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泰勒級數——小無相功

08-26

泰勒級數——小無相功

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泰勒級數：

泰勒級數實際上是一種鳩摩智的玩法，用小無相功模擬少林七十二絕技。試想一下海面上有一艘運動的船，我們想跟蹤這隻船，我們的運動和它保持一樣。我們不僅速度和它一樣，而且加速度和它保持一致。這裡我們突然想到加速度也有變化率，變化率還有變化率。綜合一下：我們應該保持每一層級的變化率相同，這時候泰勒級數應運而生。

$f(x)=sum_{n=0}^{infty}dfrac{f^{(n)}(x)}{n!}(x-x_{0})^{n}$

特別的我們在 $x=0$ 處展開的時候稱其為」麥克勞林級數「

$f(x)=sum_{n=0}^{infty}dfrac{f^{(n)}(x)}{n!}x^{n}$

重要的展開式：

$sin{x}=x-dfrac{x^{3}}{3!}+o(x^{3})$
$arcsin{x}=x+dfrac{x^{3}}{3!}+o(x^{3})$

$cos{x}=1-dfrac{x^{2}}{2!}+dfrac{x^{4}}{4!}+o(x^{4})$
$an{x}=x+dfrac{x^{3}}{3}+o(x^{3})$
$arctan{x}=x-dfrac{x^{3}}{3}+o(x^{3})$
$ln(1+x)=x-dfrac{x^{2}}{2}+dfrac{x^{3}}{3}+o(x^{3})$

洛必達法則的陷阱

洛必達法則好用是好用，但是在極限計算中存在一個bug。我們用洛必達法則計算極限，極限存在也就算了。但是如果我們用洛必達法則計算，如果極限不存在，我們推不出式子的極限不存在。所以有先情況用泰勒的方式比較好。

$dfrac{A}{B}$ 型，保持分子分母同階。
$A-B$ 型，這種情況的極限最好用泰勒。展開到冪次最低就行。

註：展開的時候要保持精度足夠。

$lim_{x o0}dfrac{x-sinx}{x^{3}}$ = $lim_{x o0}dfrac{dfrac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})}{x^{3}}=dfrac{1}{6}$

運用泰勒求高階導數

寫成級數形式 $y=f(x)=sum_{n=0}^{infty}dfrac{f^{(n)}(x)}{n!}(x-x_{0})^{n}$

或 $y=f(0)=sum_{n=0}^{infty}dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$

2.用已有的泰勒展開

3.比對係數

設 $y=x^{3}sin{x}$ ,求 $y^{(6)}(0)$
解： $y=x^{4}-dfrac{1}{6}x^{6}+o(x^{6})$

$y^{(6)}(0)=f^{(6)}(0)=-dfrac{6!}{6}=-120$

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