,t)cdot a_0$

$= a_0 cdot F^{T}(X,t) cdot F (X,t) cdot a_0 = a_0 cdot C cdot a_0$

$C=F^Tcdot F$

where we have introduced the right Cauchy-Green tensor C as an important strain measure in material coordinates (F is on the right). Frequently in the literature C is referred to as the Green deformation tensor. From (2.63) we learn that to determine the stretch of a fiber one only needs the direction $a_0$ at a point $XinOmega_0$ and the second-order tensor C.

這裡又用到了那個矩陣點乘矢量的轉置運算，再一次通過變形梯度定義了一個張量，稱作右柯西-格林張量，（稱作右的原因是因為F在右側），文獻中也稱右柯西-格林張量為格林形變張量，因此，確定一個點各個方向的伸長，只需要格林形變張量和方向向量。

另外要注意的是：

（1）格林形變張量是二階對稱張量，是positive define 正定的；

（2）格林形變張量有六個分量，通過變形梯度張量可以確定格林形變張量的六個分量，但是通過格林形變張量的六個分量，不可能反推變形梯度張量；

The so-called Piola deformation tensor, denoted by B, is defined by the inverse of the right Cauchy-Green tensor, i.e. $B=C^{-1}=(F^TF)^{-1}=F^{-1}F^{-T}$ .

一個叫做Piola形變張量，是右柯西格林形變張量求逆的結果。

As a further strain measure we define the change in the sguared lengths, i.e. $(lambda dvarepsilon)^2-(dvarepsilon)^2$ . With (2.62), the use of the unit tensor I and eq. (2.57), we have

$frac{1}{2}[(lambda dvarepsilon)^2-(dvarepsilon)^2]$

$= frac{1}{2}[ dvarepsilon a_0 cdot F^{T}(X,t) cdot F (X,t) cdot a_0dvarepsilon-dvarepsilon^2]$

$=dXcdotfrac{1}{2}(F^TF-I)cdot dX$

$E=frac{1}{2}(F^TF-I)$

where the introduced normalization factor 1/2 will be evident within the linear theory.

1/2是一個歸一化因子，在線性理論中是非常明顯的。

This expression describes a strain measure in the direction of $a_0$ at point $XinOmega_0$ . In (2.67) we have introduced the commonly used strain tensor E, which is known as the Green-Lagrange strain tensor. Since I and C are symmetric we deduce from (2.67) that $E=E^T$ also.

E稱作格林-拉格朗日應變張量，也是一個對稱張量。

到目前為止，討論的所有張量，都是用物質坐標表示的，因此都稱作物質應變張量。

那麼，接下來的一堆張量，就是用空間坐標所定義的了：

In order to relate strain measures to quantities which are associated with the current configuration we continue with arguments entirely similar to those just used.

The geometry in the current configuration is given by

在這裡，我們用對比的方式學習，我就改變了原先書本的順序，注意第一個是物質描述，而第二個則是對應的空間描述就好：

$Y=Y-X+X=X+left| Y-X ight|cdot frac{Y-X}{left| Y-X ight|} =X+dvarepsiloncdot a_0 =X+dX$

$y=y-x+x=x+left| y-x ight|cdot frac{y-x}{left| y-x ight|} =x+d ilde{varepsilon}cdot a =x+dx$

The (spatial) length of the spatial line element $dx = y - x$ is given by $d ilde{varepsilon} = left| y-x ight|$ , with $d ilde{varepsilon}/left| x ight|ll1(left| x ight| e0)$ .